年新人教A版本數(shù)學(xué)必修一 指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)綜合提高知識(shí)講解

1、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)綜合【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解有理指數(shù)冪的含義，掌握冪的運(yùn)算.2理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。3理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)。4重點(diǎn)理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理.5會(huì)求以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性及值域等性質(zhì).6知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a0，a1).【知識(shí)框圖】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、指數(shù)及指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)，表示為

2、；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)可以表示為.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù).2.n次方根的性質(zhì)：(1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，(2)3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：；要點(diǎn)詮釋?zhuān)?的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：(1) (2) (3)要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變

3、化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.要點(diǎn)三、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1.對(duì)數(shù)的定義(1)若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù).(2)負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).(3)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2.幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，.3.常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即(其中).4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么加法：減法：數(shù)乘：換底公式：要點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對(duì)數(shù)函數(shù)定義一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.2.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象0101定義域值域過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，.奇

4、偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸減小.要點(diǎn)五、反函數(shù)1.反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，從式子中解出，得式?如果對(duì)于在中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子，在中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子表示是的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習(xí)慣上改寫(xiě)成.2.反函數(shù)的性質(zhì)(1)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).(2)函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域.(3)若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上.(4)一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).要點(diǎn)六、冪函數(shù)1.冪函數(shù)概

5、念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù).2.冪函數(shù)的性質(zhì)(1)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng))；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限. (2)過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn). (3)單調(diào)性：如果，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù).如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近軸與軸.(4)奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)(其中互質(zhì)，和)，若為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時(shí)

6、，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則是非奇非偶函數(shù).(5)圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時(shí)，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方.【典型例題】類(lèi)型一：指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算例1.計(jì)算(1) ； (2)；(3)；(4)【思路點(diǎn)撥】運(yùn)算時(shí)盡量把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，而小數(shù)也要化為分?jǐn)?shù)為好.【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14?！窘馕觥?1)原式=；(2)原式= = =1-+=1 (3)原式=2+=3；(4)令，兩邊取常用對(duì)數(shù)得= = =即=14。【總結(jié)升華】這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功

7、，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧.舉一反三：【變式1】=（ ）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】=。【變式2】(1)；(2)?！敬鸢浮?1)2；(2)。【解析】(1) 原式 ；(2) 原式 。類(lèi)型二：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2.設(shè)偶函數(shù)滿足，則= ( )A. B. C. D. 【答案】 B【解析】且是偶函數(shù).或或解得或，故選B?！究偨Y(jié)升華】考查解不等式組及函數(shù)解析式，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)若，則的取值范圍是（ ）A. B. 或 C. D. 或【答案】A【解析】依題意或即或，所以，故選A。例3.設(shè)函

8、數(shù) 若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】解法一：若，則，得，得，解得。若則，解得由可知解法二：特殊值驗(yàn)證令，滿足，故排除A、D。令，不滿足，故排除B。【總結(jié)升華】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)思想的應(yīng)用.【高清課堂：冪指對(duì)函數(shù)綜合377495 例1】例4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A（3，+） B（，3） C（4，+） D（，2）【思路點(diǎn)撥】這是一個(gè)內(nèi)層函數(shù)是二次函數(shù)，外層函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性由這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性共同決定，即“同增異減”。【答案】D【解析】函數(shù)是由復(fù)合而成的，是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，即，解得

9、或，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選D。例5. 若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )A.m-1 B.-1m<0 C.m1 D.0<m1【思路點(diǎn)撥】對(duì)進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值，畫(huà)出圖象?！敬鸢浮緽.【解析】，畫(huà)圖象可知-1m<0.【總結(jié)升華】本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖象特征，解題的出發(fā)點(diǎn)仍然是兩種情況下函數(shù)的圖象特征.舉一反三：【變式1】 函數(shù)的圖象是（ ） A B C D【答案】B【解析】先作出的圖象，然后作出這個(gè)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖象，得到的圖象，再把的圖象右移一個(gè)單位，得到的圖象，故選B【變式2】已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是（ ）。A.（1，10）

10、 B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）【答案】C【解析】由互不相等，結(jié)合圖象可知：這三個(gè)數(shù)分別在區(qū)間（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨設(shè)，由得即，所以，所以，故選C.【總結(jié)升華】考查利用圖象求解的能力和對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法。類(lèi)型三：綜合問(wèn)題例6.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求a，b的值；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】（1）利用奇函數(shù)的定義去解。（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性脫掉函數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問(wèn)題去解決?！敬鸢浮浚?）；（2）。【解析】(1) 因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以從而有 又由，解得(2)解法一：

11、由(1)知由上式易知在R上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于 因是R上的減函數(shù)，由上式推得即對(duì)一切從而解法二：由(1)知又由題設(shè)條件得即 整理得，因底數(shù)2>1，故 上式對(duì)一切均成立，從而判別式【總結(jié)升華】對(duì)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來(lái)求解.舉一反三：【變式1】已知函數(shù)，（a0，且a1）（1）求函數(shù)f（x）的定義域；（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)，解不等式f（x）0【解析】（1）依題意知，解得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?。?）函數(shù)是奇函數(shù)任取，所以 =0所以函數(shù)是奇函數(shù)。（3）因?yàn)?，所以由，得解得。【高清課堂：冪指對(duì)綜合377495 例5】例7設(shè)（其中a為實(shí)數(shù)），如果當(dāng)時(shí)恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】由題意知，原不等式轉(zhuǎn)化成在上恒成立，只要求出不等式右邊部分的最大值就可以了?！敬鸢浮俊窘馕觥恳李}意，在上恒成立。則設(shè)只需求的最大值任取且 =由于是單調(diào)遞減函數(shù)，即在上是單調(diào)遞增的，【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化成，轉(zhuǎn)化成，這種問(wèn)題以后還會(huì)碰到，希望同學(xué)們多注意。舉一反三：【變式1】設(shè)函數(shù)。（1）求的定義域；（