微積分基本知識(shí)

1、微積分基本知識(shí)第一章、 極限與連續(xù)一、 數(shù)列的極限1 數(shù)列定義：按著正整數(shù)的順序排列起來的無窮多個(gè)數(shù) 叫數(shù)列，記作，并吧每個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第n個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的第n項(xiàng)或通項(xiàng)界的概念：一個(gè)數(shù)列，若，對(duì)，都有，則稱是有界的：若不論有多大，總，則稱是無界的若，則稱為的下界，稱為的上界有界的充要條件：既有上界，又有下界2 數(shù)列極限的概念定義：設(shè)為一個(gè)數(shù)列，為一個(gè)常數(shù)，若對(duì)，總,當(dāng)時(shí)，有 則稱是數(shù)列的極限，記作或數(shù)列有極限時(shí)，稱該數(shù)列為收斂的，否則為發(fā)散的幾何意義：從第項(xiàng)開始，的所有項(xiàng)全部落在點(diǎn)的鄰域3 數(shù)列極限的性質(zhì)唯一性 收斂必有界 保號(hào)性：極限大小關(guān)系數(shù)列大小關(guān)系（時(shí)）二、 函數(shù)的極限1.定義：兩種

2、情形：設(shè)在點(diǎn)處的某去心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有成立， 則稱在時(shí)有極限記作或幾何意義：對(duì)，當(dāng)時(shí)，介于兩直線單側(cè)極限：設(shè)在點(diǎn)處的右側(cè)某鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有成立，稱在處有右極限，記作或的充要條件為：=垂直漸近線：當(dāng)時(shí)，為在處的漸近線：設(shè)函數(shù)在上有定義，為常數(shù)，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，有成立，則稱在時(shí)有極限，記作或的充要條件為：水平漸進(jìn)線： 若或，則是的水平漸近線2.函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性 局部有界性 局部保號(hào)性（在當(dāng)時(shí)成立）三、 極限的運(yùn)算法則1 四則運(yùn)算法則設(shè)、的極限存在，則 （當(dāng)時(shí)） （為常數(shù)） （為正整數(shù)） 2 復(fù)合運(yùn)算法則設(shè)，若，則可以寫成 （換元法基礎(chǔ)）四、極限存在準(zhǔn)則

3、及兩個(gè)重要極限1極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則設(shè)有三個(gè)數(shù)列，滿足 ， 則單調(diào)有界準(zhǔn)則有界數(shù)列必有極限3 重要極限 或五、無窮大與無窮小1無窮?。涸谧宰兞磕硞€(gè)變化過程中，則稱為x在該變化過程中的無窮小 若，則為x在所有變化過程中的無窮小 若，則不是無窮小性質(zhì)：1.有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小 2.常量與無窮小的乘積為無窮小 3.有限個(gè)無窮小的乘積為無窮小 4.有極限的量與無窮小的乘積為無窮小 5.有界變量與無窮小的乘積為無窮小定理：的充要條件是，其中為x在該變化中過程中的無窮小無窮小的比較：(趨于0的速度的大小比較)，為同一變化過程中的無窮小若（常數(shù)） 則是的同階無窮小 （當(dāng)時(shí)為等價(jià)無窮?。┤簦ǔ?shù)） 則

4、是的k階無窮小若 則是的高階無窮小常用等價(jià)無窮?。?)；2無窮大：設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義。若對(duì)于，當(dāng)時(shí)，恒有稱當(dāng)時(shí)為無窮大，記作定理： （下：趨于某點(diǎn)，去心鄰域不為0） 無窮大的乘積為無窮大， 其和、差、商不確定六、連續(xù)函數(shù)1定義設(shè)函數(shù)在某鄰域有定義，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，恒有： 也可記作 或 （或）為左（或右）連續(xù)2函數(shù)的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)：左右極限存在第二類間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)，震蕩間斷點(diǎn)等3.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算若函數(shù)與都在處連續(xù)，則函數(shù)， （）定理：，若在處連續(xù)，在處連續(xù)，則在處連續(xù)4 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理：在上連續(xù)， 則，對(duì)一切有介值定理：在上連續(xù)，對(duì)于與之間的任何數(shù)，至少一點(diǎn)，第二章

5、、 導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義，如果極限 存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為單側(cè)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的左側(cè)有定義，若極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記為，類似有右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則性質(zhì)：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件 可導(dǎo)連續(xù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)點(diǎn)處的切線斜率二、求導(dǎo)法則1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理：若都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且定理：若都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且推論：若都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且定理：若都在x處可導(dǎo)，則函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且2反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：設(shè)函數(shù)在上單調(diào)可導(dǎo)，它的值域?yàn)椋?/p>

6、而，則其反函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，并且有4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：若函數(shù)在可導(dǎo)，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo) 或 （連鎖規(guī)則） 三、高階導(dǎo)數(shù)定義：若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，記作， 類似的，有n階導(dǎo)數(shù)四、隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)于,或，若求求導(dǎo)法：方程兩側(cè)對(duì)x求導(dǎo)微分法：方程兩側(cè)求微分公式法： ，將方程化成=0，將F看成關(guān)于x,y的二元函數(shù)，分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo) ，導(dǎo)數(shù)公式基本函數(shù)：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:高階導(dǎo)數(shù)1. 2.，需補(bǔ)充條件在處可導(dǎo)或該極限存在第三章、微分一、微分的概念定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若可表示為 （其中A與無關(guān)） ，則稱為y在處的微分，記作的區(qū)別：當(dāng)y

7、為自變量時(shí)，當(dāng)y為因變量時(shí)，為y的線性主部定理：對(duì)于一元函數(shù)，性質(zhì)：一階微分形式不變性，對(duì)于高階微分二、微分的幾何意義“以直代曲”三、微分中值定理中值定理?xiàng)l件結(jié)論Rolle上連續(xù),上可導(dǎo),至少存在一點(diǎn)，使得Lagrange上連續(xù), 上可導(dǎo)Cauchy上連續(xù), 上可導(dǎo)，有限增量定理： 法則：型未定式定值法：在的某去心鄰域有定義，且，在的某去心鄰域可導(dǎo)，且 ，則有，類似四、函數(shù)的單調(diào)性與極值1.單調(diào)性：定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)符號(hào)原函數(shù)單調(diào)性2.極值定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某鄰域有定義，若對(duì)該鄰域內(nèi)一切x都有 則是函數(shù)的一個(gè)極大值，點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)。（極小值類似）函數(shù)取得極值的一階充分

8、條件函數(shù)在點(diǎn)去心鄰域可導(dǎo)，且在處可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在，則：當(dāng)時(shí)，時(shí)，則是極大值當(dāng)時(shí)，時(shí)，則是極小值無論還是，總有（或），則不是極值函數(shù)取得極值的二階充分條件函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則若，則是極小值若，則是極大值第四章、不定積分一、不定積分的概念和性質(zhì)1.原函數(shù)與不定積分原函數(shù)：設(shè)在上有定義，若對(duì)，都有 或 則稱為在上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)存在定理：若函數(shù)在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)，都有。即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)不定積分：設(shè)使的一個(gè)原函數(shù)，C為任意常數(shù)，稱為的不定積分，記作幾何意義：積分曲線族2.不定積分的性質(zhì)：積分運(yùn)算與微分運(yùn)算為互逆運(yùn)算 二、換元積分法1.第一類換元積分法定理：設(shè)有原函數(shù)，且具有

9、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有原函數(shù)2.第二類換元積分法定理：設(shè)連續(xù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則，其中三、分部積分法四、有理函數(shù)的積分1.簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分將真分式分解為部分分式之和對(duì)于形式：應(yīng)分解成k個(gè)部分分式對(duì)于：應(yīng)分解成個(gè)部分分式求4種積分，其中，對(duì)于，可令，則，再利用遞推法2.三角函數(shù)有理式的積分萬能變換：， ，其他方法：形式換元一、二、與 對(duì)于令對(duì)于令三、與 為偶數(shù)對(duì)于令對(duì)于令四、當(dāng)n,m至少有一個(gè)為奇數(shù)時(shí)，可利用將其轉(zhuǎn)化當(dāng)n,m均為偶數(shù)時(shí)，利用2倍角轉(zhuǎn)化五、令 解出A,B原函數(shù)為積分表 () 第五章、定積分一、定積分的定義定義：設(shè)函數(shù)在上有界，在內(nèi)任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)把分成n個(gè)小區(qū)間，().記，在第個(gè)區(qū)

10、間上任取一點(diǎn)，用乘上區(qū)間長(zhǎng)度，即，并作和.記，無論怎么分割，無論怎么取，若時(shí)，趨于同一極限，則稱此極限為在上的定積分.記作可積定理：函數(shù)在上連續(xù)函數(shù)在上有界，且僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)函數(shù)在上單調(diào)有界二、定積分的性質(zhì) 區(qū)間可加性 單調(diào)性:若上則 估值性質(zhì)：設(shè)，分別為在上的最大值與最小值，則定積分中值定理：若在上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),在上的平均值為若為奇函數(shù)，；若為偶函數(shù) 為周期函數(shù)， 三、微積分學(xué)基本定理1.變上限函數(shù)定理：若在上連續(xù)，則變上限函數(shù)可導(dǎo)，2.原函數(shù)存在定理若在上連續(xù)，則函數(shù)是在上的一個(gè)原函數(shù)3.Newton-Leibniz公式（微積分基本定理）在上連續(xù)，是在上一個(gè)原函數(shù)則若不滿足連續(xù)條件，可分段積分四、定積分換元法定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足： 在上單調(diào)，值域?yàn)椋?在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 則有:五、定積分的分部積分法類似不定積分六、廣義積分1.無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)函數(shù)上連續(xù)，任取，若極限 存在則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記作類似定義上的廣義積分對(duì)于，令，為常數(shù)2無界函數(shù)的廣義積分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而，取，如果極限 存在則稱此極限為函數(shù)在上的廣義積分，記作類似可定義