第13章靜電場中的導(dǎo)體和電解質(zhì)

1、第13章靜電場中的導(dǎo)體和電解質(zhì)一、選擇題1(D), 2(A) , 3(C), 4(C), 5(C), 6(B), 7(C), 8(B), 9(C), 10(B)二、填空題(1). 4.55 105 C ;(2).6 (y z”與導(dǎo)體表面垂直朝外(6 > 0或與導(dǎo)體表面垂直朝里(o < 0)(3).,1 , & ；(4). 1/,1/ £ ;(5).,o- / (& ；0 (6)r q4 n& 0R(7).P , - P , 0；(8) (1- £ r) o ；(9).452; (10).,£r三、計(jì)算題1. 如圖所示，一內(nèi)半徑為

2、a、外半徑為b的金屬球殼，帶有電荷 Q,在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q.設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，試求：(1)球殼內(nèi)外 表面上的電荷.(2)球心O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢.球心O點(diǎn)處的總電勢.解：(1)由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷 -q，外表面上帶電荷q+Q. 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的距離都是a，所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為U-q=? dq4 n£ 0a=4 n£ 0a球心O點(diǎn)處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和UO=Uq+U-q+UQ+q=qqQ+qq111Q = -+(

3、-+)+4 n£ 0r4 n£ 0a4 n£ 0b4 n£ 0rab4 n£ 0b2. 一圓柱形電容器，外柱的直徑為 4 cm,內(nèi)柱的直徑可以適當(dāng)選擇，若其間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)，該介質(zhì)的擊穿電場強(qiáng)度的大小為E0= 200 KV/cm .試求該電容器可能承受的最高電壓.(自然對數(shù)的底e = 2.7183)解：設(shè)圓柱形電容器單位長度上帶有電荷為入，則電容器兩極板之間的場強(qiáng)分布為 E=X /(2 n£ r)設(shè)電容器內(nèi)外兩極板半徑分別為r0, R,則極板間電壓為R入入 R U=E? dr=? In dr=2 n£ r2 n&#

4、163; r0rr電介質(zhì)中場強(qiáng)最大處在內(nèi)柱面上，當(dāng)這里場強(qiáng)達(dá)到E0時(shí)電容器擊穿，這時(shí)應(yīng)有R入=2 n£ r0EU)=r0E0lnR r0適當(dāng)選擇r0的值，可使U有極大值，即令 dU/drO=EOIn(R/rO)-EO=O，得 rO=R/e，顯然有d2UdrO< O， 故當(dāng)rO=R/e時(shí)電容器可承受最高的電壓 Umax=REO/e = 147 kV.3. 如圖所示，一圓柱形電容器，內(nèi)筒半徑為R1,外筒半徑為R2 (R2V2 R1)，其間充有相對介電常量分別為& r和& rZ & r1 / 的兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R.若兩種介質(zhì)的擊穿電場強(qiáng)度相

5、同，問：(1) 當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？(2) 該電容器能承受多高的電壓？解： 設(shè)內(nèi)、外筒單位長度帶電荷為+ 入和一入.兩筒間電位移的大小為 D=入/(2 n在兩層介質(zhì)中的場強(qiáng)大小分別為E1 =入/ (2 n&,0 E2 r=r)X / (2 n&在兩層介質(zhì)中的場強(qiáng)最大處是各層介質(zhì)的 內(nèi)表面處，即E1M = X / (2 n& 0,&E2MI=入 / (2 n& 0可得/ E2M = & r2R / (& r1R1)=R / (2R1)已知R1V 2 R1，可見E1M v E2M，因此外層介質(zhì)先擊穿.(2)當(dāng)內(nèi)筒上電量達(dá) 到XM,使

6、E2M = EM時(shí)，即被擊穿，X M = 2 n& O & r2iREMl兩筒間電壓(即最高電壓)為：U12=?RR1R? 1 入 MX MR2R1? dr+ ?dr二 & r2REM In+lr?R2n ££ r2 n ? 0T2? rrflrRI & r24. 一空氣平行板電容器，兩極板面積均為 S,板間距離為d (d遠(yuǎn)小于極板線度), 在兩極板間平行地插入一面積也是 S、厚度為t (<d)的金屬片，如圖所示試求： (1)電容C于多少？ (2)金屬片放在兩極板間的位置對電容值有無影響？解：設(shè)極板上分別帶電荷+q和-q；金屬片與A板距

7、離為di，與B板距離為d2; 金屬片與A板間場強(qiáng)為E1=q/( & 0S)金屬板與B板間場強(qiáng)為E2=q/( & 0S金屬片內(nèi)部場強(qiáng)為E'=0則兩極板間的電勢差 為Aqq(d1+d2)=(d-t)& 0S£ OS由此得 C=q/(UA-UB)=£ OS/(dt)UA-UB=E1d1+E2d2 =因C值僅與d、t有關(guān)，與d1、d2無關(guān)，故金屬片的安放位置對電容值無影響.5. 如圖所示，一電容器由兩個(gè)同軸圓筒組成，內(nèi)筒半徑為 a,外筒半徑為b,筒 長都是L,中間充滿相對介電常量為 &的各向同性均勻電介質(zhì)內(nèi)、外筒分別帶 有等量異號電荷+Q和-

8、Q.設(shè)(b- a) << a，L >> b，可以忽略邊緣效應(yīng)，求：(1) 圓柱形電容器的電容；(2) 電容器貯存的能量.解：由題給條件(b-a)vva和L>>b，忽略邊緣效應(yīng),應(yīng)用高斯定理可求出兩 筒之間 的場強(qiáng)為：E=Q/(2n£ 0 £ rLr)Qbdrln=? 2 n££ La2 n&& LrOrOra電容器的電容 C=Q/U=(2冗& 0 £ rL)/ln(b/a)12電容器貯存的能量 W=CU=Q2/(4t& 0 £ rL)ln(b/a)2兩筒間的電勢差U=

9、6. 如圖所示，一平板電容器，極板面積為 S,兩極板之間距離為d,其間填有兩 層厚度相同的各向同性均勻電介質(zhì)，其介電常量分別為&和& 2當(dāng)電容器帶電荷±Q時(shí)，在維持電荷不變下，將其中介電常量為 £ 的介質(zhì)板抽出，試求外力所 作的功.解：可將上下兩部分看作兩個(gè)單獨(dú)的電容器串聯(lián)，兩電容分別為bQ2 £ 1S2& 2S，C2= dd2£ 1 £ 2S串聯(lián)后的等效電容為C=d £ 1+£ 2 3 =Q2Q2d(£ 1+ &帶)電荷±Q時(shí)，電容器的電場能量為 W= =2C4&

10、 1 & 2SQ2d( & 0+將 2)1 的介質(zhì)板抽去后，電容器的能量為 W=4 £ 0 £ 2SQ2d? 11?外力作功等于電勢能增加，即 A=?W=W-W= -? ?4S? £ 0?17. 如圖所示，將兩極板間距離為d的平行板電容器垂直地插入到密度為p相對介電常量為£的液體電介質(zhì)中如維持兩極板之間的電勢差 U不變，試求液體 上升的高度h.解：設(shè)極板寬度為L,液體未上升時(shí)的電容為 CO = & OHL /液體上升到h高度時(shí) 的電容為£錚C=£ O(Hh)L+ ££ hLOrd? ( -1

11、)h? =? 1+rCO ?dH?在U不變下，液體上升后極板上增加的電荷為?Q=CU-C0U= O(-hLU/d電源作功 A=?QU= O( &-1)hLU2/d液體上升后增加的電能111CU2-COU2= O( -1)hLU2/d 22212液體上升后增加的重力勢能？W2=P gdh 2& O(-1)U2因 A = ?W1+?W2，可解出 h= 2 p gd ?0仁思考題1.無限大均勻帶電平面(面電荷密度為 J兩側(cè)場強(qiáng)為E=c /(2 £ ,O)而在靜 電平衡狀態(tài)下，導(dǎo)體表面(該處表面面電荷密度為 J附近場強(qiáng)為E=j/ 為什 么前者比后者小一半？參考解答：關(guān)鍵是題目

12、中兩個(gè)式中的 j不是一回事。下面為了討論方便，我們把導(dǎo)體表面的 面電荷密度改為 6其附近的場強(qiáng)則寫為E=J'/ £ 0.對于無限大均勻帶電平面(面電荷密度為6，兩側(cè)場強(qiáng)為E= j/(2 £這里的6是指 帶電平面單位面積上所帶的電荷。對于靜電平衡狀態(tài)下的導(dǎo)體，其表面附近的場強(qiáng)為E=j'/ £ 0.這里的6是指帶電導(dǎo)體表面某處單位面積上所帶的電荷。如果無限大均勻帶電平面是一個(gè)靜電平衡狀態(tài)下的無限大均勻帶電導(dǎo)體板，則6是此導(dǎo)體板的單位面積上(包括導(dǎo)體板的兩個(gè)表面)所帶的電荷，而6僅是導(dǎo)體板 的一個(gè)表面單位面積上所帶的電荷。在空間僅有此導(dǎo)體板(即導(dǎo)體板旁沒

13、有其他電荷和其他電場)的情形下，導(dǎo)體板 的表面上電荷分布均勻，且有兩表面上的面電荷密度相等。在此情況下兩個(gè)面電 荷密度間的關(guān)系為6 =2 6這樣，題目中兩個(gè)E式就統(tǒng)一了。思考題2:由極性分子組成的液態(tài)電介質(zhì)，其相對介電常量在溫度升高時(shí)是增大 還是減小？參考解答：由極性分子組成的電介質(zhì)(極性電介質(zhì))放在外電場中時(shí)，極性分子的固有電矩 將沿外電場的方向取向而使電介質(zhì)極化。由于極性分子還有無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)存在， 這種取向不可能完全整齊。當(dāng)電介質(zhì)的溫度升高時(shí)，極性分子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)更加劇烈，取向更加不整齊， 極化的刀pi效果更差。此情形下，電極化強(qiáng)度 P=將會比溫度升高前減小。？V在 電介質(zhì)中的電場E不太

14、強(qiáng)時(shí)，各向同性電介質(zhì)的 P和E間的關(guān)系為P=£ 0(-1)E. 很明顯，在同樣的電場下，當(dāng)溫度升高后，相對介電常量£要減小。思考題3:有一上下極板成B角的非平行板電容器(長為a，寬為b)，其電容如 何計(jì)算？ 參考解答：設(shè)一平行板電容器是由長為a寬為b的兩導(dǎo)體板構(gòu)成，板間距為d ,則電容為C0= £ abd,若該電容器沿兩極板的長度同一方向有 d x的長度增量，則電容為C'= £ a(b+dx) d=C0+£ adxd,在此基礎(chǔ)上推廣到 如圖所示的電容器，可以認(rèn)為是在 C0的基礎(chǔ)上，上極板沿與長度 方向成B角度連續(xù)增加到b,下極板沿長度方

15、向連續(xù)增加到 bcosB 構(gòu)成，把該電容器看成是由兩個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)，該電容器的電容為C'=C0+? bcos 90 £ adld+ltan 9 =C0+£ ad+bsin 9 In tan 9d即非平行板電容器的電容，C=£ ad+bsin 9 Intan 9d思考題4:為了實(shí)時(shí)檢測紡織品、紙張等材料的厚度(待 測材料可視作相對電容率為 £的電介質(zhì))，通常在生產(chǎn)流 水線上設(shè)置如圖所示的傳感裝置，其中A、B為平板電容器的導(dǎo)體極板，S為極板面積，d0為兩極板間的距離。試 說明檢測原理，并推出直接測量電容 C與間接測量厚度d 之間的函數(shù)關(guān)系。如果要檢測鋼板等金屬材料的厚度，結(jié) 果又將如何？ 參考解答： 設(shè)極板帶電q=c 0S兩板電勢差：？U=E無電介質(zhì)(d0-d)+E有電介質(zhì)dCT 0 (T (dd)+0d£ 0 £ 0