微分幾何陳維桓習題答案3

1、習題答案3p. 148 習題4.11. 求下列曲面的第二基本形式： (1)旋轉橢球面：； (2) 旋轉橢圓拋物面：；(3) 雙曲拋物面：；(4)一般柱面：；(5)劈錐曲面：. 解. (1) ，.又，.所以，.(2) ，.，. (3) ，.不妨設. 則，.(4) ，.(5) ，. 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) ，是常數. 解. 由條件知在曲面上，并且，即 . (1)因此是曲面的法向量. 不妨設. 則單位法向量.于是由于，故曲面的第二基本形式為.如果由(1)解出，再代入上式可得 . 3. 求曲線的切線曲面的第二基本形式，其中s是該曲線的弧長參數. 解. 設正則曲線的曲率和撓率分別為，Fr

2、enet標架為，它的切線曲面的參數方程為.則，.，. 6. 證明：如果在可展曲面上存在兩個不同的單參數直線族，則是平面. 證明. 設可展曲面的參數方程為. 則沿著直母線的單位法向量是常向量，即. 所以第二類基本量中. 剩下的只要證明，從而由定理1.1，是平面.為此，設在上任一固定點，異于直母線的另一族直線中過該點的直線的弧長參數方程為，并且. 則在處的單位切向量是，它不能與在的直母線的切向量平行，故. 另一方面，因為是直線，有，即. 所以. 于是在點成立. 因為，可得. 由于點是任意的，可知. p. 157 習題4.21. 設懸鏈面的方程是，求它的第一、第二基本形式，并求它在點處沿切向量的法曲

3、率. 解. 不妨設. 令，則，. (1)懸鏈面的方程可化為，于是，.，. 在點處，切向量中，曲面的法曲率. 注. 參數是懸鏈面的等溫坐標，并且參數網是正交的曲率線網. 此時，.4. 設曲面和曲面的交線為. 設p為曲線上一點，假定曲面和曲面在點p處沿曲線的切方向的法曲率分別是和. 如果曲面和曲面在點p處的法向量的夾角是，求曲線在點p處的曲率.解. 設在p點C的Frenet標架為，曲率為，曲面的單位法向量分別為. 因為均垂直于C的切方向，所以它們共面. 不妨設繞著由到的有向角為，到的有向角為，. 令，. 則，.于是，.當時，只有種情況：(1)，即. 此時，所以. 則 . (1)因此.化簡得. 因此

4、.(2)，即或. 此時，或，所以. 則同理有， (2).當(或)時，有(或)，從而(或). 此時(2)式(或(1)式)成為恒等式，無法確定. 7. 設是曲面上的一條非直線的漸近線，其參數方程為，其中s是弧長參數. 證明：的撓率是 .證明. 設曲面的參數方程為，單位法向量為. 設C的弧長參數方程為，Frenet標架為，曲率為. 由于是上的漸近線，根據定理2.4，有，其中，. 根據Frenet公式， .利用Lagrange恒等式，可得.將，代入上式，得 . p. 166 習題4.31. 求拋物面在原點處的法曲率和主曲率.解. 曲面的參數方程為，故，.，所以在原點處，.不妨設. 因為在原點處，且，所

5、以分別是法曲率的最大、最小值，因而是拋物面在原點的主曲率. 注. 在原點，從而根據下一節(jié)定理4.2立即可知主曲率是. 4. 證明：曲面上任意一點p的某個鄰域內都有正交參數系，使得參數曲線在點p處的切方向是曲面在該點的兩個彼此正交的主方向. 證明. 根據第三章定理4.2，在上任意一點p的某個鄰域內都有正交參數系. 假設這個正交參數系是. 如果p點是臍點，則任何方向都是主方向，從而這個正交參數系的參數曲線在點p處的切方向是曲面在該點的兩個彼此正交的主方向. 設p點不是臍點. 則在點p處有兩個單位正交的主向量. 設.作參數變換，.由于，上述參數變換是可允許的. 在新參數下，.特別在p點，有，是曲面在

6、p點的兩個彼此正交的單位主向量. 由于，參數系不一定是正交參數，只知道在p點. 因此還要作一次參數變換，取-曲線及其正交軌線作為參數曲線. 考慮1次微分式. 根據常微分方程知識，存在積分因子使得是一個全微分，即有函數使得.現在作參數變換，. 則，參數變換是可允許的. 在新參數下，所以這說明參數系是正交的. 因為在p點，有，所以是曲面在p點的兩個彼此正交的主方向. 5. 設在曲面S的一個固定點p的切方向與一個主方向的夾角為，該切方向所對應的法曲率記為，證明：，其中. 證明. 根據Euler公式，. 所以有 . p. 175 習題4.42. 求旋轉面的高斯曲率，其中為平面曲線的弧長參數. 解. ，

7、 (1).因為曲面是正則的，所以，不妨設. 因為是的弧長參數，所以， (2)其中是的相對曲率. 因此曲面的單位法向量為.所以，. (3)由(1)，(2)和(3)可知，.根據定理4.3，的主曲率為，Gauss曲率為. 4. 求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對應的主方向. 解. 因為， .所以，.又，其中.因為，所以. 于是，.因為，所以主曲率對應的主方向為，其中.所以.同理，另一個主曲率為，對應的主方向為. 注. 由可知參數曲線網是漸近曲線網，而主方向是漸近方向的二等分角方向，所以主方向和是參數曲線的二等分角軌線方程的兩個根. 由此可得求解主曲率的另一方法：將分別代入，即

8、，得到對應于主方向的主曲率，以及對應于主方向的主曲率.6. 在曲面上每一點沿法線截取長度為(足夠小的正數)的一段，它們的端點的軌跡構成一個曲面，稱為原曲面的平行曲面，其方程是，.從點到的對應記為. (1) 證明：曲面和曲面在對應點的切平面互相平行；(2) 證明：對應把曲面上的曲率線映為曲面上的曲率線；(3) 證明：曲面和曲面在對應點的Gauss曲率和平均曲率有下列關系：，.證明. (1) 因為， (1)所以.當時，. 因此對每一點，存在該點的鄰域，使得當足夠小時，從而是正則曲面. 由(1)可見，所以在對應點和的切平面互相平行. (2) 設是上的任意一條曲率線. 則由Rodriques定理，有，

9、 (2)其中是曲面在點的主曲率. 對應把上的曲率線映為曲面上的曲線，它的方程為.因此. (3)上面已經證明了沿著，也是的單位法向量. 結合(2)和(3)可得. (4)根據Rodriques定理，也是上的曲率線. (3) 用和分別表示曲面和上的Weingarten變換. 設是曲面在任意一點的兩個主曲率，對應于的主方向是. 則沿著該切方向，有.另一方面，沿著該切方向，有.所以在曲面上.這說明是曲面在點的主方向，對應的主曲率是.同理，曲面在點的另一個主曲率是.于是在對應點，曲面的Gauss曲率和平均曲率分別為，. 注. 本題的結論是局部的：對每一點，為了保證是正則曲面，只能在該點的某個鄰域上，取足夠

10、小，才有這些結論. p. 184 習題4.53. 研究習題4.4中第5題的管狀曲面上各種類型點的分布情況. 解. 管狀曲面的參數方程為，其中是一條弧長參數曲線，是它的Frenet標架，是一個常數. 設該參數曲線的曲率和撓率分別是和. 因為 ，所以. 取充分小，使得，從而是正則曲面，單位法向量為.于是，.由于，并且，所以(1) 當時，這些點是拋物點. 它們構成兩條正則曲線：和.由于，曲面上沒有平點.(2) 當時，這些點是橢圓點.(3) 當時，這些點是雙曲點. p. 190 習題4.62.(1) 證明：是極小曲面，其中是常數. 該曲面稱為Scherk曲面. (2) 證明：形如的極小曲面必定是Sch

11、erk曲面. (1) 證明. Scherk曲面的參數方程為. 故，.因此 ，.由于，所以，Scherk曲面是極小曲面. (2) 證明. 曲面的參數方程為. 故，.因此，.由得到，即.上式可化為 . (1)由于上式左邊是的函數，右邊是的函數，故只能是常數. 設此常數為. 當時，由(1)可知，其中是常數. 于是該極小曲面是平面，其中. (不是Scherk曲面)下面設. 由(1)得. 令，即. 則有.于是. 在軸方向作一平移，可設. 從而，積分得.同理，由可得.于是 . 4. (1) 證明：正螺面是極小曲面. (2) 證明：形如的極小曲面必定是正螺面.(1) 證明. 因為，所以，.又，所以，.因此，正螺面是極小曲面. (2) 證明. 曲面的參數方程為. 故，.，.所以，.由得到，化簡：，