第一節(jié)排列組合與二項(xiàng)式展開

1、第一節(jié)排列組合與二項(xiàng)式定理一、考試要求：1、應(yīng)用排列和組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算；2、已知二項(xiàng)式，會(huì)求展開式中的任意一項(xiàng)；3、掌握二項(xiàng)式的性質(zhì)，能用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.二、基礎(chǔ)知識(shí)1、排列：2、組合：3、 n個(gè)元素的全排列數(shù)： ；4、 n個(gè)元素中選k個(gè)元素的排列數(shù)： ；5、 n個(gè)元素可重復(fù)選 k次的排列數(shù)： ；6、 n個(gè)元素中選k個(gè)元素的組合數(shù)： ；7、 組合的對(duì)偶法則組合的增一法則&二項(xiàng)式的展開式：9、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)： 三、基礎(chǔ)練習(xí)1、 A9 = ；C9 =；2、 0! = ； Cn = ； Cn =；3、 C94 + C3 =;4、已知Cm CmC5C67，則 C；二cm5、解不等式A 6A

2、9.6、（a- b）2n的展開式共有項(xiàng).7、（2a-丄）11展開式中含a5項(xiàng)的系數(shù)是a8、c；+ c； + c3+ + c9 =9、 （2x2+3）9中的常數(shù)項(xiàng)是 .x10、 （a- 2b）10展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)是 .11、 （d-丄）8的展開式中有理項(xiàng)共有 項(xiàng).x12、化簡(jiǎn)（x- 1）4 + 4（x- 1）3+ 6（x- 1）2 + 4（x- 1）+ 1 = 四、典型例題 例題1已知A+A = 4A3，求n的值.思路導(dǎo)引：利用排列的公式計(jì)算，先約分后計(jì)算，再解方程，但是要注意n的取值范圍.解：化簡(jiǎn)得：（n- 3）2= 4.解得n = 5評(píng)注：注意n的范圍.類題演練1已知c1o= C3；-2

3、，求n.變式提升1： cX+； + cX+；二丄心3，求x.10例題 2：計(jì)算(1) cf + c3 + c4 + + c爲(wèi) + g2oo ；(2) C50+ C5l + C52 + C53 + + C；9 思路導(dǎo)引：利用組合的兩個(gè)性質(zhì)解: ( 1 )原式=C3 + C32 + c4 + + C；99 + cloooC1000(2)原式=C501 + c；1 + C52 + C53 + + c：9=C60類題演練 2:c3+ C43 + c3+ + G3oo ；變式提升 2: GO + c； + c22 + + G9 ；例題3：求(3x- 2 )6展開式中不出現(xiàn)x的項(xiàng).Jx思路導(dǎo)引：不出現(xiàn)x的

4、項(xiàng)就是指x的指數(shù)為0,只要寫出通項(xiàng)公式, 然后令x的指數(shù)等于0即可.解：設(shè)第k+1項(xiàng)不出現(xiàn)x，根據(jù)題意得Tr+1 = c；(3x) & k(-6- 3kT5 = 2160=(-1)k 鬃6- k 2k?Ckx 2 6- 3k = 0 即 k=42評(píng)注：不出現(xiàn)x項(xiàng)、不含x項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)都是同一含義.類題演練3：求(2x3- 1 )12的展開式中的第四項(xiàng)、中間項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng).x變式提升3:求(x2+3x+2)5的展開式中含x的項(xiàng).例題4：在(匸+的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為128,求展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)思路導(dǎo)引：先求n再求系數(shù)最大的項(xiàng)解：由 C0+ C2+ Cn + .= 2n-1 得2n-1 = 128

5、, n= 8所以（G+展開式的系數(shù)最大項(xiàng)是第五項(xiàng)T5= C；(7X)4(二)4 = 70x, x評(píng)注：二項(xiàng)式的系數(shù)和公式類題演練4:已知（2x- -）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 32,求此展開式中的x常數(shù)項(xiàng).變式提升4:已知（，X +124 x）n的展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求其展開式中的有理項(xiàng).例題5:設(shè)(+ x =a +axi+ax 2 + .+3x 9 (x? R)，且ao+ai+.+ ag = - 1 (1)求k ; (2) 求 q + a2+.+ a 的值.思路導(dǎo)引：x取特殊值1, 0, -1解：(1)令x= 1得9(1 + k) = a0 + a1 + a2 + .+ ag

6、,a0 + 3| + a2 + .+ ag = - 1(1+ k)9 = - 1, k= - 2(2)由(1) 得 (1- 2x)9 = a0 + qx+ a2x2 + .+ a9x9令x = 0得 a0 = 1a0 + a1 + a2 + .+ a9 = - 2類題演練5: 已知(1- 3x)9 =a+ x+ a?x2+ .+ ayx9，求 a + Q + .+ a?變式提升5:(1- 2x)n的展開式中第二項(xiàng)與第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式各項(xiàng)的系數(shù)之和五、課后練習(xí)1、1+ 4(x- 1)+ 6(x- 1)2 + 4(x- 1)3 + (x- 1)4 等于()A. (x- 1)4B. x

7、4C. (x+1)4D. (x- 2)42、 在(2 - x)10的展開式中，-C；鬃7 x3是()A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng) C.第7項(xiàng) D .第8 項(xiàng)3、在(a+b)2n+1的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是()A .第n項(xiàng)B .第n項(xiàng)和第n+ 1項(xiàng)C.第n+2項(xiàng)D.第n+ 1項(xiàng)和第n+2項(xiàng)4、若(x-；)n的展開式中第三項(xiàng)系數(shù)等于6,則n等于()A . 16B. 12C. 8D . 45、 (10+xlgx)的展開式中第4項(xiàng)為106，則x的值為()A . 10B.丄10C . 10或丄D .以上答案均不對(duì)10咼 三6、(y- 1)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為32,則含1項(xiàng)的系數(shù)yy是()A .

8、 2B. 20C. 15D. 157、 (1- x)11的展開式中含x奇次幕的項(xiàng)的系數(shù)和是 。8、(1+x)+ (1+x)2+(1+x)3+川+(1+X)20的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是O9、 (a3-右)8展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和等于 。10、 化簡(jiǎn) 1- 3Cn+9Cn- 27C:+ 川+ (- Dn3nC：=。11、 在(1- x3)(1 + x)10的展開式中，x5的系數(shù)是。12、 若Q + xn展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2: 4: 5,則展開式中系數(shù)最大是第 。13、 若 (-x6 o = a)1 + a II2 x+a, + 6則 + aa0 +樹 + . . =一+ a6；14、設(shè) a=2+i