專題27--面積法--拔高題

1、 專題27 面積法 閱讀與思考 平面幾何學(xué)的產(chǎn)生源于人們測(cè)量土地面積的需要，面積關(guān)聯(lián)著幾何圖形的重要元素邊與角 所謂面積法是指借助面積有關(guān)的知識(shí)來(lái)解決一些直接或間接與面積問(wèn)題有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種方法有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然題目中沒(méi)有直接涉及面積，但由于面積聯(lián)系著幾何圖形的重要元素，所以借助于有關(guān)面積的知識(shí)求解，常常簡(jiǎn)捷明快 用面積法解題的基本思路是：對(duì)某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計(jì)算，就可得到一個(gè)含邊或角的關(guān)系式，化簡(jiǎn)這個(gè)面積關(guān)系式就可得到求解或求證的結(jié)果 下列情況可以考慮用面積法：（1）涉及三角形的高、垂線等問(wèn)題；（2）涉及角平分線的問(wèn)題 例題與求解 【例1】 如圖，從等邊三角形

2、內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長(zhǎng)分別為1，3，5，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為_(kāi) (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關(guān)系入手 等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？ 【例2】 如圖，AOB中，O，OAOB，正方形CDEF的頂點(diǎn)C在DA上，點(diǎn)D在OB上，點(diǎn)F在AB上，如果正方形CDEF的面積是AOB的面積的，則OC：OD等于( ) A3：1 B2：1 C3：2 D5：3解題思路：由面積關(guān)系，可能想到邊、角之間的關(guān)系，這時(shí)通過(guò)設(shè)元，即可把幾何問(wèn)題代數(shù)化來(lái)解決 【例3】 如圖，在ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB上

3、一點(diǎn)，且BEDF，BE與DF交于G，求證：BGCDGC. （長(zhǎng)春市競(jìng)賽試題） 解題思路：要證BGCDGC，即證CG為BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口 【例4】 如圖，設(shè)P為ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點(diǎn)D、E、F. 求證：（1）； （2）. （南京市競(jìng)賽試題） 解題思路：過(guò)P點(diǎn)作平行線，產(chǎn)生比例線段. 【例5】 如圖，在ABC中，E，F(xiàn)，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點(diǎn)D，且，求的值. 解題思路：利用上例的結(jié)論，通過(guò)代數(shù)恒等變形求值. （黃岡市競(jìng)賽試題） 【例6】如圖，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，

4、BC，CD， DA上，且（是正數(shù)），求四邊形EFGH的面積 （河北省競(jìng)賽試題） 解題思路：連對(duì)角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，是解面積問(wèn)題的常用技巧轉(zhuǎn)化的基本知識(shí)有： (1) 等高三角形面積比，等于它們的底之比； (2) 等底三角形面積比，等于它們的高之比； (3) 相似三角形面積比，等于它們相似比的平方 能力訓(xùn)練 1如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，E是AD的中點(diǎn)，BMEC，垂足為M，則BM_.（福建省中考試題）2如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點(diǎn)，AP 2BP，CEDP于E，AD，AB，則CE_.（南寧市中考試題） 第1題圖 第2題圖

5、 第3題圖 3如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個(gè)正方形的面積分別為25，48，121，114，PR13，則該八邊形的面積為_(kāi).（江蘇省競(jìng)賽試題） 4. 在ABC中，三邊長(zhǎng)為，表示邊上的高的長(zhǎng)，的意義類似，則()的值為_(kāi). （上海市競(jìng)賽試題） 5如圖，ABC的邊AB2，AC3，分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值是_.（全國(guó)競(jìng)賽試題） 6如圖，過(guò)等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，PQ6，PR8，PS10，則ABC的面積是 ( ) A. B. C. D.（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題） 第5題圖 第6題圖 第7題圖 7如圖，點(diǎn)D是ABC的邊BC上一點(diǎn)，若CADDA

6、B，AC3，AB6，則AD的長(zhǎng)是( ) A2 B. C.3 D. 8如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所成的7個(gè)區(qū)域的面積分別為，那么恒成立的關(guān)系式是( ) A. += B.+=C. += D+= 9已知等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，ABC的高為若點(diǎn)P在一邊BC上（如圖1），此時(shí)，可得結(jié)論：.請(qǐng)直接用上述信息解決下列問(wèn)題： 當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)（如圖2）、點(diǎn)P在ABC外（如圖3）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立，與之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明 （黑龍江省中考試題）

7、10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且AD、BE、CF相交于P點(diǎn)，APBPCP6，設(shè)PD，PE，PF，若，求的值 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知ABCE，BCAD，BECD，DEAC，求證：AEBD. （加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題） 12.如圖，在銳角ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上的三等分點(diǎn). P，Q，R分別是ADF，BDE，CEF的三條中線的交點(diǎn).(1) 求DEF與ABC的面積比；(2) 求PDF與ADF的面積比；(3) 求多邊形PDQERF與ABC的面積比. 13如圖，依次延長(zhǎng)四邊形ABCD的邊AB ，BC，CD ，DA至E，F(xiàn)，G