微積分上 復習下ppt課件

1、總總 復復 習習1 1.多元函數(shù)的導數(shù)多元函數(shù)的導數(shù) 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 那么因變量對某一個變量的偏那么因變量對某一個變量的偏導是將其他變量視為常量的導數(shù)導是將其他變量視為常量的導數(shù). ,zf x y例例1 設(shè)設(shè) 求求2,yzx,.xyz z解解 由定義得由定義得2221,ln2 .yyxyzy xzxxy一、多元微分一、多元微分2例例2 設(shè)設(shè) 求求arctan,xyzxy,.xyz z解解 由復合函數(shù)的導數(shù)公式由復合函數(shù)的導數(shù)公式, 得得22221,1xxyxyyzxyxyxyxy22221.1yxyxyxzxyxyxyxy3 在偏導計算過程中在偏導計算過程中, 要留意的是如何按定義計算函

2、數(shù)要留意的是如何按定義計算函數(shù)在一點的導數(shù)在一點的導數(shù).例例3 求函數(shù)求函數(shù)222222221cos, 0, 0 0 xxyxyxyf x yxy的偏導的偏導.解解 當當 時時, ,0,0 x y 42221,2cosxfx yxyxy221,2cosyfx yxyxy222222221sin,x xxyxyxy222222221sin,y xxyxyxy5當當 時時,0,0 x y 0,00,00,0limxxfxffx 2201limcos0,xxxx 同理同理:0,00.yf6 2.高階偏導高階偏導 由于偏導本質(zhì)上是一元函數(shù)的導數(shù)由于偏導本質(zhì)上是一元函數(shù)的導數(shù), 故偏導函數(shù)依然是故偏導函

3、數(shù)依然是多元函數(shù)多元函數(shù), 由此可以定義高階導數(shù)由此可以定義高階導數(shù). 對二元函數(shù)對二元函數(shù)高階導數(shù)為高階導數(shù)為,zf x y , , , .xxxxyxyxyyyyxyxyzfzfzfzf7例例4 設(shè)設(shè) 求二階偏導求二階偏導.arctan,xyzxy解解 由例由例2, 知知2222,xyyxzzxyxy所以所以, 2222222222222222,xxxyxyxyyxyzzxyxyxy2222222222222222,.yxyyxyxxyxyzzxyxyxy8 在上例中看到在上例中看到, 在二階偏導延續(xù)的條件下在二階偏導延續(xù)的條件下,有有.xyyxzz9 3.全微分全微分定義定義 對函數(shù)對函

4、數(shù) 對自變量的增量對自變量的增量相應(yīng)的因變量的全增量為相應(yīng)的因變量的全增量為,zf x y,xy,zf xx yyf x y 假設(shè)全增量具有表達式假設(shè)全增量具有表達式 ,zA xyo 其中其中 那么稱函數(shù)為可微的那么稱函數(shù)為可微的, 相應(yīng)的微相應(yīng)的微分記為分記為 22xy 10.dzA xB y 可微的條件可微的條件偏導延續(xù)偏導延續(xù)可微可微函數(shù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)偏導存在偏導存在.微分計算公式微分計算公式假設(shè)函數(shù)有延續(xù)偏導假設(shè)函數(shù)有延續(xù)偏導, 那么那么.xydzf dxf dy11例例5 設(shè)設(shè) 求求arctan,xyzxy.dz解解 由例由例2知知2222,xyyxzzxyxy故故2222.yxdzd

5、xdyxyxy12例例6 討論例討論例3中的函數(shù)在原點的可微分性中的函數(shù)在原點的可微分性.解解 由例由例3知知, 從而有從而有0,00,00.xyff0,0z2222100cos,xyxxyxy 由此得由此得2222220,01cos0,xxyzxyxy 13即有函數(shù)在原點可微分即有函數(shù)在原點可微分, 且有且有0,00.dz14 4.復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù) 設(shè)二元復合函數(shù)設(shè)二元復合函數(shù)其中函數(shù)其中函數(shù) 均有所需求的各階偏導數(shù)均有所需求的各階偏導數(shù), 那么那么,zf u v uu x yvv x y, ,f u v, .uxvxuuvyzzf uf vf uf vxy15例例7 設(shè)設(shè) 求求

6、22,xyzxy,.xyz z解解 令令 那么那么2 ,2 , .vuxy vxyzu由導數(shù)公式由導數(shù)公式11ln1vvxuxvxzf uf vvuuu 212222ln2.xyxyxyxyxyxy12ln2vvyuyvyzf uf vvuuu 21222222ln2.xyxyxyxyxyxy16例例8 設(shè)設(shè) 其中其中 為為 類函數(shù)類函數(shù), 求二階偏導求二階偏導.,xzfxyf 2C解解 令令 那么那么,xuy21,.xxuxxuyuyuxzff uffzf ufyy 所以所以111xxxxxuuxuuzffffyyy221,xxuxuufffyy1722211xyxuuuuxxzfffyyy

7、y2231,xuuuuxxfffyyy 2322.yyuuuxxzffyy18 5.隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù)一個方程確定的隱函數(shù)一個方程確定的隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 滿足滿足函數(shù)有對各個變量的延續(xù)偏導數(shù)函數(shù)有對各個變量的延續(xù)偏導數(shù);那么在點那么在點 的某一鄰域的某一鄰域, 由方程由方程 可可確定一個確定一個 類函數(shù)類函數(shù) 且有且有, ,F x y z000000,0,0,zF xy zFxy z000,xy z, ,0,F x y z 1C,zf x y,.yxzzFzFzxFyF 19例例9 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 由方程由方程 確確定定, 求求 ,zf x y0

8、zexyz,.xyz z解解 令令 那么那么, ,zF x y zexyz,zxyzFyz Fxz Fexy 故有公式故有公式,.yxzzzzFzFyzzxzxFexyyFexy 20 方程組確定的隱函數(shù)方程組確定的隱函數(shù)隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 設(shè)四元函數(shù)設(shè)四元函數(shù)滿足滿足, , , , ,F x y u vG x y u v函數(shù)對各個變量具有延續(xù)的偏導函數(shù)對各個變量具有延續(xù)的偏導,00000000,0,F xy u vG xy u v0000,0,xyuvF Gu v那么方程組那么方程組 在點在點 的某個鄰的某個鄰, , ,0, , ,0F x y u vG x y u v0000,x

9、 y u v21域內(nèi)能獨一地確定一組域內(nèi)能獨一地確定一組 函數(shù)組函數(shù)組 滿足條滿足條 1C,uu x yvv x y件件 并有相應(yīng)的導數(shù)公并有相應(yīng)的導數(shù)公式式.000000,uu xyvv xy22例例10 設(shè)方程設(shè)方程 確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)22221,3xyuvxyuv 求求,uu x yvv x y,.xyxyu u v v解解 方程兩邊對方程兩邊對 求導求導, 那么有那么有x0,10,xxxxxu uv vuv上式的第二式乘上式的第二式乘 再兩式相減得再兩式相減得, u0,0,xxxxxu uv vvvuvv23從而有從而有 由對稱性得由對稱性得.xvxuuv.yvyuuv24 二、多元

10、微分的運用二、多元微分的運用 1.幾何運用幾何運用 曲線的切線與法平面方程曲線的切線與法平面方程 設(shè)曲線由參數(shù)方程給出設(shè)曲線由參數(shù)方程給出: ,:, ,xx tyy ttzz t 25點點 那么曲線在該點處的切線和法平那么曲線在該點處的切線和法平面方程為面方程為0000,Mxyz 000000,xxyyzzx ty tz t切線切線法平面法平面 0000000.x txxy tyyz tzz26假設(shè)曲線有普通方程給出假設(shè)曲線有普通方程給出, 那么切線可視為兩切平面的交線那么切線可視為兩切平面的交線.曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為 點點那么切平面方程與法線方程為那

11、么切平面方程與法線方程為:, ,0.F x y z0000,Mxyz切平面切平面0000FMxxFMyy000.FMzz27法線法線0000000.xxyyzzFMFMFM28例例11 在曲線在曲線 上上, 求與平面求與平面 平行的切線平行的切線.23,xt ytzt24xyz解解 設(shè)切點所對應(yīng)的參數(shù)值為設(shè)切點所對應(yīng)的參數(shù)值為 故相應(yīng)的切向量為故相應(yīng)的切向量為 由知條件得切向量與平面的法向垂直由知條件得切向量與平面的法向垂直,即有即有0,tt2001,2 ,3.tt2001430.ntt 0011,.3tt 即即29故切點為故切點為 和和 切向量為切向量為 1, 2,31 11,.3 9271

12、,1, 1211,.33和和 相應(yīng)的切線方程為相應(yīng)的切線方程為111,123xyz3191271.369xyz和和30例例12 設(shè)橢球面設(shè)橢球面 上某點處的切平面上某點處的切平面 過知直線過知直線 求平面的方程求平面的方程.2222321xyz6121:,212xyzL解解 設(shè)切點為設(shè)切點為31例例13 求球面求球面 與橢球面與橢球面22294xyz22217314xyz 的交線對應(yīng)于的交線對應(yīng)于 的交點的的交點的1x 切線方程和法平面方程切線方程和法平面方程.3233 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 為為 蕾類函數(shù)蕾類函數(shù), 求極值求極值.,zf x y 2C1.求函數(shù)的

13、一階和二階偏導求函數(shù)的一階和二階偏導;2.令令 求函數(shù)的一切駐點求函數(shù)的一切駐點;0.xyff3.對函數(shù)的一切駐點對函數(shù)的一切駐點, 計算計算 的符號的符號, 假設(shè)假設(shè)2ACB34220,00,0,AACBAACB極小值極小值極大值極大值非極值非極值35例例14 設(shè)設(shè) 由由 確定確定, 求函數(shù)的極值求函數(shù)的極值.,zz x y2226102180 xxyyyzz解解 方程兩邊求導方程兩邊求導, 得得26220,xxxyyzz z6202220.yyxyzyzzz令令 那么有方程組那么有方程組0,xyzz30,3100.xyxyz36解此方程組解此方程組, 得得 再代入原方程再代入原方程, 有駐

14、點有駐點 在上面兩個方程中在上面兩個方程中, 繼續(xù)求導繼續(xù)求導, 得得3 ,.xy zy 9,3,3 ,9, 3, 3 .2222220,622220,2042220.xxxxxxxxyyxxyyyyxyyyzzzzyzz zzzzyzzzz對上述駐點對上述駐點, 解此方程組解此方程組, 并留意到一階偏導為零并留意到一階偏導為零, 有有1159,3,3 :,623ABC 371159, 3, 3 :,623ABC 此時此時 所以所以 是是2110,0,366ACBA9,3,zf x y 的極小值點的極小值點, 極小值為極小值為9,33.z此時此時 所以所以 是是2110,0,366ACBA 9

15、, 3,zf x y 的極大值點的極大值點, 極大值為極大值為9, 33.z 38 條件極值條件極值 問題問題 求函數(shù)求函數(shù) 在條件在條件 下下的極值的極值., ,uf x y z, ,0 x y z 方法方法 1.構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù), , , ,F x y zf x y zx y z2.解方程組解方程組0.xyzFFFF3.對方程的解進展討論對方程的解進展討論.39例例15 求橢圓求橢圓 的長半軸和短半軸之的長半軸和短半軸之長長.225421xxyy解解 橢圓的半軸長分別為原點到曲線的最長間隔和最短橢圓的半軸長分別為原點到曲線的最長間隔和最短間隔間隔. 故作函數(shù)故作函數(shù)2222,5421 ,F

16、 x yxyxxyy相應(yīng)的方程組為相應(yīng)的方程組為402221040,2440,54310.xyFxxyFyxyFxxyy 由條件容易知道由條件容易知道: 于是有于是有 0,0,0.xyz151,1,222xyyx 令令 即有即有,yux4113.2uu 解之得解之得 再代入曲線方程再代入曲線方程, 得得1212,2uu 121212,51511,.530 xxyy故兩半軸之長分別為故兩半軸之長分別為1261,.6dd42二、重積分二、重積分 1.二重積分的計算二重積分的計算 21, ,bxaxDf x y ddxf x y dy先先 后后yx 21,dycydyf x y dx先先 后后yx在

17、直角坐標下的計算在直角坐標下的計算43在極坐標下的計算在極坐標下的計算,Df x y d 21cos ,sin.dfd 普通坐標變換普通坐標變換,.DDf x y dfx u vy u vJ d44例例16 計算積分計算積分24212.22xxxxxdxdydxdyyy解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖. 因被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)因被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),故不能直接積分故不能直接積分. 首先交換積分次序首先交換積分次序:xyO1242124212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy221sin2yyxdydxy212coscos22yy dy4522124cos2.2yydy

18、 46例例17 計算積分計算積分 其中其中 由雙曲線由雙曲線2,Dx ydD221xy及直線及直線 圍成的平面區(qū)域圍成的平面區(qū)域.0,1yy解解 2231122222011213yyDx yddyx ydxyydy252212214 21 .1515y47例例18 計算積分計算積分 其中其中22,Dxy d,0,Dx yyx222.xyx解解 2cos2223440008cos3Dxy dddd 2408101sinsin2.39d48 2.三重積分的計算三重積分的計算 在直角坐標下三重積分的計算在直角坐標下三重積分的計算 先先1后后2的積分的積分:12, , ,x yx yDf x y z

19、dvdf x y z dz 1122, ,.bxx yaxx ydxdyf x y z dz49 先先2后后1的積分的積分, , ,.zbaDf x y z dvdzf x y z d 利用柱面坐標計算三重積分利用柱面坐標計算三重積分 1122, ,.zzf x y z dvddfdz 50利用球面坐標計算三重積分利用球面坐標計算三重積分121122,2, ,sin.rrf x y z dvddrfdr 51例例18 計算積分計算積分 其中其中 由由22,xyz dv22 ,0yzxz繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面再與軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面再與 所圍成的立體所圍成的立體.4z 解解1 2222.xy

20、z dvxydvzdv422220zDxy dvdzxy d42243200001282.3zdzddz dz52442001282.3zDzdvzdzdz dz所以所以, 積分積分22256.3xyz dv解解2 利用柱面坐標利用柱面坐標22xyz dv22842002256.3ddzdz 53例例19 計算積分計算積分 其中其中 是由曲面是由曲面,xz dv22zxy及及 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.221zxy解解 利用球面坐標利用球面坐標xz dvzdv2134000sincosddrdr134002sincos.8dr dr 54 3.重積分的運用重積分的運用221.xyDSzz d

21、曲面面積曲面面積 設(shè)空間曲面設(shè)空間曲面那么曲面的面積為那么曲面的面積為 ,:,.zz x yx yD 空間立體的質(zhì)量與重心坐標的計算空間立體的質(zhì)量與重心坐標的計算: 設(shè)空間幾何形設(shè)空間幾何形體體 密度函數(shù)為密度函數(shù)為 那么質(zhì)量那么質(zhì)量 和重心坐標和重心坐標分別為分別為, ,x y zM, ,x y z55, ,Mx y z dv1, ,xxx y z dvM1, ,yyx y z dvM1, ,.zzx y z dvM56三、曲線積分與曲面積分三、曲線積分與曲面積分 1.曲線積分曲線積分 第一類曲線積分第一類曲線積分, ,.f x y z ds計算方法計算方法: 假設(shè)假設(shè) ,:, ,xx ty

22、y ttzz t 57那么有那么有, ,f x y z ds 222,.fx ty tz txyz dt 第二類曲線積分第二類曲線積分.PdxQdyRdz計算方法計算方法 假設(shè)假設(shè) ,:, :,xx tyy ttzz t58那么有那么有PdxQdyRdz.PxQyRz dt59例例20 求積分求積分 其中其中23,Lxy ds222:.L xyR解解 232323204cos.LLxy dsx dsRdR 60例例21 求八分之一的球面求八分之一的球面 的邊境曲線的重心的邊境曲線的重心 .2222,0,0,xyzRxy0z 1解解 曲線弧的質(zhì)量為曲線弧的質(zhì)量為233.42RMdsRyxzO12

23、3R設(shè)中心坐標為設(shè)中心坐標為 那么那么, ,.x y z1231xxdsM 12xdsM612220224cos.3RRdRMM 由對稱性知由對稱性知 即重心坐標為即重心坐標為4,3Rxyz444,.333RRR62例例22 求求2222ln,Lxy dxy xyxxydy其中其中 取逆時針方向取逆時針方向.222:,L xyR解解 由積分公式得由積分公式得22220sin0,Lxy dxRtdt 224220sincosLy xdyRttdt422204sin1sinRtt dt634434,44 44RR22lnLyxxydysin lncoscosRtRRt Rtdt0,所以所以, 原積

24、分為原積分為4.4R64 2.曲面積分曲面積分 第一類曲面積分第一類曲面積分, ,.f x y z dS計算方法計算方法:22, , ,1.xyDf x y z dSfx y z x yzz d 第二類曲面積分第二類曲面積分.PdydzQdzdxRdxdy65積分方法積分方法:PdydzQdzdxRdxdy.xyDPzQzR d 其中其中, 上側(cè)取正上側(cè)取正, 下側(cè)取負下側(cè)取負.66例例22 設(shè)設(shè) 為橢球面為橢球面 的上半部分的上半部分, 點點222122xyz 為為 在點在點 處的切平面處的切平面, 為點為點, ,P x y zP, ,x y z 到平面的間隔到平面的間隔, 求求O., ,z

25、dSx y z解解 由條件知切平面方程為由條件知切平面方程為1.22xXyYzZ那么那么12222, ,44xyx y zz67因曲面方程為因曲面方程為 所以所以221,22xyz2222,2 12 12222xyxyzzxyxy因此因此22222241,2 122xyxydSzz ddxy682214, ,4DzdSxy dx y z22200134.42dd 69例例23 計算積分計算積分 其中其中 為為222,axdydzaz dxdyxyz上半球面上半球面 取上側(cè)取上側(cè).222,zaxy解解 222axdydzaz dxdyxyz121.axdydzaz dxdyIIa70222112

26、yzDIaxdydzayz dydza22002adad2222302,3aad aa 222211xyDIaz dxdyaaxydxdyaa7122220015,3aadadaa所以所以,12222axdydzaz dxdyIIxyz3225.33aa72 三個重要公式三個重要公式 格林公式格林公式.xyDDPdxQdyQPd并且曲線積分與途徑無關(guān)并且曲線積分與途徑無關(guān) .xyQP 高斯公式高斯公式.xyzPdxQdyRdzPQR dv73 斯托克斯公式斯托克斯公式.dydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR74例例24 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 平面上有一階延續(xù)偏導數(shù)平面上有一階延續(xù)

27、偏導數(shù),Q x yxOy2,LxydxQ x y dy曲線積分曲線積分 與途徑無關(guān)與途徑無關(guān), 且對恣意且對恣意恒有恒有, t,11,0,00,02,2,ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy求求,.Q x y解解 由曲線積分與途徑無關(guān)的條件由曲線積分與途徑無關(guān)的條件, 得得22 ,Qxyxxy75故故 2,.Q x yxC y又又 ,1120,002,txydxQ x y dytC y dy 1,0,002,ttxydxQ x y dytC y dy 兩邊求導兩邊求導, 得得 21,21.tC tC tt 故故 即即 21.C yy2,21.Q x yxy76例例25 求求si

28、ncos,xxLeyb xydxeyax dy其中其中 為正的常數(shù)為正的常數(shù), 為從點為從點 沿沿到點到點 的一段弧的一段弧., a bL2 ,0a22yaxx0,0O解解 添加弧段添加弧段 因因1:0:02 .Lyxa1sincosxxLeyb xydxeyax dy2202.abxdxa b 77由格林公式由格林公式1sincosxxL Leyb xydxeyax dy21,2Dba daba所以所以,sincosxxLeyb xydxeyax dy322112.22aa ba b78例例26 計算積分計算積分22221,x yz dydzxy z dzdxzxyz dxdy其中其中 取上

29、側(cè)取上側(cè).222:0 ,zaxyz解解 作輔助曲面作輔助曲面 并取下側(cè)并取下側(cè), 那么那么2221:0,zxya1222210.x yz dydzxy z dzdxzxyz dxdy所以所以7922221x yz dydzxy z dzdxzxyz dxdy222221x yz dydzxy z dzdxzxyz dxdy2222212xyzxyzxyzdv 2224001.2advdada 80例例28 求求 其中其中2,xz dydzzdxdy22:zxy解解 作作 取下側(cè)取下側(cè), 那么那么221:11 ,zxy 其法向與其法向與 軸的正向夾角為銳角軸的正向夾角為銳角.z01,z12,xz

30、 dydzzdxdy 所以所以122xz dydzzdxdyxz dydzzdxdy8112,xz dydzzdxdy12xz dydzzdxdy而而22110033dvdddz 130361,2d 82由此得到由此得到12.2xz dydzzdxdy 83例例29 求求 其中其中,zy dxxz dyxy dz 是曲線是曲線 從從 軸正向看是順時針方向軸正向看是順時針方向.221,2,xyxyzz解解 取曲面為平面取曲面為平面 被柱面所割下部分被柱面所割下部分, 并并取下側(cè)取下側(cè), 那么有那么有2xyzzy dxxz dyxy dz84zy dxxz dyxy dz111333dSxyzzy

31、xzxy1222 .3dSd 85四、無窮級數(shù)四、無窮級數(shù) 1.數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 部分和部分和 假設(shè)假設(shè)1,nnu1,nnkksulim,nnss那么級數(shù)是收斂的那么級數(shù)是收斂的, 且且1.nnus86 正項級數(shù)正項級數(shù) 正項級數(shù)收斂性的斷定正項級數(shù)收斂性的斷定 比較判別法及極限方式比較判別法及極限方式; 比值判別法比值判別法; 根值法根值法. 交錯級數(shù)交錯級數(shù) 交錯級數(shù)收斂性斷定定理交錯級數(shù)收斂性斷定定理.87 絕對收斂性絕對收斂性88例例30 討論級數(shù)討論級數(shù) 的收斂性的收斂性.ln2lnnnnnn解解 因因2lnlnlimlimlim0,lnlnnnnnnnnnnneunn

32、故級數(shù)收斂故級數(shù)收斂.89例例31 討論級數(shù)討論級數(shù) 的收斂性的收斂性.111cos0nnn解解 因因21111cos2sin2nnnnn又又222sin2lim1,22nnn90所以級數(shù)所以級數(shù) 絕對收斂絕對收斂.111cosnnn91例例32 討論級數(shù)討論級數(shù) 的收斂性的收斂性.211nnnn 解解 因因111111nnnnnnnnnn 11,1nnn思索級數(shù)思索級數(shù) 顯然有顯然有21,1nnnn1lim0,1nxnn92又又2120,121xxxxx x 從而級數(shù)從而級數(shù) 收斂收斂, 又又 發(fā)散發(fā)散, 故原級數(shù)故原級數(shù)21,1nnnn211nn發(fā)散發(fā)散.93例例33 討論級數(shù)討論級數(shù) 的

33、收斂性的收斂性.11111nnnen 解解 令令 1133221221,0,33xxf xefxexxx 又又 1lim,12xf xx故原級數(shù)條件收斂故原級數(shù)條件收斂.94 2.冪級數(shù)冪級數(shù) 求冪級數(shù)的收斂半徑求冪級數(shù)的收斂半徑 比值法比值法 設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 那么收斂半徑為那么收斂半徑為0,nnna x1lim.nnnaRa 根值法根值法1lim.nnnRa95 泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù) 000.!nnnfxf xxxn 00.!nnnff xxn 根本展開式根本展開式96 函數(shù)展開成泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù)函數(shù)展開成泰勒級數(shù)和麥克勞林級數(shù) 求和函數(shù)求和函數(shù).97例例34 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂域和和函數(shù)的收斂域和和函數(shù).1112nnnxn解解 容易得到收斂域為容易得到收斂域為 在收斂范圍中令和函數(shù)在收斂范圍中令和函數(shù)為為 即即2,2 . ,s x 111.2nnns xxn 111.2nnnsxxs xxn 111111111222nnnnnnsxxx98111121.222 22nnxxx所以所以 1ln 2ln2ln 1.2xsxx 由此得到由此得到 1ln 1 20,02,21 0.2xxxxs xx99例例35 求求 的收斂域及和函數(shù)的收斂域及和函數(shù).021nnnx解解 容易得到收斂域為容易得到收斂