微分方程應(yīng)用舉例ppt課件

1、9.6 微分方程應(yīng)用舉例微分方程應(yīng)用舉例例例彈性橫梁的震動問題彈性橫梁的震動問題有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m 的電動機的電動機 , 安裝在梁上安裝在梁上 A 點點 , 電電動機開動時動機開動時 , 產(chǎn)生一垂直于梁的干擾力產(chǎn)生一垂直于梁的干擾力 psin t ( p , 為常數(shù)為常數(shù) ) , 使梁發(fā)生振動使梁發(fā)生振動 . 梁上梁上 A 點的位移用坐點的位移用坐標標 y 表示表示 , 梁的彈性恢復力與位移梁的彈性恢復力與位移 y 成正比成正比 ( 比例比例系數(shù)為系數(shù)為 k 0 ) , 求求 A 點的運動規(guī)律點的運動規(guī)律(不計阻力與重力不計阻力與重力)解解 建立坐標系如圖所示建立坐標系如圖所示A oyA

2、 點受到的力點受到的力: (1) 干擾力干擾力: psint(2) 彈性恢復力彈性恢復力 : kykytpdtydm sin22據(jù)牛頓第二定律有據(jù)牛頓第二定律有初始條件初始條件:0000 )( )(y , y即即 y 滿足初值問題滿足初值問題:kytpdtydm sin220000 )( )(y , y特征方程特征方程:02 km 特征根特征根:imk 21, 齊次方程的通解齊次方程的通解:tnkctmkctyhsincos)(21 :mk被稱為固有頻率被稱為固有頻率 下面求非齊次方程的特解下面求非齊次方程的特解(1) 當當 時時 , 設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為mk tbtaty

3、 sincos)( 代入方程整理得代入方程整理得tptmkatmkb sincos)(sin)( 22令令02 )( mkapmka )(2 解得解得2 mkpb 0 a)(mk tmkpty sin)(2 非齊次方程的特解非齊次方程的特解:非齊次方程的通解非齊次方程的通解:tmkctmkcsincos21 tmkpty sin)(2 由由, y , y0000 )( )(2210 mkpkmc , c 所以初值問題的解所以初值問題的解)sin(sin)(tmkkmtmkpty 2(2) 當當 時時 , 設(shè)非齊次方程的特解為設(shè)非齊次方程的特解為mk )sincos()(tbtatty 代入方程

4、可得代入方程可得:02 b , kpa ttkpty cos)(2 非齊次方程的特解非齊次方程的特解:非齊次方程的通解非齊次方程的通解:kpc , c 2021 tmkctmkcsincos21 ttkpty cos)(2 由由 可確定可確定 y , y0000 )( )(所以初值問題的解所以初值問題的解tmkkpttkptysincos)(22 tkpttkp sincos22 注意注意: 位移位移 y(t) 的振幅為的振幅為 2212tkp 將隨將隨 t 的增大而無限增大的增大而無限增大 , 從而引起共振現(xiàn)象從而引起共振現(xiàn)象 當當 時時 ,mk 例例一顆子彈以速度一顆子彈以速度 v0 =2

5、00 m/s 打進一塊厚度打進一塊厚度為為 0.1 m 的板的板 , 然后穿過板然后穿過板 , 以速度以速度 v1= 80 m/s離開板離開板 , 該板對子彈運動的阻力與運動速度平該板對子彈運動的阻力與運動速度平方成正比方成正比 , 問子彈穿過板用了多少時間問子彈穿過板用了多少時間 ?解解0 x0.1設(shè)時刻設(shè)時刻 t , 子彈在木板中移動子彈在木板中移動到到 x = x(t) ,子彈的質(zhì)量為子彈的質(zhì)量為 m 根據(jù)牛頓第二定律有根據(jù)牛頓第二定律有222 dtdxkdtxdm若記若記 及注意到及注意到 v(0) = 200mka , vdtdx 則速度則速度 v = v(t) 滿足下初值問題滿足下

6、初值問題:2avdtdv 200 v( 可分離變量方程可分離變量方程 )adtvdv 2catv 1由由 v(0) = 2002001 c 1200200 attv )(設(shè)子彈穿透板的所用時間為設(shè)子彈穿透板的所用時間為 T , 則據(jù)題意則據(jù)題意)ln()ln(12001120010 aTaataT TTdtatdttv00120020010)(.又又 v (T) = 80 801200200 aT 4003 aT 于是有于是有)ln()ln(.1233400120010 TaTaTT)(.ln.s T 410285240030 例例求曲線求曲線 , 使它上面的任一點使它上面的任一點 M 處的切

7、線處的切線 MT與直線與直線 OM 夾定角夾定角 .解解設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為 y = y(x) ,M(x,y)y=y(x) M 為曲線上的任意一點為曲線上的任意一點 ,那么那么, xy tandxdy )tan( 由于由于 tan)tan(tan)tan()tan(tan 1 tantanyyxy 1ayxaxydxdy )tan( a T y0 xxyaaxydxdy 1令令 , xyu 代入方程有代入方程有auauxuu 1整理得整理得, auxuadxdu)()( 112分離變量有分離變量有dxxduuaau1112 )(積分得積分得121211cxuualnln)ln(arctan

8、 ,dxduxuy , xuy 那么那么uauxc arctan)ln(1121 xyaexyxc arctan1211 xyaceyx arctan122 即即 acer1 例例將溫度為將溫度為 100 C 的開水沖進熱水瓶且塞緊的開水沖進熱水瓶且塞緊 塞子后放在溫度為塞子后放在溫度為 20 C 的室內(nèi)的室內(nèi) , 24 小時后小時后 , 瓶瓶內(nèi)熱水溫度降為內(nèi)熱水溫度降為 50 C , 問沖進開水問沖進開水 12 小時后瓶小時后瓶內(nèi)熱水的溫度是多少內(nèi)熱水的溫度是多少 ? (設(shè)瓶內(nèi)熱水冷卻的速度與設(shè)瓶內(nèi)熱水冷卻的速度與水的溫度和室溫之差成正比水的溫度和室溫之差成正比 )解解設(shè)時刻設(shè)時刻 t 時時 , 水的