小波變換和數字圖像處理中的應用

1、 小波變換及其在小波變換及其在 圖像處理中的典型應用圖像處理中的典型應用趙丹培宇航學院圖像處理中心2010年5月2/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的快速實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用3/108 Fourier變換一直是信號處理領域中應用最廣泛、效果最好的一種分析手段，是時域到頻域互相轉化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的實質是把對原函數的研究轉化為對其傅里葉變換的研究。但

2、是傅里葉變換只能提供信號在整個時間域上的頻率，不能提供信號在某個局部時間段上的頻率信息。8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.1.1 傅里葉變換4/1088.1.1 傅里葉變換 傅里葉變換：對于時域的常量函數，在頻域將表現為沖擊函數，表明具有很好的頻域局部化性質。 j xFf x edx 12j xf xFed傅里葉變換傅里葉變換反傅里葉變換反傅里葉變換5/1088.1.1 傅里葉變換x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%產生50HZ和300HZ的信號f=x+3.5*randn(1,length(t);%在信號中加入白噪聲時間6/108 由于傅立葉變換無法

3、作局部分析，為此，人們提出了短時傅里葉變換（STFT）的概念，即窗口傅里葉變換。 短時傅里葉變換將整個時間域分割成一些小的等時間間隔，然后在每個時間段上用傅里葉分析，它在一定程度上包含了時間頻率信息，但由于時間間隔不能調整，因而難以檢測持續(xù)時間很短、頻率很高的脈沖信號的發(fā)生時刻。8.1.2 短時傅里葉變換7/1088.1.2 短時傅里葉變換基本思想是：把信號劃分成許多小的時間間隔，用傅立葉變換分析每一個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率。 STFT的處理方法是對信號施加一個滑動窗(反映滑動窗的位置)后，再作傅立葉變換。即： ( , )( ) ()j txSTFTx ttedt 時限頻限8/

4、1088.1.2 短時傅里葉變換9/1088.1.2 短時傅里葉變換 短時傅里葉變換的分析特點短時傅里葉變換的分析特點(a)頻率變化的影響 (b) 基本分析單元的特點10/108小波起源： 1984年Morlet提出;1985年Meyer構造出小波;1988年，Daubechies證明了離散小波的存在;1989年，Mallat提出多分辨分析和二進小波變換的快速算法;1989年Coifman、 Meyer引入小波包;1990年崔錦泰等構造出樣條單正交小波基;1994年Sweldens提出二代小波提升格式小波(Lifting Scheme)。小波定義：“小”是指在時域具有緊支集或近似緊支集，“波”

5、是指具有正負交替的波動性，直流分量為0。小波概念：是定義在有限間隔而且其平均值為零的一種函數。8.1.3 小波變換11/108持續(xù)寬度相同振蕩波波與小波的差異：12/108用鏡頭觀察目標 (待分析信號)。 代表鏡頭所起的作用(如濾波或卷積)。 相當于使鏡頭相對于目標平行移動。 的作用相當于鏡頭向目標推進或遠離。 ( )f t( ) tbafb小波變換的粗略解釋 8.1.4 小波變換的時頻分析13/108尺度a較大距離遠視野寬概貌觀察尺度a較小距離近視野窄細節(jié)觀察分析頻率低分析頻率高由粗到精由粗到精多分辨分析品質因數保持不變品質因數保持不變14/108小波變換的時頻分析特點：小波變換的時頻分析特

6、點： 小波變換的分析特點小波變換的分析特點(a) 尺度a不同時時域的變化 (b)尺度a不同時頻域的變化15/108小波變換的多分辨分析特性：小波變換的多分辨分析特性：不同a值下小波分析區(qū)間的變化不同a值下分析小波頻率范圍的變化4a2a3a4aaa2a3a4a016/108頻窗時窗小波變換的時頻局部特性：小波變換的時頻局部特性： 17/1088.1.5 連續(xù)小波變換尺度因子 的作用是將基本小波 做伸縮， 越大 越寬。 a( ) ta( )ta小波的位移與伸縮 18/108設 ，當 滿足允許條件時：8.1.5 連續(xù)小波變換稱 為一個“基小波”或“母小波”。小波變換的含義是：把基本小波(母小波)的函

7、數 作位移后，再在不同尺度下與待分析信號作內積，就可以得到一個小波序列。2( )cd ( ) ( ) t RLt2( ) t19/108連續(xù)情況時，小波序列為： (基本小波的位移與尺度伸縮)其中 為尺度參量， 為平移參量。離散的情況，小波序列為 ： 0;, 1, aRbaabtatbaab zkjkttjjkj, 222,20/108根據容許條件要求，當=0時，為使被積函數是有效值，必須有 ，所以可得到上式的等價條件為：此式表明 中不含直流，只含有交流，即具有震蕩性，故稱為“波”，為了使 具有局部性，即在有限的區(qū)間之外很快衰減為零，還必須加上一個衰減條件： 0)()0( dtt0)0()(t)

8、(t0, 0,1)(1ctct21/108衰減條件要求小波具有局部性，這種局部性稱為“小”，所以稱為小波。對于任意的函數 的連續(xù)小波變換定義為：逆變換為： 是尺度因子， 反映位移。 a RLtf2 baRRbaffdtabttfadtttfbaw,21,)()()(),( dadbabtbaWaCtffR R ,112b22/108n線性 設： n平移不變性 若 ，則n伸縮共變性 如果 的CWT是 則 的CWT是n冗余性(自相似性) 由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構公式不是唯一的( )tx(,)xa bWT ( )x t( , )xWT a b8.1.6 連續(xù)小波的性質 ,xx tWTa b,x

9、x tWTa b,xghWTa bWTa bWTa b x tg th t23/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的快速實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用24/1088.2 小波變換分類 小波函數中 三個變量均為連續(xù)變量，稱為連續(xù)小波?？梢詫?三個變量施加不同的離散化條件，并相應地對小波及小波變換進行分類。 其中，最重要的兩種分類： 離散小波及離散小波變換 二進小波及二進小波變換,

10、 ,a b t, ,a b t25/1088.2.1 離散小波變換如果設定 ，則 對于任意函數 ，定義相應的離散小波變換為：如果這時 構成空間 的一組規(guī)范正交基，對于任一函數 的反演式為一展開式： 2 ,2 , ,jjabkj kZ/22, 2( )2(2), ,jjjjkttkj kZ2( )(,)f tL ,( , )( )( ) ,fj kWTj kf tt dtj kZ,( )( , )fj kj k Zf tWTj k, j k2(,)L 2( )(,)f tL 26/1088.2.2 二進小波及二進小波變換在連續(xù)小波變換中，令參數 而參數 仍取連續(xù)值，則有二進小波：這時， 的二進小

11、波變換定義為2 ,jajZb/22 ,( )22jjjbttb 2*2 ,22jjjfWTbf ttbdt 2f tLR27/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的快速實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用28/108 多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它將一個函數表示為一個低頻成分與不同分辨率下的高頻成分，并且多分辨分析能提供一種構造小波的統(tǒng)一框架，提供函數分解與重構的快速算法。

12、由理想濾波器引入多分辨率分析的概念：8.3 小波變換的多分辨分析特性29/108多分辨分析定義： 空間 中的一系列閉子空間 ，稱為 的多分辨率分析或逼近，若下列條件滿足：n單調性： ，對任意 n逼近性： n伸縮性： n平移不變性： nRiesz基：存在 ，使 構成 的Riesz基，即 是線性無關的，且存在常數 與 ，滿足 使得對任意的 ，總存在序列 使得 且 ，稱 為尺度函數，并稱 生成 的一個多分辨分析 。 RL2 ZjjV RL21jjVVZj 0ZjjV RLVclosZjjRL22 12jjVxuVxu 00VkxuVxu0Vtk kZ0V 0f tV 2kk Zcl kkf tctk

13、AB0AB 22222kkA fcB ftk kZ 2LR ZjjV30/108 是一個無限維向量空間，稱為平方可積空間，將 用它的子空間 ， 表示，其中 稱為尺度空間， 稱為小波空間。 尺度空間的遞歸嵌套關系： 小波空間 是 和 之間的差，即 ，它捕捉由 逼近 時丟失的信息。推出： 21010VVVLR RL2 RL2 ZjjVjj ZW ZjjVjj ZWjWjV1jV1jjjVWVjV1jV0011jjVWWWV RL21jVjV1jV0V多分辨率的空間關系圖多分辨率的空間關系圖31/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特

14、性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用32/108兩尺度方程 若 是尺度函數，它生成 的多分辨分析 ，則必然存在系數序列 ，使得以下尺度關系成立:這就是兩尺度方程，必須滿足下列條件：定義函數 為尺度函數，若其經過整數平移 和尺度 上的伸縮，得到一個尺度和位移均可變化的函數集合： RL2 ZjjVkk Zh 22 kkthtk 2tLR kttjjkj222,kj 02khk 002khk hkll33/108 和 的基本性質是兩尺度差分方程：兩尺度方程

15、的頻域表示為： tkjkjktht1222kjkjktgt12222nkh0nkg H22 G22 t34/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的快速實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用35/1088.5.1 Mallat算法與塔式分解 系數分解的快速算法： mjmkjCkmhC, 1,2,1,2j kjmmdg mk CMallat小波快速分解算法的流程圖36/108 系數重構的快速

16、算法： 1,22jkj mj mmmCCh mkdg mkMallat小波快速重構算法的流程圖37/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的快速實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用38/1088.6.1 二維小波變換的實現假定二維尺度函數可分離，則有 其中 、 是兩個一維尺度函數。若 是相應的小波，那么下列三個二維基本小波： 與 一起就建立了二維小波變換的基礎。( , )( ) ( )x

17、 yxy1( , )( ) ( )x yxy2( , )( ) ( )x yxy3( , )( )( )x yxy( , )x y( )x( )y( )x39/1088.6.2 圖像小波變換的正變換 正變換 圖像小波分解的正變換可以依據二維小波變換按如下方式擴展，在變換的每一層次，圖像都被分解為4個四分之一大小的圖像。40/1088.6.3 圖像小波變換的逆變換逆變換在每一層(如最后一層)都通過在每一列的左邊插入一列零來增頻采樣前一層的4個陣列(即4個分解圖像)；接著用重構低通濾波器h和重構高通濾波器g來卷積各行，再成對地把這幾個的陣列加起來；然后通過在每行上面再插入一行零來將剛才所得兩個陣列

18、(圖像)的大小增頻采樣為NN；再用h和g與這兩個陣列的每列進行卷積。這兩個陣列的和就是這一層次重建的結果。 41/108 對于二維圖像信號，在每一層分解中，由原始圖像信號與一個小波基函數的內積后再經過在x和y方向的二倍間隔抽樣而生成四個分解圖像信號。對于第一個層次(j=1)可寫成：0021( , )( , ), (2 ,2 )A m nAx yxm yn10121( , )( , ),(2 ,2 )D m nAx yxm yn20221( , )( , ),(2 ,2 )Dm nAx yxm yn30321( , )( , ),(2 ,2 )D m nAx yxm yn8.6.4 二維小波變換

19、的Mallat算法42/108 將上式內積改寫成卷積形式，則得到離散小波變換的Mallat算法的通用公式： 10022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yAm nAx y h xm h yn11022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yDm nAx y h xm g yn12022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yDm nAx y g xm h yn13022,( , )( , ) (2 ) (2 )jjx yDm nAx y g xm g yn二維小波變換Mallat算法的通用公式：43/1088.6.5 二維Mallat多分辨率分解與重構4

20、4/108圖像的Mallat快速塔式分解實驗45/1088.6.6 多孔算法fAdJ 12GHGHGHfDj32fDj22fDj12fAj2列行46/108多孔算法的分解實驗47/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變換的實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用48/108 邊緣像素實質上是局部圖像范圍內灰度的急劇變化點(奇異點)，圖像邊緣就是二維圖像中奇異點的集合。邊緣點在頻域表現為高頻信號

21、，而圖像噪聲也多為高頻信號，這使得兩者難以區(qū)分。邊緣檢測的目的就是既要將高頻信號從圖像中分離出來，又要區(qū)分邊緣與噪聲，準確地標定邊緣的位置。 8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用49/108傳統(tǒng)的邊緣檢測方法為什么要用小波來進行邊緣檢測？邊緣檢測的分類局部模極大值點Canny準則50/108小波多尺度局部模極大值邊緣檢測的原理小波多分辨率邊緣檢測的具體實現小波函數的選取自適應閾值的選取利用邊緣信息進行目標定位仿真實驗51/1088.7.1小波多尺度局部模極大值邊緣檢測的原理 假設 是二維平滑函數，且滿足 可把它沿 兩個方向上的導數作為基本小波：對于一幅圖像 ，其小波變換為：(2)( , )(

22、 , )x yx yy),(yx0),(dxdyyx(1)( , )( , )x yx yx yx,(1)(1)21( , )( ,)ax yx yaa a (2)(2)21( , )(,)ax yx yaa a),(),(2),(),(),(),(2),2(),2()2()1(yxyxfgradyxyxfyyxyxfxyxfWyxfWajaajjjTT),(yxf52/108整個圖像的二進小波變換即矢量：模值為 ：相角為 ：),2(),2(),2()2()1(yxfWyxfWyxfWjTjjTT2)2(2)1(),2(),2(yxfWyxfWjjTT),2(),2(),()1()2(12yx

23、fWyxfWtgyxAfjjTTj53/1088.7.2 小波多分辨率邊緣檢測的具體實現搜尋模極大值： 54/108噪聲的濾除：(1)閾值法 硬閾值，軟閾值，自適應閾值；(2)多分辨率分割 利用模極大值在各個尺度的傳播特性去除噪聲； 利用小波變換尺度間相關性去除噪聲； 平移不變量的小波去噪方法；55/108邊緣跟蹤算法的四個約束條件：a)“方向不變性”原則； b)角度平滑條件； c)幅值最鄰近條件； d)“互認”原則。 邊緣點的鏈接：56/108三種小波多尺度局部模極大值 邊緣檢測方法的比較 方法一：小波變換模極大值用于邊緣檢測的原始方法具體步驟： 利用多孔算法對原圖像 進行保持圖像大小不變的

24、小波變換，生成水平分量 和垂直分量 ；計算出梯度向量的模值計算出梯度向量的相角按照相角量化方法劃分為8個方向，求出不同方向的局部模極大值點；對各尺度的邊緣圖像進行閾值處理；鏈化模極大值點，去除長度小于一定閾值的邊緣鏈，就得到各 個尺度上的邊緣圖像。),(yxf),2(yxfWjhT),2(yxfWjvT22),2(),2(yxfWyxfWjvjhTT),2(),2(),(12yxfWyxfWtgyxAfjhjvTTj57/108方法二：小波變換模極大值用于邊緣檢測的簡化方法 具體步驟：對所給圖像的每一行進行小波變換，求出 ；對所給圖像的每一列進行小波變換，求出 ； 計算出梯度向量的模值 計算出

25、梯度向量的相角 將相角 按8方向量化，求出 在不同方向的局部模極大值點；對各尺度的邊緣圖像進行閾值處理；鏈化模極大值點，去除長度小于一定閾值的邊緣鏈，就得到各 個尺度上的邊緣圖像。),2()1(yxfWjT),2()2(yxfWjT2)2(2)1 (),2(),2(yxfWyxfWjjTT2)1(2)2(12),2(),2(),(yxfWyxfWtgyxAfjjTTj),(2yxMfj),(2yxAfj58/108方法三：小波變換模極大值的多尺度綜合方法具體步驟：求出各尺度的模圖像簇 和相角圖像簇 ；對各尺度的邊緣圖像進行閾值處理；將相角 按8方向量化，求出 在不同方向的局部模極大值點；由粗到

26、細的邊緣鏈接：對經過閾值處理的最粗分辨率級上的模極大值開始，鏈接模極大值圖像中模值相近，相角相似的非零像素點，刪除長度小于鏈長閾值的邊緣鏈，得到大尺度下單像素寬的圖像邊緣 ；),(2yxAfj),(yxMf),(yxAf),(2yxMfj),(2yxEj59/108針對尺度 的每一個邊緣像素，搜索 尺度下以這點為中心的3X3鄰域，將該鄰域內出現的所有可能邊緣點均標記為候選邊緣點，得到 尺度下的候選邊緣點圖像 非候選邊緣點標記為零；將 尺度下的候選邊緣點圖像 中模值相近，相角相似的非零像素點鏈接，刪除長度小于閾值的邊緣鏈，得到 尺度下單像素寬的圖像邊緣 ；重復步驟，直到 為止，邊緣圖像即為綜合后

27、形成的邊緣圖像，也就是我們最終所要得到的邊緣圖像。1jj),(1yxHj1j),(12yxEj1j),(1yxHj1j1j60/1088.7.3 小波函數的選取 在實際邊緣檢測中，小波函數的選取直接關系到邊緣檢測的結果，小波變換相當于對圖像進行帶通濾波，在一定程度上減少了噪聲對圖像的影響，但同時也去掉了一些模糊邊緣。這就要求尋找一種具有好的去噪特性同時又能精確地提取邊緣的小波函數，而且這種小波在滿足Canny準則的同時應具有限緊支撐特性。在關于邊緣提取的文獻中，主要采用的是正交小波，雙正交小波和B樣條小波作為邊緣提取的小波函數。通常選取高斯函數作為平滑函數。三次B樣條函數已很接近高斯函數，能滿

28、足大多數的應用，而它的緊支性優(yōu)于高斯函數。在有噪聲環(huán)境下進行邊緣檢測時，需要平衡噪聲抑制能力與邊緣定位精度，此時三次B樣條函數是最優(yōu)的。61/108其中， 為閾值初值， 為比例系數，N為采樣點數。根據 和 的大小來決定窗口內均值對閾值的作用。8.7.4 自適應閾值選取0T選擇一個窗口在小波系數上滑動，窗口大小可以取3232或1616，將尺度下小于閾值 的梯度值置為0，自適應閾值為：jijinMfNTT,000T000T62/1088.7.5 利用邊緣信息進行目標定位 對經過綜合后得出的圖像邊緣，根據形心公式就可以計算出圖像的形心坐標，判斷出目標在視場中的位置，實現目標定位。 MkNjMjNkk

29、jfkjfjx1111),(),( MkNjNkMjkjfkjfky1111),(),(NkMj1,163/1088.7.6 實驗結果（一）五個尺度的模極大值提取第一個尺度的噪聲很多64/108多尺度鏈接后的模極大值65/108實驗二:閾值的選取對邊緣檢測結果影響的實驗 用固定閾值在一階尺度提取的邊緣用自適應閾值在一階尺度提取的邊緣用固定閾值在二階尺度提取的邊緣用自適應閾值在二階尺度提取的邊緣 66/108實驗三：三種模極大值邊緣檢測方法的性能比較 邊緣檢測效果抑制噪聲能力(加入均值為0,方差為0.001的高斯噪聲)計 算量模極大值邊緣檢測的簡化方法相對最差 抑制噪聲能力最弱最小模極大值邊緣檢

30、測的原始算法相對較好 抑制噪聲能力較強稍大模極大值邊緣檢測多尺度綜合法效果最好 抑制噪聲能力最強最大67/108實驗四：基于三次B樣條小波的邊緣檢測實驗 抑制噪聲方面(加入均值為0，方差為0.001的高斯噪聲)提取邊緣能力方面（對比度為2%的低對比度邊緣）計算量方面 (基 于雙DSP平臺)Roberts最差，無法分離邊緣與噪聲最差，邊緣定位不準確 1.34ms Sobel性能優(yōu)于Roberts優(yōu)于Roberts 1.62ms拉普拉斯高斯算子優(yōu)于Roberts和Sobel，能部分檢測出邊緣效果優(yōu)于Roberts和Sobel 2.69ms小波模極大值方法優(yōu)于上面三種方法，能檢測出主要邊緣很好，少部

31、分提取的不準確 18.9ms小波多尺度綜合方法效果最好，檢測出的邊緣受噪聲影響很小最好，幾乎能提取出全部微弱邊緣信息 59.2ms68/108n由于小波變換具有多分辨分析特性和時頻局部化能力，在邊緣檢測、去噪和圖像增強等方面都具有很強的優(yōu)勢；n更適合用來檢測受噪聲污染嚴重的模糊圖像和低對比度圖像，尤其對微弱目標，它首先能抑制噪聲、增強對比度，然后利用多尺度的模極大值方法有效檢測出目標邊緣，從而實現3對比度下的目標精確定位；n這種算法要進行多尺度運算，所以計算量很大。 小 結69/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺

32、度函數與小波8.5 小波變換的實現8.6 圖像的多分辨分解與重建8.7 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用8.8 小波變換在圖像去噪與增強中的應用8.9 小波變換在圖像融合中的應用70/1088.8 小波變換在圖像去噪與增強中的應用高頻系數置零的線性去噪方法小波系數硬閾值去噪方法小波系數軟閾值去噪方法小波系數自適應閾值去噪方法基于小波模極大值的去噪方法基于信號奇異性的去噪方法基于小波系數相關性的去噪方法基于小波變換的圖像增強方法71/1088.8.1 高頻系數置零去噪1.對噪聲圖像進行二維離散小波分解，分解層數一般取2或3 層，分解過程如下圖。2.對每一層的高頻系數LH，HL，HH，置零。3.對小

33、波系數進行重構。這是最簡單的利用小波變換性質的去噪方法。72/1088.8.2 基于小波硬閾值的去噪方法1.首先將圖像信號求小波變換。2.除了最粗尺度信號外，將各細節(jié)信號作閾值處理，當某位置小波變換值大于閾值時，保留原值，否則置零。即 , 0 ,lkjilkjilkjilkjiyWyWyWyW3.利用小波變換重構，求出信號的濾波值。73/1088.8.3 基于小波軟閾值的去噪方法1.首先對圖像信號進行小波變換，得出帶有噪聲的小波系數。2.將各細節(jié)信號作閾值處理，當某位置小波變換值大于閾值時，作下面運算，下式中sgn(x)代表符號函數 否則置零。3.利用小波變換重構，求出信號的濾波值。 , 0

34、,sgn,lkjilkjilkjilkjilkjiyWyWyWyWyW74/108軟硬閾值濾波器75/1088.8.4 非線性軟閾值去噪方法lkjijlkjilkjilkjijlkjilkjiyWyWyWyWyWyW, 2 0 276/108其中，噪聲方差的估計為 ， MAD為圖像中位值，n為信號采樣點數。閾值選取nTlog23.0.nTlog23T6745. 0MADnnT)log(277/108對含有高斯噪聲的Lena圖像利用硬閾值法、軟閾值法和自適應閾值法去噪后實驗結果 78/108基于小波變換閾值方法去噪的不足 只適合高斯白噪聲的去噪，對椒鹽噪聲效果不明顯。原因在 于閾值

35、法保留的是大于閾值的小波系數，而椒鹽噪聲在圖像 上表現為或者是灰度值特別大的白像素，或者特別小的黑像 素，椒鹽噪聲的小波系數都很大，所以不能用閾值分離出來。 閾值方法的去噪效果依賴于信噪比的大小，它特別適合信噪 比高的圖像去噪。 在圖像信號不連續(xù)點處會有偽吉普斯現象。 閾值方法的關鍵在于閾值的選取，而選擇一種普適性很好的 閾值選取方法是很困難的，事實上，人們已經證明在均方誤 差意義上閾值方法能得到原始圖像信號的最優(yōu)估計，然而在 實際應用中還是需要根據具體的情況和經驗來對一些閾值進 行改進。79/1088.8.5 基于多尺度模極大值的小波去噪方法 根據圖像邊緣點與噪聲點具有不同的奇異性，則它們小

36、波變換后的模極大值在不同尺度下的傳播特性也不同這一特性進行圖像去噪。當信號 在 處Lipschitz指數為 時， 反映了函數在點 處的奇異性大小。是當信號在 處的奇異性 時，表明小波系數模極大值將隨尺度 的增大而增大；當 時，則隨 的增大而減小。通常的圖像具有時域上的相關性，因而 ；而噪聲由于在該點不可導， 。因此，邊緣點的模值和噪聲點的模值隨尺度的變化具有不同的規(guī)律，所以可以利用這一特性將噪聲分離出來。 tf0t0t00tj0j0080/108基于多尺度模極大值的小波去噪方法的具體實現 通過分析圖像和噪聲在小波域中對應的系數模極大值在不同尺度上的分布情況，來研究圖像和噪聲的突變點在不同尺度上

37、的傳遞特性。在從低到高的分解尺度中，圖像突變點對應的小波系數極大值具有傳遞性，而噪聲突變點不具有這種傳遞性。根據這一性質，在確定出各尺度小波系數極大值的基礎上，由粗到精的跟蹤不同尺度上的小波系數極大值，并依據其不同尺度間的傳遞性，識別信噪屬性，剔除噪聲部分對應的小波系數極大值，從而抑制噪聲，提高圖像質量。81/108模極大值方法去噪的過程1.小波系數極大值的確定 2.圖像極大值跟蹤3.噪聲極大值濾除 82/108 模極大值多尺度鏈接方法對高斯噪聲 圖像去噪的實驗結果 對含有高斯噪聲（ 0.01）的Lena圖像利用多尺度模極大值鏈接方法去噪后圖像283/108 模極大值多尺度鏈接方法對椒鹽噪聲

38、圖像去噪的實驗結果對含有椒鹽噪聲（ 0.005）的圖像利用多尺度模極大值鏈接方法去噪后圖像284/108含有椒鹽噪聲的圖像、均值濾波去噪圖像、中值濾波去噪圖像、硬閾值去噪圖像、軟閾值去噪圖像和模極大值奇異性去噪圖像的實驗結果對比基于多尺度模極大值奇異性對椒鹽噪聲的去噪實驗結果85/108模極大值多尺度鏈接方法對混和噪聲圖像的去噪實驗含有高斯和椒鹽混合噪聲圖像、硬閾值去噪圖像、軟閾值去噪圖像、自適應閾值去噪圖像、中值濾波去噪圖像和模極大值多尺度鏈接去噪圖像86/1088.8.6 基于小波系數相關性的去噪方法 信號與噪聲的小波變換在各尺度下的不同傳播特性表明，信號的小波變換在各尺度間有較強的相關性

39、，而且在邊緣處具有很強的相關性；而噪聲的小波變換在各尺度間確沒有明顯的相關性，而且噪聲的小波變換主要集中在小尺度各層次中。根據信號與噪聲的小波變換在不同尺度間的上述不同特點，可以通過將相鄰尺度的小波系數直接相乘來增強信號，抑制噪聲。由于噪聲主要分布在小尺度上，所以這種現象在小尺度上非常明顯。 87/108首先定義 為尺度 上 點處的相關系數。為使相關系數與小波系數具有可比性，定義規(guī)范化相關系數：其中 和 分別表示對應于尺度的小波系數與相關系數的能量。顯然，在尺度 下，小波系數與規(guī)范化相關系數具有相同的能量，這為它們之間提供了可比性。)()(),(122nfWnfWnjCorjjjn)(/)()

40、,(),(jPCorjPWnjCornjNCornnfWjPWj22)()(nnjCorjPCor2),()()(jPW)( jPCorj88/108基于小波系數相關法去噪的實驗結果（一）（ 0.01）Lena圖像和基于小波系數相關法去噪后的圖像289/108小 結n對小波系數使用閾值的去噪方法速度快，實現簡單，所以一直被廣泛使用在高斯噪聲去除上，其中的硬閾值方法容易產生偽吉普斯效應，軟閾值方法克服了這個缺點，圖像比較平滑，去噪效果也比硬閾值好，而自適應閾值使用的是局部閾值，比軟、硬閾值都好。n模極大值多尺度鏈接和小波系數相關去噪兩種方法雖然速度都比較慢，但是它們都比閾值方法效果好，對各種噪聲

41、效果都比較穩(wěn)定，特別是對混雜噪聲的去除方面。但是在椒鹽噪聲圖像的去噪方面，只有模極大值鏈接的方法有效果，而且比傳統(tǒng)的中值濾波方法要保留更多的邊緣信息。在對同時帶有高斯噪聲和椒鹽噪聲的圖像去噪時，模極大值鏈接的方法去噪效果非常突出，而且穩(wěn)定。90/108 8.8.7 基于小波的圖像增強方法 小波多分辨分析由于它能多尺度多角度提取信號特征，并在不同尺度上讓噪聲和信號明顯地區(qū)分開來，所以它在圖像去噪和增強方面有很大優(yōu)勢?；谛〔ǘ喾直娣治龅膱D像增強，就是突出圖像的邊緣細節(jié)，盡可能的消除負面因素，從而達到增強圖像的目的。因此，基于小波分析的圖像增強可以轉化為兩步。 第一步是區(qū)分噪聲和圖像的邊緣細節(jié)；

42、第二步是根據需要對圖像的邊緣細節(jié)適度增強。 通過一個合適的增益函數完成上面所述的兩個步驟，使去噪和增強一次完成。在增強圖像的同時應考慮到噪聲問題，所以對小波分解后高頻部分的處理很重要。為此，設計合適的增益函數是關鍵的一步。 91/108簡單的線性圖像增強的方法第一類是簡單的增益函數，即對每個方向的高頻采用不同的常數 ；第二類是比較復雜的增益函數，有分段線性函數和非線性函數。 根據處理高頻增益函數的不同方法，將圖像增強分為線性增強和非線性增強 。92/108線性圖像增強方法的實現線性增強是對小波分解的高頻采取的常數增益，具體的算法是：a、對圖像進行多級小波變換，得到 b、計算圖像的原始噪聲水平；

43、C、計算圖像在各個尺度上不同方向的噪聲水平；d、去噪并增強。認為幅值小于 的系數為噪聲，給予抑制，而幅值大于 的系數給予一定的增益。這樣得到 e、對增強后的小波系數，進行小波逆變換得到增強后的圖像。JjHHLHHLLLjjjj1 ,2121022mnmnnnmghhh23m23mJjHHkLHkHLkLLjjjj1 ,32193/108v基于邊緣提取的去噪和圖像增強相結合的實現1.對圖像進行小波變換 2.計算小波變換的多尺度模和幅角； 3.用局部模極大值方法檢測出邊緣細節(jié)點；4.利用合適的非線性增益函數增強邊緣點，同時去除高頻噪聲點；5.對增強后的小波系數進行小波逆變換得到增強后的圖像。 94/108基于小波變換的圖像增強方法的實驗結果對Lena圖像利用小波系數線性增強前后的效果對比95/108目 錄8.1 從傅里葉變換到小波變換的時頻分析法8.2 小波變換分類8.3 小波變換的多分辨分析特性8.4 尺度函數與小波8.5 小波變