導數--復合函數的導數練習題(精品).

1、函數求導1. 簡單函數的定義求導的方法（一差、二比、三取極限）（ 1）求函數的增量y f( x0x)f ( x0 ) ；（ 2）求平均變化率yf (x0x)f ( x0 )xx。（ 3）取極限求導數f ( x0 )limf (x0x) f (x0 )x 0x2導數與導函數的關系：特殊與一般的關系。函數在某一點f ( x0 ) 的導數就是導函數 f (x) ，當 x x0時的函數值。3常用的導數公式及求導法則：（ 1）公式 C 0，（ C 是常數） (sin x) cosx (cosx)sin x ( xn ) nxn1 (a x ) a x ln a (ex )ex (log a x)1 (l

2、n x)1x ln ax (tan x)1（ cot x)1cos2 xg (x) f ( x) g( x) sin 2 x（ 2）法則： f ( x)， f ( x) g( x) f (x)g (x)g ( x) f ( x) f ( x) f ( x)g (x) g (x) f ( x)g ( x)g 2 ( x)例：（ 1） y x3x24（ 2） ysin xx2（ 3） y 3cos x 4sin x（ 4） y 2x 3（ 5） yln x2復合函數的導數如果函數( x)在點 x 處可導，函數f (u)在點 u=(x)處可導，則復合函數y=f (u)=f (x) 在點 x 處也可導

3、，并且(f ( x) = f(x)(x)或記作yx = yu ? u x熟記鏈式法則若 y= f (u)， u=( x)y= f ( x) ，則yx = f(u)(x)若 y= f (u)， u=(v) ， v=( x)y= f ( ( x) ，則yx = f(u)(v)(x)（ 2）復合函數求導的關鍵是正確分析已給復合函數是由哪些中間變量復合而成的，且要求這些中間變量均為基本初等函數或經過四則運算而成的初等函數。在求導時要由外到內，逐層求導。例 1 函數 y1(13x)解： y(11(13x) 4 3x)4設 yu4 ， u13x ，則yxyuux(u4 )u (13x) x4u5(3)12

4、u512(13x)512(13x) 5例 2 求 y5x的導數1xx15解： y，1x1xy1 x545xx41 xx( 1)151 x51x(1x)21 x5 1 x446511 x 5(1x) 5 (1 x) 25例 3 求下列函數的導數y32x解：（ 1） y32x令u= 3 - 2x，則有y=u ，u= 3 - 2x由復合函數求導法則yx yuu x有 y=u u (32x) x =11u( 2)23 2x在運用復合函數的求導法則達到一定的熟練程度之后，可以不再寫出中間變量u，于是前面可以直接寫出如下結果：y =112 3 2x(3 2x)3 2x在運用復合函數求導法則很熟練之后，可以

5、更簡練地寫出求導過程：y =1( 2)132x2x23例 4 求下列函數的導數（ 1） y=12x cos x（ 2） y= ln ( x+1x 2 )解：（ 1） y=12x cos x由于 y=1 2x cos x 是兩個函數12x 與 cos x 的乘積，而其中12x又是復合函數， 所以在對此函數求導時應先用乘積求導法則，而在求 12x 導數時再用復合函數求導法則，于是y =(12x ) cos x - 12x sin x=(2)cos x -12x sin x=cosx-1 2x sin x12x12x2（ 2） y= ln (x+1x 2)由于 y= ln ( x+1x 2)是 u=

6、 x +1x 2與 y= ln u 復合而成，所以對此函數求導時，應先用復合函數求導法則，在求u x 時用函數和的求導法則，而求(1x2)的導數時再用一次復合函數的求導法則，所以y =1? 1+(1x21? 12x1 x 2) =1 x 22 1 x 2xx=1? x1x 2=1x1x 21x 21 x2例5 設 yln( xx1)求 y .解利用復合函數求導法求導，得yln( xx21)11 (x 21) 1( xx 21)x1xx2x21111( x21) 11x1.xx212 x21xx 21x21x211求下函數的導數 .（ 1） ycos x（2） y2x 13(1) y=(5 x

7、3)4(2)y=(2+3 x)5(3) y=(2 x2)3(4) y=(2 x3+x)2(1) y=11) 3(2) y= 411(3) y=sin(3 x ) (4) y=cos(1+ x2)(2x23x6232 y(2x ) ； ysin x ； yos(cx) ； yln sin(3x1) 1求下列函數的導數33sin 2x(3)log a ( x22)(1) y =sinx +sin 3x；（ 2） y12x2. 求 ln( 2x23x1) 的導數一、選擇題（本題共5小題，每題 6分，共 30分）1. 函數 y=1）的導數是（(3x1) 2A.6B.6C. 6D. 61)31)21)

8、31)2(3x(3x(3x(3x3.函數 y=sin（ 3x+）的導數為（）4A. 3sin （ 3x+）B. 3cos（ 3x+）44C. 3sin 2（ 3x+）D. 3cos2（ 3x+）444.曲線 y x n 在 x=2 處的導數是12，則 n=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.函數 y=cos2x+sinx 的導數為（）A. 2sin2 x+cosxB. 2sin2 x+cosx2x2 xC. 2sin2x+sinxcosx2xD. 2sin2 xx26.過點 P（1， 2）與曲線 y=2x 2 相切的切線方程是（）A. 4x y 2=0B. 4x+y 2=0C. 4x+y=0D. 4x y+2=0二、填空題（本題共5 小題，每題6 分，共 30 分）8.曲線 y=sin3x 在點 P（， 0）處切線的斜率為 _。39.函數 y=xsin（ 2x） cos（ 2x+）的導數是。2210.函數 y=cos(2x3) 的導數為。11.f ( x)x ln x, f (x0 )2, 則x0_ 。例 2計算下列定積分（ 1）221 )dx（ 3） sin 2 xdxx( x 1)dx ；（ 2） (e2x01x045 ex dx 的值等于（）2( A) e4e 2(B)e4e2(C)e4e22(D)