第三章--靜電場中的電介質(zhì)習(xí)題及答案(共45頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第三章 靜電場中的電介質(zhì)一、判斷題1、當(dāng)同一電容器內(nèi)部充滿同一種均勻電介質(zhì)后，介質(zhì)電容器的電容為真空電容器的倍。×2、對有極分子組成的介質(zhì)，它的介電常數(shù)將隨溫度而改變。3、在均勻介質(zhì)中一定沒有體分布的極化電荷。（內(nèi)有自由電荷時(shí)，有體分布）×4、均勻介質(zhì)的極化與均勻極化的介質(zhì)是等效的。×5、在無限大電介質(zhì)中一定有自由電荷存在。6、如果一平行板電容器始終連在電源兩端，則充滿均勻電介質(zhì)后的介質(zhì)中的場強(qiáng)與真空中場強(qiáng)相等。7、在均勻電介質(zhì)中，如果沒有體分布的自由電荷，就一定沒有體分布的極化電荷。8、在均勻電介質(zhì)中，只有為恒矢量時(shí)，才沒有體分布的極

2、化電荷。 =恒矢量 ×9、電介質(zhì)可以帶上自由電荷，但導(dǎo)體不能帶上極化電荷。10、電位移矢量僅決定于自由電荷。×11、電位移線僅從正自由電荷發(fā)出，終止于負(fù)自由電荷。12、在無自由電荷的兩種介質(zhì)交界面上，線不連續(xù)。(其中，為自由電荷產(chǎn)生的電場，為極化電荷產(chǎn)生的電場)13、在兩種介質(zhì)的交界面上，當(dāng)界面上無面分布的自由電荷時(shí)，電位移矢量的法向分量是連續(xù)的。14、在兩種介質(zhì)的交界面上，電場強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)的。×15、介質(zhì)存在時(shí)的靜電能等于在沒有介質(zhì)的情況下，把自由電荷和極化電荷從無窮遠(yuǎn)搬到場中原有位置的過程中外力作的功。×16、當(dāng)均勻電介質(zhì)充滿電場存在的整個(gè)空

3、間時(shí)，介質(zhì)中的場強(qiáng)為自由電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場強(qiáng)的分之一。二、選擇題1. 一平行板真空電容器，充電到一定電壓后與電源切斷，把相對介質(zhì)常數(shù)為的均勻電介質(zhì)充滿電容器。則下列說法中不正確的是：（A） 介質(zhì)中的場強(qiáng)為真空中場強(qiáng)的倍。（B） 介質(zhì)中的場強(qiáng)為自由電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場強(qiáng)的倍。（C） 介質(zhì)中的場強(qiáng)為原來場強(qiáng)的倍。（D） 介質(zhì)中的場強(qiáng)等于真空中的場強(qiáng)。D2. 如果電容器兩極間的電勢差保持不變，這個(gè)電容器在電介質(zhì)存在時(shí)所儲(chǔ)存的自由電荷與沒有電介質(zhì)（即真空）時(shí)所儲(chǔ)存的電荷相比(A)增多 （B）減少 （C）相同 （D）不能比較A3. 在圖中，A是電量的點(diǎn)電荷，B是一小塊均勻的電介質(zhì)，都是封閉曲面，下列說法中不正

4、確的是：（A）（B）（C）（D）D4. 在均勻極化的電介質(zhì)中，挖出一半徑為r，高度為h的圓柱形空腔，圓柱的軸平行于極化強(qiáng)度垂直，當(dāng)h»r時(shí)，則空腔中心的關(guān)系為：（A）（B）（C）（D）C5. 在均勻極化的，挖出一半徑為r，高度為h的圓柱形空腔，圓柱的軸平行于極化強(qiáng)度垂直，當(dāng)h«r時(shí)，則空腔中心的關(guān)系為：（A）（B）（C）（D）B6. 一個(gè)介質(zhì)球其內(nèi)半徑為R，外半徑為R+a，在球心有一電量為的點(diǎn)電荷，對于R<r<R+a電場強(qiáng)度為：（A） (B) (C) (D)A7. 一內(nèi)半徑為a，外半徑為b的駐體半球殼，如圖所示，被沿+Z軸方向均勻極化，設(shè)極化強(qiáng)度為,球心O處的場

5、強(qiáng)是：（A）（B）（C）（D）D8. 內(nèi)外半徑為的駐極體球殼被均勻極化，極化強(qiáng)度為的方向平行于球殼直徑，殼內(nèi)空腔中任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度是：（A） (B) (C) (D)B9. 半徑為R相對介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)球的中心放置一點(diǎn)電荷q，則球內(nèi)電勢的分布規(guī)律是：（A） (B) (C) (D)C10. 球形電容器由半徑為的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼所構(gòu)成，球殼的內(nèi)半徑為,其間一半充滿相對介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，另一半為空氣，如圖所示，該電容器的電容為：（A） （B）（C）（D）D11. 把一相對介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)球殼套在一半徑為a的金屬球外，金屬球帶有電量q，設(shè)介質(zhì)球殼的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，則系

6、統(tǒng)的靜電能為：（A） (B)（C） (D)B三、填空題1、如圖，有一均勻極化的介質(zhì)球，半徑為R，極化強(qiáng)度為P，則極化電荷在球心處產(chǎn)生的場強(qiáng)是（ ）在球外Z軸上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)是（ ） 2、帶電棒能吸引輕小物體的原因是（ ）。輕小物體由于極化在靠近帶電棒一端出現(xiàn)與帶電棒異號(hào)的極化電荷3、附圖給出了A、B兩種介質(zhì)的分界面，設(shè)兩種介質(zhì)A、B中的極化強(qiáng)度都是與界面垂直，且，當(dāng)取由A指向B時(shí)，界面上極化電荷為（ ）號(hào)。當(dāng)由B指向A時(shí)，界面上極化電荷為（ ）號(hào)。正 負(fù) 4、如果電介質(zhì)中各的（ ）相同，這種介質(zhì)為均勻電介質(zhì)。如果電介質(zhì)的總體或某區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的（ ）相同，這個(gè)總體或某區(qū)域內(nèi)是均勻極化的。 5、成

7、立的條件是（ ）。介質(zhì)為均勻介質(zhì)6、在兩種不同的電介質(zhì)交界面上，如果交界面上無自由電荷，則= ( )。7、介質(zhì)中電場能量密度表示為 只適用于（ ）介質(zhì)。適用于( )介質(zhì)。各向同性的均勻線性 線性8、若先把均勻介質(zhì)充滿平行板電容器，（極板面積為S，極反間距為L，板間介電常數(shù)為）然后使電容器充電至電壓U。在這個(gè)過程中，電場能量的增量是（ ）。9、平行板電容器的極板面積為s，極板間距為d中間有兩層厚度各為的均勻介質(zhì)（）,它們的相對介電常數(shù)分別為。(1)當(dāng)金屬板上自由電荷的面密度為時(shí)，兩層介質(zhì)分界面上極化電荷的面密度= ( )。（2）兩極板間的電勢差( )。（3）電容C= （ ）。 10、如圖所示一平

8、行板電容器充滿三種不同的電介質(zhì)，相對介電常數(shù)分別為。極板面積為A，兩極板的間距為2d,略去邊緣效應(yīng)，此電容器的電容是（ )。11、無限長的圓柱形導(dǎo)體，半徑為R，沿軸線單位長度上帶電量，將此圓柱形導(dǎo)體放在無限大的均勻電介質(zhì)中，則電介質(zhì)表面的束縛電荷面密度是（ ）。12半徑為a的長直導(dǎo)線，外面套有共軸導(dǎo)體圓筒，筒的內(nèi)半徑為b，導(dǎo)線與圓筒間充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，沿軸線單位長度上導(dǎo)線帶電為，圓筒帶電為-,略去邊緣效應(yīng)，則沿軸線單位長度的電場能量是（ ）。13、一圓柱形的電介質(zhì)截面積為S，長為L，被沿著軸線方向極化，已知極化強(qiáng)度沿X方向，且P=KX（K為比例常數(shù)）坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓柱的一個(gè)端面上，如圖所

9、示則極化電荷的體密度（ ）在X=L的端面上極化電荷面密度為（ ）極化電荷的總電量為（ ）。 14、在如圖所示的電荷系中相對其位形中心的偶極矩為（ ）。0四、問答題1、電介質(zhì)的極化和導(dǎo)體的靜電感應(yīng)，兩者的微觀過程有何不同？答：從微觀看，金屬中有大量自由電子，在電場的作用下可以在導(dǎo)體內(nèi)位移，使導(dǎo)體中的電荷重新分布。結(jié)果在導(dǎo)體表面出感應(yīng)電荷。達(dá)到靜電平衡時(shí)感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場與外加電場相抵消，導(dǎo)體中的合場強(qiáng)為零。導(dǎo)體中自由電子的宏觀移動(dòng)停止。在介質(zhì)中，電子與原子核的結(jié)合相當(dāng)緊密。電子處于束縛狀態(tài)，在電場的作用下，只能作一微觀的相對位移或者它們之間連線稍微改變方向。結(jié)果出現(xiàn)束縛電荷。束縛電荷所產(chǎn)生的電

10、場只能部分地抵消外場，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電介質(zhì)內(nèi)部的電場不為零。2、為什么要引入電位移矢量D？E與D哪個(gè)更基本些？答：當(dāng)我們研究有電介質(zhì)存在的電場時(shí)，由于介質(zhì)受電場影響而極化，出現(xiàn)極化電荷，極化電荷的場反過來改變原來場的分布?？臻g任一點(diǎn)的場仍是自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生即： 因此，要求介質(zhì)中的，必須同時(shí)知道自由電荷及極化電荷的分布。而極化電荷的分布取決于介質(zhì)的形狀和極化強(qiáng)度，而,而正是要求的電場強(qiáng)度。這樣似乎形成計(jì)算上的循環(huán)，為了克服這一困難，引入輔助量。由知，只要已知自由電荷，原則上即可求，再由求。故更基本些。3、把平行板電容器的一個(gè)極板置于液態(tài)電介質(zhì)中，極板平面與液面平行，當(dāng)電容器與電源連接時(shí)會(huì)

11、產(chǎn)生什么現(xiàn)象？為什么？答：當(dāng)電容器與電源連接時(shí)，電容器將離開電介質(zhì)。這是因?yàn)楫?dāng)考慮電容器邊緣效應(yīng)時(shí)兩極板外表面也帶上等量異號(hào)電荷，當(dāng)其中一極板平面與液面平行時(shí)，由于介質(zhì)極化，該極板電荷所受到的靜電力小于另一極板電荷所受到靜電力。且二者方向相反電容器整體受一個(gè)向上的合力作用。五、證明題1、一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，球內(nèi)均勻地分布著自由電荷，體密度為，設(shè)介質(zhì)是線性、各向同性和均勻的，相對介電常數(shù)為，試證明球心和無窮遠(yuǎn)處的電勢差是： 證明：當(dāng)時(shí)以球心為心，為半徑作球面（高斯面）如圖虛線所示，由對稱性和的高斯定理得 由得當(dāng)時(shí)取高斯面如圖虛線所示，同理得取無限遠(yuǎn)處電勢為零，則球心與無限遠(yuǎn)處的電勢差等于球心

12、電勢。根據(jù)電勢與場強(qiáng)的關(guān)系得六、計(jì)算題1、將一個(gè)半徑為a的均勻介質(zhì)球放在電場強(qiáng)度為E0的均勻電場中；電場E0由兩塊帶等量異號(hào)電荷的無限大的平行板所產(chǎn)生，假定介質(zhì)球的引入未改變平板上的電荷分布，介質(zhì)的相對介電常數(shù)為r， （1）求介質(zhì)小球的總電偶極矩 （2）若用一個(gè)同樣大小的理想導(dǎo)體做成的小圓球代替上述介質(zhì)球（并設(shè)E0不變），求導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷的等效電偶極矩。解：（1）均勻介質(zhì)球放在均勻電場中將被均勻極化，故只有球面上有極化電荷，設(shè)極化電荷面密度為，在球心產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為，則球心的場強(qiáng)為如圖1-1因由于余弦分布帶電球面在球內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)電場，所以根據(jù)對稱性可得球內(nèi)的場強(qiáng)為 圖1-1其方向與方向相反所以

13、根據(jù)與的關(guān)系由、式得由極化強(qiáng)度定義得介質(zhì)球的總電偶極矩為 （2）將導(dǎo)體球放在均勻電場中，導(dǎo)體球感應(yīng)電荷面密度為余弦分布，如圖1-2所示設(shè)根據(jù)對稱性則球內(nèi)的場強(qiáng)為 其方向與方向相反由靜電平衡條件得 圖1-2在球面上取一電偶極子，電量為偶極子臂為，根據(jù)對稱性，元電偶極矩為 由、式得感應(yīng)電荷的等效電偶極矩為 2、一圓柱形電介質(zhì)長為L，其橫截面的半徑為R，被沿著軸線方向極化，極化強(qiáng)度（k為一常數(shù)），設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O在介質(zhì)圓柱內(nèi)左端面的中心，此外無其它電場源，試求：（1）在介質(zhì)圓柱中心一點(diǎn)的電場強(qiáng)度E和電位移D；（2）在坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電場強(qiáng)度E和電位移D。解：極化電荷的體密度為即介質(zhì)內(nèi)均勻地分布差負(fù)的體極化

14、電荷，在的端面上的極化電荷面密度為 在的端面上的極化電荷密度為（1）在圓柱中心體極化電荷不產(chǎn)生場，只有在X=L處而極化電荷產(chǎn)生場，根據(jù)均勻帶電圓盤軸線上的場強(qiáng)公式得 由電位移矢量定義式得中心處的為（2）在圓柱端部中心的場由體極化電荷和面極化電荷共同產(chǎn)生。在距原點(diǎn)處，取一圓盤，厚度如圖所示，其上電量為圓盤上電荷面密度為該圓盤在原點(diǎn)O處產(chǎn)生的電場為 體極化電荷在原點(diǎn)O處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為面極化電荷在原點(diǎn)O處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 原點(diǎn)處電位移矢量為3、一塊柱極體圓片，半徑為R，厚度為t，在平行于軸線的方向上永久極化，且極化是均勻的，極化強(qiáng)為P， 試計(jì)算在軸線上的場強(qiáng)E和電位移D（包括圓片內(nèi)外）。解： 在垂

15、直x軸的兩個(gè)外表面均勻帶正負(fù)面極化電荷，如圖所示，其面密度為對在圓片內(nèi)任一點(diǎn)而言兩表面相當(dāng)無窮大均勻帶電平面，圓片內(nèi)電場強(qiáng)度為電位移矢量為對圓片內(nèi)外軸線任一點(diǎn)而言，兩表面相當(dāng)于均勻帶電圓盤。在距原點(diǎn)處，正負(fù)帶電圓盤產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為 該處的總電場強(qiáng)度為因?yàn)閠很小，用臺(tái)勞級數(shù)將上式在t=0處展開，取前兩項(xiàng)取則有 所以 電位移矢量為4、半導(dǎo)體器件的p-n結(jié)中，n型內(nèi)有不受晶格束縛的自由電子、p型區(qū)內(nèi)則有相當(dāng)于正電荷的空穴。由于兩區(qū)交界處自由電子和空穴密度不同，電子向p區(qū)擴(kuò)散，空穴向n區(qū)擴(kuò)散，在結(jié)的兩邊留下雜質(zhì)離子，因而產(chǎn)生電場，阻止電荷繼續(xù)擴(kuò)散，當(dāng)擴(kuò)散作用與電場的作用相平衡時(shí)，電荷及電場的分布達(dá)到穩(wěn)

16、定狀態(tài)，而在結(jié)內(nèi)形成了一個(gè)偶電區(qū)（如圖如示），稱為阻擋層?，F(xiàn)設(shè)半導(dǎo)體材料的相對介電常數(shù)為，結(jié)外電荷體密度，結(jié)內(nèi)電荷的體分布為式中e為電子電量，k為常數(shù)，試求p-n結(jié)內(nèi)電場強(qiáng)度和電勢的分布，并畫出、和隨變化的曲線。解：建立坐標(biāo)軸如圖4-1所示，在結(jié)內(nèi)距原點(diǎn)處取寬度為的無限大平面，該平面電荷密度為該帶電平面在結(jié)內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為OB區(qū)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為 圖4-1 所以O(shè)P區(qū)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為 圖4-2 所以 PA區(qū)電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為 圖4-3 所以 圖4-4由疊加原理得P點(diǎn)的總場強(qiáng)為場強(qiáng)隨變化曲線如圖4-3所示由高斯定理知，結(jié)外的場強(qiáng)為在結(jié)內(nèi)任意點(diǎn)P的電勢為電勢隨變化曲線如圖4-4所示

17、，結(jié)內(nèi)電荷體密度隨變化曲線如圖4-2所示。5、半導(dǎo)體器件的p-n結(jié)中，n型內(nèi)有不受晶格束縛的自由電子、p型區(qū)內(nèi)則有相當(dāng)于正電荷的空穴。由于兩區(qū)交界處自由電子和空穴密度不同，電子向p區(qū)擴(kuò)散，空穴向n區(qū)擴(kuò)散，在結(jié)的兩邊留下雜質(zhì)離子，因而產(chǎn)生電場，阻止電荷繼續(xù)擴(kuò)散，當(dāng)擴(kuò)散作用與電場的作用相平衡時(shí)，電荷及電場的分布達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，而在結(jié)內(nèi)形成了一個(gè)偶電區(qū)（如圖5-1所示），稱為阻擋層。現(xiàn)設(shè)半導(dǎo)體材料的相對介電常數(shù)為，如果電荷的體分布為n區(qū)：（突變結(jié)）p區(qū)：式中是常數(shù)，為電子數(shù)且，其中各為p區(qū)和n區(qū)的厚度，試求結(jié)內(nèi)電場強(qiáng)度和電勢的分布并畫出、和隨變化的曲線。解：建立坐標(biāo)軸，如圖5-1所示，在P區(qū)內(nèi)距原點(diǎn)處

18、找一個(gè)考察點(diǎn)P，P點(diǎn)的場強(qiáng)由三部分即BO段、OP段和PA段體分布電荷產(chǎn)生的。每一段即可看成是由許多無限大帶電平面組成的，其電荷面密度為 圖5-1 圖5-2 圖5-3由得 圖5-4所以，P點(diǎn)的總場強(qiáng)為 圖5-5取原點(diǎn)電勢為零，由電勢定義得 在n區(qū)內(nèi)取一點(diǎn)P，如圖5-2所示同理得各段在P點(diǎn)的場強(qiáng)為 所以，P點(diǎn)的總場強(qiáng)為 同理可得P點(diǎn)的電勢為畫出、和隨變化曲線如圖5-3、5-4、5-5所示6、平行板電容器的極板面積為S，間距為d，其間充滿線性的、各向同性的電介質(zhì)。介質(zhì)的相對介電常數(shù)r在一極板處為rl，線性地增加到另一極板處為r2。略去邊緣效應(yīng)。（1）求這電容器的電容C；（2）當(dāng)兩極板上的電荷分別為Q

19、和-Q時(shí)，求介質(zhì)內(nèi)極化電荷體密度和表面上極化電荷的面密度。解：（1）建立坐標(biāo)軸，如圖所示設(shè) ， 則 由此得 因此板間任一點(diǎn)的介電常數(shù)為將平行板電容器的電容視為無限多個(gè)平行板電容元組成，如圖所示，取距坐標(biāo)原點(diǎn)為，厚度為一個(gè)電容元，該電容元的電容為其倒數(shù)為積分得 所以(2)作一圓柱形高斯面S，如圖中虛線所示，由介質(zhì)中的高斯定理，得電位移矢量為由與的關(guān)系和根據(jù)電位移矢量定義式得，極化強(qiáng)度為極化電荷體密度為正極板處的極化強(qiáng)度為板表面上的極化電荷面密度為負(fù)極板處的極化強(qiáng)度為板表面上的極化電荷面密度為7、一半徑為a的導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為b的同心導(dǎo)體球殼所包圍，兩球間充滿各向同性的電介質(zhì)，在離球心為r處介質(zhì)的相

20、對介電常數(shù)（A為常數(shù)）。如果內(nèi)球帶電荷Q，外球殼接地，試求：（1）在電介質(zhì)中離球心為r處的電勢；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷面密度和介質(zhì)中任一點(diǎn)處極化電荷的體密度；（3）介質(zhì)中極化電荷的總量。解：（1）根據(jù)對稱性，以球心為心，為半徑在介質(zhì)內(nèi)作球面（高斯面），由的高斯定理得所以 因球殼的電勢為零，故有(2)半徑為球面上的極化強(qiáng)度為該表面上極化電荷面密度為半徑為的球面上的極化強(qiáng)度為該表面上極化電荷面密度為半徑為球面上的極化強(qiáng)度為介質(zhì)內(nèi)極化電荷體密度為(3)介質(zhì)中極化電荷總量包括介質(zhì)表面上的極化電荷和介質(zhì)中極化電荷，即 8、為了使金屬球的電勢升高而又不使其周圍空氣擊穿，可以在金屬球表面上均勻地涂上一層

21、石蠟。設(shè)球的半徑為1cm，空氣的擊穿場強(qiáng)為，石蠟的擊穿場強(qiáng)為，其相對介電常數(shù)為2.0，問為使球的電勢升到最高，石蠟的厚度應(yīng)為多少？其中球的電勢之值是多少？ 解：設(shè)金屬球帶電量為Q，由對稱性和介質(zhì)中高斯定理得介質(zhì)內(nèi)外的場強(qiáng)為 取，代入上兩式，得介質(zhì)球殼內(nèi)外表面的最大場強(qiáng)為由式和式聯(lián)立得將已知數(shù)值代入式得由電勢與場強(qiáng)積分關(guān)系得將代入式得將已知數(shù)據(jù)代入式得9、如圖所示的圓柱形電容器，內(nèi)圓柱的半徑為R1，與它同軸的外圓筒的內(nèi)半徑為R2，長為L、其間充滿兩層同軸的圓筒形的均勻電介質(zhì)，分界面的半徑為R，它們的相對介電常數(shù)分別為，設(shè)兩導(dǎo)體圓筒之間的電勢差略去邊緣效應(yīng)，求：介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度。解：設(shè)充電后，單位

22、長度的電量為，由對稱性和介質(zhì)中的高斯定理得由與的關(guān)系得兩介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)分別為圓筒之間的電勢差為由式得導(dǎo)體圓筒電荷的線密度為將式分別代入式和式，得介質(zhì)內(nèi)的場強(qiáng)分別為10、為了提高輸電電纜的工作電壓，在電纜中常常放幾種電介質(zhì)，以減小內(nèi)、外導(dǎo)體間電場強(qiáng)度變化，這叫分段絕緣。圖中所示是這種電纜的剖面圖。若相對介電常數(shù)的三種電介質(zhì)作為絕緣物時(shí)，設(shè)內(nèi)部導(dǎo)體每單位長度上帶電量為。試求：（1）各層內(nèi)的電場強(qiáng)度；（2）各層電場強(qiáng)度極大值；（3）在什么條件下，才能使介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度保持為常數(shù)值？解：（1）根據(jù)對稱性和高斯定理，求得電位移矢量為根據(jù)知，介質(zhì)中離軸心分別為處的電場強(qiáng)度為（2）當(dāng)分別等于時(shí)，各層電場強(qiáng)度為

23、極大值，其值為 （3）當(dāng)時(shí)，有所以常數(shù)時(shí)，常數(shù)11、平行板電容器的兩極板相距為a，極板面積為S，兩極板之間填滿電介質(zhì)，絕對介電常數(shù)按下列規(guī)律變化，x軸的方向與平板垂直，x軸的原點(diǎn)在一塊極板內(nèi)表面上，若已知兩極板間電勢差為U，略去邊緣效應(yīng)，求電容及束縛電荷分布。解：在距原點(diǎn)為處取一厚度為的平行板電容器，其元電容為其倒數(shù)為 積分得 所以極板上的自由電荷 為由如圖虛線所示作高斯面，由高斯定理得板內(nèi)的電位移矢量為板內(nèi)的場強(qiáng)為板內(nèi)的極化強(qiáng)度為在介質(zhì)表面上，束縛電荷面密度為在介質(zhì)表面上束縛電荷面密度為介質(zhì)中束縛電荷體密度為12、一空心的電介質(zhì)球，其內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，所帶的總電荷量為Q，這些電荷均

24、勻分布于R1和R2之間的電介質(zhì)球殼內(nèi)。求空間各處的電場強(qiáng)度。介質(zhì)的相對介電常數(shù)為. 解：由對稱性和高斯定理得當(dāng)r>R1時(shí)E=0 當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)所以13、今有A、B、C三導(dǎo)體板互相平行地放置，AB、BC之間的距離均為d.BC之間充滿相對介電常數(shù)為的介質(zhì)，AB之間為真空，今使B板帶+Q，試求各導(dǎo)體板上的電荷分布。忽略邊緣效應(yīng)。解：A、B板和B、C板各組成電容器，其電容分別為 取垂直B板的圓柱形高斯面，如圖所示，根據(jù)高斯定理得由D的法線連續(xù)性 D1=D2=D得 再根據(jù) 得由此可得AB之間和BC之間的電勢差為 A、B極板所帶電量為B、C極板所帶電量為由電荷守恒定律知A 、C板的內(nèi)側(cè)帶-Q/2 電荷

25、，外側(cè)帶Q/2電荷。B板兩側(cè)各帶Q/2電荷。14、在一塊均勻的瓷質(zhì)大平板表面處的空氣中，電場強(qiáng)度為E的大小為220V/cm，其方向是指向瓷板且與它的表面法線成角。設(shè)瓷板的相對介電常數(shù)，求：（1）瓷板中的場強(qiáng)；（2）瓷板表面上極化電荷面密度。 解：均勻極介板內(nèi)無極化電荷，設(shè)表面上極化電荷的面密度為，如圖13-1所示。在板內(nèi)，極化電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為式中為表面外法線方向上的單位矢量 根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，板內(nèi)的電場強(qiáng)度為以上三者關(guān)系如圖13-2所示，由圖可知極化電荷電密度為 圖13-1 整理上式得 將已知數(shù)據(jù)代入式得 圖13-2 15、在相對介電常數(shù)為的煤油中，離煤油表面深度h處，有一帶正電的點(diǎn)電荷q

26、，如將煤油看作為無限大均勻介質(zhì)，：求（1）在煤油表面上，該電荷的正上方A點(diǎn)處的極化電荷面密度；（2）在煤油表面與點(diǎn)電荷相距r處的B點(diǎn)的極化電荷面密度；（3）煤油表面極化電荷的總量。解：（1）在點(diǎn)電荷q的周圍將出現(xiàn)負(fù)的極化電荷，煤油表面出現(xiàn)正的極化電荷。（如圖）在煤油表面A點(diǎn)，極化電荷面密度最大，隨著離A的距離增加，極化電荷面密度迅速減少，A點(diǎn)附近的液面兩邊的場強(qiáng)法向分量，可用疊加原理求得在空氣中在煤油中由邊界條件，即，得整理上式得2）同理，B點(diǎn)附近的液面兩邊場強(qiáng)法向分量為在空氣中在煤油中由邊界條件，得整理上式得 3）以A點(diǎn)為圓心，在液面上距A為處選一小圓環(huán)，設(shè)小圓環(huán)邊緣離q的間距為r。顯然，小

27、圓環(huán)面積，小圓環(huán)上極化電荷為 所以16、兩個(gè)相同的空氣電容器，電容都是900uF，分別充電到900V電壓后切斷電源，若把一個(gè)電容器浸入煤油中，（煤油的介電常數(shù)=2.0），再將兩電容并聯(lián)。 （1）求一電容器浸入煤油過程中能量的損失； （2）求兩電容器并聯(lián)后的電壓； （3）求并聯(lián)過程中能量的損失。 （4）問上述損失的能量到那里去了？ 解：（1）電容器極板上的電量為 電容器在空氣中的儲(chǔ)蓄的能量為 能量損失為 （2）并聯(lián)后總電容為并聯(lián)后總電量為 所以并聯(lián)后電壓為 （3）并聯(lián)前的能量： 并聯(lián)后的能量：并聯(lián)過程中的能量損矢為 4）損失的能量轉(zhuǎn)化為介質(zhì)的動(dòng)能，最后通過磨擦轉(zhuǎn)化為熱能（內(nèi)能）。17、一平行板電

28、容器的極板面積為S，間距為d（d2<<S），兩極間充滿電導(dǎo)率為、相對介電常數(shù)為的均勻?qū)щ娊橘|(zhì)。設(shè)在t=0時(shí)，給兩極板各充上電量+Q和-Q，然后撤去電源。試求：（1）t=0時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度；（2）t=t時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)的傳導(dǎo)電流；（3）t=0t=過程中，從介質(zhì)內(nèi)釋放的總焦耳熱。解：（1）時(shí)刻，極板上的電量仍然為Q，由高斯定理知，此時(shí)板內(nèi)電位移矢量為電場強(qiáng)度為（2）由歐姆定理的微分形式知，時(shí)刻有其中，而所以由初始條件，解微分方程得所以時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)的傳導(dǎo)電流為（3）由焦耳定律得 所以介質(zhì)釋放的總焦耳熱為18、一個(gè)圓柱形電容器的內(nèi)圓筒的半徑為R1，外圓筒的內(nèi)半徑為R2，筒長L>>R

29、2，在R1和之間的空間填滿長為L、相對介電常數(shù)為的圓筒形均勻電介質(zhì)，其余的容積是空氣間隙，如圖18-1所示。假設(shè)電容器兩極與一電源相連而維持其電勢差為U，試求將介質(zhì)圓筒抽出該電容器所需作的機(jī)械功？解：把圓住形電容器看成兩個(gè)電容器串聯(lián)而成，如圖18-2所示根據(jù)圓柱形電容器電容公式知，每個(gè)電容器電容為根據(jù)電容器串聯(lián)性質(zhì)得 圖18-1所以，總電容為 圖18-2當(dāng)介質(zhì)抽出距離時(shí)，如圖18-3所示，把電容器看作兩個(gè)電容器并聯(lián)，如圖18-4所示其中所以 圖18-3電容器儲(chǔ)存的能量為由虛功原理得 圖18-4外力作功為 = 另解：介質(zhì)全部抽出時(shí)，電容器的能量為介質(zhì)未抽出時(shí)，電容器的能量為根據(jù)功能關(guān)系知，全部抽

30、出介質(zhì)時(shí)，外力所作的機(jī)械功為19、一平行板電容器由兩塊平行的矩形導(dǎo)體平板構(gòu)成，平板寬為b,面積為S，兩板間距為d，設(shè)兩極板間平行地放一塊厚度為t、大小與極板相同、相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)平板，兩極板所帶的電量分別為+Q和-Q。現(xiàn)將介質(zhì)平板沿其長度方向從電容器內(nèi)往外拉，以至它只有長度為x的一段還留在兩板之間。（1）問這時(shí)介質(zhì)平板受到的電場力的方向如何？（2）試證明，這時(shí)介質(zhì)平板受到的電力為 其中（忽略邊緣效應(yīng)）解：（1）在電場中電介質(zhì)被極化，其表面上產(chǎn)生極化電荷。在平行板電容器的邊緣，由于邊緣效應(yīng)，電場是不均勻的，場強(qiáng)對電介質(zhì)中正負(fù)電荷的作用力都有一個(gè)沿板面向右的分量，因此，電介質(zhì)將受到一個(gè)向右的

31、合力（2）電容器由兩部分并聯(lián)而成，這兩部分的電容分別為電容器的電容為其中電容器所儲(chǔ)蓄的靜電能為量由虛功原理知，作用在介質(zhì)片上的力為20、一半徑為R的電介質(zhì)球，球內(nèi)均勻地分布著自由電荷，體密度為，設(shè)介質(zhì)是線性、各向同性和均勻的，相對介電常數(shù)為，求（a）電介質(zhì)球內(nèi)的靜電能；（b）這一帶電系統(tǒng)的總靜電能。解：（a）根據(jù)對稱性和高斯定理得球內(nèi)外的電位移矢量和電場強(qiáng)度分別為電介質(zhì)球內(nèi)的靜電能為（b）帶電系統(tǒng)的總靜電能為 21、平行板空氣電容器兩極板A、B相距為，豎直地插在相對介電常數(shù)為、密度為的均勻液態(tài)電介質(zhì)中（如圖21-1所示），兩極板間保持著一定的電勢差U，則液態(tài)電介質(zhì)在兩板間會(huì)上升一定高度h，若不

32、計(jì)表面張力作用，試求作用在液體電介質(zhì)表面單位面積上的平均牽引力T和液面上升的高度h。解：帶電的平行板電容器插入液態(tài)電介質(zhì)中使液體沿與平板電容器兩板的分界面產(chǎn)生極化電荷，在靜電吸引力作用下液體被吸上來，直至液體重力與靜電吸引力平衡為止。如圖21-2所示，高度為h的液態(tài)電介質(zhì)所受到的重力為電容器是由兩部分并聯(lián)組成，設(shè)介質(zhì)進(jìn)入極板間的高度為時(shí)，兩部分的電容分別為 ， 電容器的電容為電容器儲(chǔ)能為 由虛功原理知，靜電力作功為 圖21-1根據(jù)平衡條件得 整理上式介質(zhì)的高度為 圖21-2作用在液態(tài)電介質(zhì)表面單位面積上的平均牽引力為22、當(dāng)用高能電子轟擊一塊有機(jī)玻璃時(shí)，電子滲入有機(jī)玻璃并被內(nèi)部玻璃所俘獲。例如

33、，當(dāng)一個(gè)0.5的電子束轟擊面積為25cm2、厚為12mm的有機(jī)玻璃板（相對介電常數(shù)）達(dá)1s，幾乎所有的電子都滲入表面之下約57mm的層內(nèi)。設(shè)這有機(jī)玻璃板的兩面都與接地的導(dǎo)體板接觸，忽略邊緣效應(yīng)，并設(shè)陷入的電子在有機(jī)玻璃中均勻分布，如圖22-1所示。（1）求帶電區(qū)的極化電荷的密度；（2）求有機(jī)玻璃表面的極化電荷密度；（3）畫出D、E、（電勢）作為電介質(zhì)內(nèi)部的位置函數(shù)的圖形；（4）求帶電層中心的電勢；（5）求在兩接地導(dǎo)體板之間的沒有電荷區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)；（6）求這有機(jī)玻璃板里貯存的靜電能。解（1）由電流強(qiáng)度定義知 帶電區(qū)電荷體密度為 圖22-1如圖22-2所示在帶電區(qū)內(nèi)作柱形高斯面，坐標(biāo)原點(diǎn)在對稱中心

34、，由高斯定理得層內(nèi)任一點(diǎn)處的值為 圖22-2取，得帶電層表面處的極化強(qiáng)度為帶電層表面極化電荷面密度為（2）作一個(gè)包圍帶電層的柱形高斯面，如圖22-2所示，由高斯定理得有機(jī)玻璃表面的極化電荷面密度為(3)帶電層內(nèi)任一點(diǎn)電勢為帶電層外任一點(diǎn)電勢為隨x變化規(guī)律曲線如圖22-3所示圖22-3（4）取x=0代入式得，帶電層中心處的電勢為(5)由式得帶電層外的場強(qiáng)為(6)有機(jī)玻璃內(nèi)貯存的靜電能為23、在一無限大均勻介質(zhì)內(nèi)，挖出一無限長圓柱形真空區(qū)，圓柱形的橫截面半徑為R。設(shè)介質(zhì)內(nèi)場強(qiáng)E均勻，且與圓柱形軸線垂直，求圓柱形軸線上的一點(diǎn)的場強(qiáng)。 解：介質(zhì)在與真空的分界面上出現(xiàn)極化電荷，軸線上一點(diǎn)O的場強(qiáng)是介質(zhì)中

35、場強(qiáng)和極化電荷在軸線上O點(diǎn)的場強(qiáng)的矢量和。極化電荷面密度為 （為極化強(qiáng)度，n為表面法線方向）如圖所示，取一寬度為的無限長帶電線，其上電荷線密度為 該帶電線在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)為極化電荷在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)為所以軸線上一點(diǎn)的總場強(qiáng)為24、一平行板電容器兩極板間距為d，其間放置一塊厚度為t的介質(zhì)平板，板面與極板成傾角，介質(zhì)的相對介電常數(shù)為，若兩極分別帶上面密度為的電荷，試求兩極板間的電勢差。（設(shè)傾角為較小，邊緣效應(yīng)可以忽略）解：設(shè)兩極板的邊長為和的長方形，建立坐標(biāo)如圖所示，上、下兩板一小面積構(gòu)成平行板電容器，該電容器看成由兩個(gè)電容器串聯(lián)而成，其中一個(gè)是空氣，另一個(gè)是介質(zhì)，每個(gè)電容器中電容分別為根據(jù)電容

36、器串聯(lián)性質(zhì)得式中為極板面積 極板上電量為極板間的電勢差為 圖24-125、半徑為R1的半導(dǎo)體球，一半浸沒在相對介電常數(shù)為的半無限而均勻的液體介質(zhì)中，另一半露在真空中，若此導(dǎo)體球所帶的電量為Q，（1）證明：導(dǎo)體球外任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度均沿求的徑向；（2）求出導(dǎo)體球表面上的面電荷分布解：（1）如果導(dǎo)體球外任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度不沿徑向則上半球和下半球表面電荷分布將不均勻。它們在球心處產(chǎn)生的合場強(qiáng)不為零，這與導(dǎo)體球內(nèi)場強(qiáng)為零相矛盾。故球外任一點(diǎn)的場必沿徑向（2）導(dǎo)體球與無限遠(yuǎn)處構(gòu)成球形電容器如圖所示根據(jù)球形電容器的電容公式有：當(dāng)時(shí)根據(jù)上式得半球形電容器的電容為：本題中的球形電容器可看作是兩個(gè)半球形電容器并聯(lián)而

37、成。其中一個(gè)是空氣，別一個(gè)是介質(zhì)，每個(gè)半球形電容器電容為根據(jù)電容并聯(lián)性質(zhì)得，電容器的總電容，總電壓分別為兩個(gè)半球形電容器所帶電量分別為兩個(gè)半球表面上的電荷面密度分別為26、兩導(dǎo)體球，半徑均為R，球心間距為d，有一均勻電場E0，其方向垂直于兩球心的聯(lián)線，假設(shè)Rd，球兩球之間的相互作用力。解： 圖26-1 圖26-2設(shè)導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷為余弦分布，如圖26-1所示，在球內(nèi)產(chǎn)生的附加電場為，則附加電場與外電場抵消（不考慮另一導(dǎo)體球感應(yīng)電荷影響），使球內(nèi)場強(qiáng)為零滿足靜電平衡條件。由此得在球外可將余弦分布的帶電球殼等視為偶極子，如圖26-2所示，其電偶極矩為電偶極子處產(chǎn)生場強(qiáng)電偶極子中具有的電勢能（之

38、間的相互作用能）為兩球間的相互作用力為27、一半徑為R的導(dǎo)體球浮在某種介質(zhì)溶液中，導(dǎo)體球的質(zhì)量密度為，介質(zhì)溶液的相對介電常數(shù)為，質(zhì)量密度為，且，試用計(jì)算必須在此導(dǎo)體球上放置多少電量的電荷，才能使它正好有一半浸沒在介質(zhì)溶液中。解：設(shè)導(dǎo)體球放置電量為Q的電荷時(shí)，它正好一半浸沒在介質(zhì)溶液中。導(dǎo)體球在介質(zhì)溶液中受到三個(gè)力的作用即導(dǎo)體球自身的重力、導(dǎo)體球受到的浮力和極化電荷對它的吸力，如圖27-1所示，處于平衡狀態(tài)時(shí)，有導(dǎo)體球所受浮力為導(dǎo)體球所受到的重力為 圖27-1為了球極化電荷對導(dǎo)體球的吸力為，先求極化電荷密度，導(dǎo)體球表面各介質(zhì)表面電荷分布如圖27-2所示，作球面為高斯面，根據(jù)高斯定理得 圖27-2

39、 在介質(zhì)交界面上有由、式得極化電荷密度為極化電荷為半球面分布，在球心處產(chǎn)生的場為極化電荷對導(dǎo)體球的吸力為將、式代入式得整理得28、有一半徑為a,相對介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)小球，與另一半徑為b，電勢為的導(dǎo)體小球相距為r(r>>a、b)。求介質(zhì)小球受力的近似表達(dá)式。 解：設(shè)導(dǎo)體球帶電量為，由高斯定理得 導(dǎo)體球的電勢為由此得導(dǎo)體球所帶電量為導(dǎo)體球在介質(zhì)球處產(chǎn)生的場可視為勻強(qiáng)場，即在介質(zhì)球心處產(chǎn)生的場強(qiáng)為介質(zhì)球在均勻外場作用下發(fā)生極化，設(shè)極化強(qiáng)度為，極化電荷為余弦分布，即極化電荷在介質(zhì)球內(nèi)產(chǎn)生的場強(qiáng)為介質(zhì)球內(nèi)總場強(qiáng)為介質(zhì)極化強(qiáng)度為所以介質(zhì)球的等效電偶極矩為介質(zhì)球的等效電偶極矩與外場之間的相互

40、作用能為介質(zhì)球外場中所受的力為29、兩均勻帶有等量異號(hào)電荷的無限大平面導(dǎo)體板之間放一均勻的介質(zhì)球，球的半徑為R極化率為 ，求球內(nèi)的場強(qiáng)，假定介質(zhì)球離兩平板都相當(dāng)遠(yuǎn)，球處在場中時(shí)，帶電板上的電荷仍然均勻分布，因此，自由電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場仍是均勻場。解法1：分步極化法設(shè)想介質(zhì)球的極化是分若干階段進(jìn)行的，最終達(dá)到靜電平衡。在介質(zhì)球剛放在電場中瞬時(shí)，極化電荷尚未形成，因而介質(zhì)球內(nèi)的場強(qiáng)就是外場，它使球均勻極化，極化強(qiáng)度為由引起的極化電荷在球內(nèi)所產(chǎn)生的附加場強(qiáng)為附加電場引起的附加極化，附加的極化強(qiáng)度為附加的極化強(qiáng)度產(chǎn)生的附加場強(qiáng)為附加場強(qiáng)又引起新的附加極化，這樣的過程一步一步繼續(xù)下去，在第n步，附加極化強(qiáng)

41、度為于是介質(zhì)球內(nèi)的場強(qiáng)等于自由電荷的場強(qiáng)和附加場強(qiáng)之總和，即根據(jù) 得以上能求得正確結(jié)果是因?yàn)榫鶆蚯騼?nèi)部的場是均勻的，而且介質(zhì)的極化率應(yīng)比較小，同時(shí)極化不影響自由電荷的分布。解法2：均勻的介質(zhì)球在均勻電場中的極化是均勻的，而均勻極化的介質(zhì)球表面的極化面電荷在球內(nèi)單獨(dú)產(chǎn)生的場強(qiáng)為即是與極化強(qiáng)度的方向相反的均勻電場，若介質(zhì)中的場強(qiáng)為，則于是所以30、半徑為a金屬球，帶有電量q0，球外緊貼一層厚度為b，相對介電常數(shù)為的均勻固體電介質(zhì)，固體電介質(zhì)外充滿相對介電常數(shù)為的均勻氣體電介質(zhì)，假定，討論下列各問題：電位移矢量，電場強(qiáng)度，極化強(qiáng)度，電荷分布，電勢。解：（1）空間各點(diǎn)的電位移矢量由球?qū)ΨQ，作高斯面，用

42、介質(zhì)中的高斯定理可求出空間各點(diǎn)的電位移矢量在金屬球內(nèi)，在固體介質(zhì)內(nèi)，在氣體介質(zhì)內(nèi)，（2）空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度在金屬球內(nèi)，在固體介質(zhì)內(nèi)，在氣體介質(zhì)內(nèi)，（3）空間各點(diǎn)的極化強(qiáng)度在金屬球內(nèi)，在固體介質(zhì)內(nèi)，在氣體介質(zhì)內(nèi)（4）電荷分布在金屬球表面上自由電荷分布在固體介質(zhì)與金屬球的交界面上極化電荷分布在兩種介質(zhì)的交界面上極化電荷分布（5）空間各點(diǎn)的電勢金屬球的電勢為固體介質(zhì)中任一點(diǎn)的電勢為氣體介質(zhì)中任一點(diǎn)的電勢為各物理量分布情況如圖所示。31、設(shè)有一駐極體（具有永久極化的特殊介質(zhì)）制成的球，半徑為 R，其永久極化強(qiáng)度為P0為恒量，若取的方面為z軸，試求z軸上的電位移矢量，設(shè)原點(diǎn)在球心上。解：均勻極化的介質(zhì)球在Z軸上所產(chǎn)生的場強(qiáng)，在球內(nèi)和球外分別為在球內(nèi)由 關(guān)系得在球外由 （球外為真空）關(guān)系得計(jì)算結(jié)果表明：即使沒有自由電荷，也不為零，說明與極化電荷并不是無關(guān)系的。與的關(guān)系如圖所示。設(shè)空間為兩種不同的均勻電介質(zhì)所充滿，兩種介質(zhì)的交界面是一個(gè)平面，在交界面上有一個(gè)電量量q的點(diǎn)電荷，試求空間各點(diǎn)的電場強(qiáng)度和電移矢量。解：由于點(diǎn)電荷位于界面上，在兩介質(zhì)的交界面上，電場強(qiáng)度只有切向分量，即，因而，除點(diǎn)電荷所在處外，分界面上無極化電荷分布，在點(diǎn)電荷與介質(zhì)的“交界面”上，將出現(xiàn)極化電荷，這個(gè)極化電荷是與點(diǎn)電荷重合在一起的點(diǎn)電荷，設(shè)極化電荷的電量為，由于電量為的點(diǎn)電荷激發(fā)的電場具