用空間向量法解題(三大角、距離、體積、平行(解析版)(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)講座：考點(diǎn)42用空間向量法解題（三大角、距離、體積、平行于垂直等問(wèn)題）一.考綱目標(biāo)會(huì)求直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角；會(huì)用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法）和距離公式計(jì)算七種距離二知識(shí)梳理1異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上異面直線所成的角的范圍：2求異面直線所成的角的方法：（1）幾何法；（2）向量法3直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面

2、所成的角一直線垂直于平面所成的角是直角，一直線平行于平面或在平面內(nèi)所成角為0角直線和平面所成角范圍： 0，（2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角4公式：平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有5二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面若棱為，兩個(gè)面分別為的二面角記為；6二面角的平面角：（1）過(guò)二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2

3、）一個(gè)平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角說(shuō)明：二面角的平面角范圍是；二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直7二面角的求法：幾何法；向量法來(lái)源:8求二面角的射影公式：，其中各個(gè)符號(hào)的含義是：是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖形F的面積，是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影，是二面角的大小9三種空間角的向量法計(jì)算公式：異面直線所成的角：；直線與平面(法向量)所成的角：；銳二面角：，其中為兩個(gè)面的法向量10.點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)是平面外的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則唯一，則是點(diǎn)到平面的距離, 即一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的

4、距離結(jié)論：連結(jié)平面外一點(diǎn)與內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中，垂線段最短16.直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離)17.兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段：（1）兩個(gè)平面的公垂線：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線（2）兩個(gè)平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段（3）兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個(gè)平行平面間的線段長(zhǎng)18.兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離19七種距離：點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、

5、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點(diǎn)到平面的距離有時(shí)用“體積法”來(lái)求來(lái)源:20.用向量法求距離的公式：直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量?jī)善叫衅矫嬷g的距離：，其中是平面的法向量點(diǎn)A到平面的距離：，其中，是平面的法向量例題解析1.異面直線所成角例1. 已知正四棱柱中，=，為重點(diǎn)，則異面直線與所形成角的余弦值為A B C D 答案：C解析：本題考查異面直線夾角求法，方法一：利用平移，CDBA,因此求EBA中ABE即可，易知EB=,AE=1,AB=,故由余弦定理求cosABE=，或由向量法可求

6、.例2 2011天津卷 如圖18所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長(zhǎng)【解答】 方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)依題意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，)(1) 易得(，)，(2，0,0)，于是cos，.所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2)易知(0,2，

7、0)，(，) 設(shè)平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，則即不妨令x，可得m(，0，)同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，則即不妨令y，可得n(0，)于是cosm，n，從而sinm，n.所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得N. 設(shè)M(a，b,0)，則.由MN平面A1B1C1，得即解得故M. 因此，所以線段BM的長(zhǎng)|.2. 線面角例32013湖南卷 如圖14所示，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13. (1)證明：ACB1D； (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值解：方法二 (1)證明

8、：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)從而(t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0)因?yàn)锳CBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1，0)因?yàn)?300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，1(0，3，3)，(，1，0)，(0，1，0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則即 令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與

9、平面ACD1所成角為，則 sin|cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.3. 二面角例42013新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖13所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCBAB.(1)證明：BC1平面A1CD； (2)求二面角DA1CE的正弦值解：(1)證明：聯(lián)結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF，則BC1DF.因?yàn)镈F平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD. (2) 由ACCBAB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，則D(1，1，0)

10、，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即 可取n(1，1，1)同理，設(shè)m為平面A1CE的法向量，則 可取m(2，1，2)從而cosn，m，故sinn，m. 即二面角DA1CE的正弦值為.例52013天津卷 如圖13所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：B1C1CE； (2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為.求線段AM的長(zhǎng)解：方法

11、一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)來(lái)t(1) 證明：易得(1，0，1)，(1，1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)(1，2，1)，設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2，1)由(1)，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1，0，1)為平面CEC1的一個(gè)法向量于是cosm，從而sinm，.所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3) (0，1，0)，(1，1，1)設(shè)(，)，01，有

12、(，1，)可取(0，0，2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sin |cos，|.于是，解得(負(fù)值舍去)，所以AM.4.線面、面面垂直 例7.2011湖北卷 如圖14，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合(1)當(dāng)CF1時(shí)，求證：EFA1C；(2)設(shè)二面角CAFE的大小為，求tan的最小值【解答】解法2：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,4)，E(，3,0)，F(xiàn)(0,4,1)，于是(0，4,4)，(，1,1)，則(

13、0，4,4)(，1,1)0440，故EFA1C.(2)設(shè)CF(04)，平面AEF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則由(1)得F(0,4，)，(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得 即取m(，4)，又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面A1C的一個(gè)法向量為n(1,0,0)，于是由為銳角可得cos，sin，所以tan，由04，得，即tan，故當(dāng)4，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，tan取得最小值.例8. 已知直角梯形ABCD與等腰直角APB所在平面互相垂直，ADBC，APBABC90，ABBC2AD2，E為PB的中點(diǎn)(1)求證：直線AE平面PCD；(2)求平面PCD與平面PAB所成角的正弦值(1)證明如圖1取PC

14、的中點(diǎn)F，連接EF、DF.在PBC中，PEEB，PFFC，所以EF綊BC，又AD綊BC，所以EF綊AD，故四邊形AEFD為平行四邊形，所以AEDF，又因?yàn)锳E面PCD，DF面PCD，所以AE平面PCD.(2)解如圖2，取AB的中點(diǎn)O，CD的中點(diǎn)Q，連接OP，OQ.在APB中，APPB，OAOB，APB90，所以POAB，且POAB1.在直角梯形ABCD中，AOOB，DQQC，所以O(shè)QBC，又因?yàn)锽CAB，所以O(shè)QAB，又因?yàn)槊鍭PB面ABCD，面APB面ABCDAB，所以O(shè)Q面PAB.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)P、OB、OQ為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(1,0,0)，A(0，1,0)，

15、B(0,1,0)，C(0,1,2)，D(0，1,1)故(1，1,1)，(1,1,2)設(shè)面PCD的法向量為n(x，y，z)，則由，得，令y1，則z2，x3. 故n(3,1，2)為面PCD的一個(gè)法向量因?yàn)镺Q面PAB，所以可取m(0,0,1)為面PAB的一個(gè)法向量故cosm，n.設(shè)所求二面角為，所以|cos |cosm，n|，所以sin . 7.平行與垂直例11. 如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、，求證： （III）求二面角的余弦解: 因等腰直角三角形，所以又因?yàn)槠矫妫云矫妫约磧蓛纱怪?；如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

16、 (I) 設(shè)，則， 從而 ，于是， ,平面，平面， （II），從而于是 又平面，直線不在平面內(nèi)， 故平面（III）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，并設(shè)（ 即取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個(gè)法向量為 8.線面距離例12. 在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離； （）二面角的平面角的正切值解：（）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設(shè)可得,由.即,解得 ，面,所以直線AB到面的距離等于點(diǎn)A到面的距離.設(shè)A點(diǎn)在平面上的射影點(diǎn)為,則 因且,而,此即 解得,知G點(diǎn)在面上,故G點(diǎn)在FD上.,故有 聯(lián)立,解得, 為直線AB到面的距離. 而 所以（）因四邊形為平行四邊形,則可設(shè), .由得,解得.即.故由,因,故為二面角的平面角，又,所以9.開(kāi)放性試題例13. 四棱錐SABCD