八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)全套資料講義

1、目錄第1講 全等三角形的性質(zhì)與判定(P2-11)第2講 角平分線的性質(zhì)與判定(P12-16)第3講 軸對(duì)稱(chēng)及軸對(duì)稱(chēng)變換(P17-24)第4講 等腰三角形(P25-36)第5講 等邊三角形(P37-42)第6講 實(shí) 數(shù)(P43-49)第7講 變量與函數(shù)(P50-54)第8講 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(P55-63)第9講 一次函數(shù)與方程、不等式(P64-68)第10講 一次函數(shù)的應(yīng)用(P69-80)第11講 冪的運(yùn)算（P81-86)第12講 整式的乘除(P87-93)第13講 因式分解及其應(yīng)用(P94-100)第14講 分式的概念性質(zhì)與運(yùn)算(P101-108)第15講 分式的化簡(jiǎn) 求值 與證明(P1

2、09-117)第16講 分式方程及其應(yīng)用(P118-125)第17講 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)(P126-138)第18講 反比例函數(shù)的應(yīng)用(P139-146)第19講 勾股定理(P147-157)第20講 平行四邊形(P158-166)第21講 菱形矩形(P167-178)第22講 正方形(P179-189)第23講 梯形(P190-198)第24講 數(shù)據(jù)的分析(P199-209)模擬測(cè)試一模擬測(cè)試二模擬測(cè)試三第01講 全等三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2全等三角形性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角

3、相等；全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線、中線相等；全等三角形對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)相等，面積相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個(gè)三角形滿(mǎn)足判定方法中的三個(gè)條件，具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明；5證明兩個(gè)三角形全等，根據(jù)條件，有時(shí)能直接進(jìn)行證明，有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等，這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長(zhǎng)線中線、截取等等.經(jīng)典·考題&#

4、183;賞析【例】如圖，ABEFDC,ABC90°,ABCD，那么圖中有全等三角形（ ）BACDEFA5對(duì)B4對(duì)C3對(duì)D2對(duì)【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一對(duì)全等三角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出第二對(duì)，第三對(duì)全等三角形.這種逐步推進(jìn)的方法常用到.解：ABEFDC,ABC90. DCB90. 在ABC和DCB中 ABCDCB（SAS ） AD在ABE和DCE中 ABEDCE BECE在RtEFB和RtEFC中 RtEFBRtEFC（HL）故選C.【變式題組】01（天津）下列判斷中錯(cuò)誤的是（ ）A有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B有兩邊和一角對(duì)應(yīng)

5、相等的兩個(gè)三角形全等C有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等AFCEDB02（麗水）已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且ADBE，AFDE，則ABCDEF.判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明.03(上海)已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O, 連接AB、DC，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，連接EF（如圖所示）.添加條件AD，OEFOFE，求證：ABDC；ABCDOFE分別將“AD”記為，“OEFOFE”記為，“ABDC”記為，添加、，以為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條

6、件、，以為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是_命題，命題2是_命題（選擇“真”或“假”填入空格）.【例】已知ABDC，AEDF，CFFB. 求證：AFDE.【解法指導(dǎo)】想證AFDE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在AFB和AEF中，而DE在CDE和DEF中，因而只需證明ABFDCE或AEFDFE即可.然后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.ACEFBD證明：FBCE FBEFCEEF，即BECF在ABE和DCF中, ABEDCF（SSS） BC在ABF和DCE中, ABFDCE AFDE【變式題組】01如圖，AD、BE是銳角ABC的高，相交于點(diǎn)O，若BOAC，BC7，CD2，則AO的長(zhǎng)為（ ）

7、A2B3C4D5AE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖02.如圖，在ABC中，ABAC，BAC90°，AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，AECE于E，BDAE于D，DE4cm，CE2cm，則BD_.03（北京）已知：如圖，在ABC中， ACB90°，CDAB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，CEBC，過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：ABFC.AFECBD【例】如圖，ABCDEF，將ABC和DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合，把DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.當(dāng)DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)B（E）、C、D在同一直線上時(shí)，AFD與DCA的數(shù)量關(guān)系是_;當(dāng)DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如

8、圖位置時(shí)，中的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由_.B（E）OCF圖FABCDEFAB(E)CDDA圖圖【解法指導(dǎo)】AFDDCAAFDDCA理由如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF, ABCDEF, BACEDF ABCFBCDEFCBF, ABFDEC在ABF和DEC中, ABFDEC BAFDEC BACBAFEDFEDC, FACCDF AODFACAFDCDFDCAAFDDCA【變式題組】01（紹興）如圖，D、E分別為ABC的AC、BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若CDE48°，則APD等于（ ）A42°B48°C52°D

9、58°02如圖，RtABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到DEF，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）AABCDEFBDEF90°C ACDF DECCFEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖03一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上.求證：ABED；若PBBC，找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并證明.BFACENMPDDACBFE【例】（第21屆江蘇競(jìng)賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是ABC的邊A C和AB邊上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線，BPAC，點(diǎn)Q在CE上，CQAB. 求證： APAQ；AP

10、AQ【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察，證APAQ,也就是證APD和AQE，或APB和QAC全等,由已知條件BPAC，CQAB，應(yīng)該證APBQAC，已具備兩組邊對(duì)應(yīng)相等，于是再證夾角12即可. 證APAQ，即證PAQ90°，PADQAC90°就可以.21ABCPQEFD證明：BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，BDACEA90°, 1BAD90°，2BAD90°，12. 在APB和QAC中, APBQAC，APAQAPBQAC，PCAQ, PPAD90° CAQPAD90°，APAQ【變

11、式題組】ABCDFE01如圖，已知ABAE，BE，BAED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：AFCD.02（湖州市競(jìng)賽試題）如圖，在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時(shí)梯子的傾斜角為75°，如果梯子底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻上，此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是（ ）ABCbmDamAECBA75°C45°BNM第2題圖第3題圖D03如圖，已知五邊形ABCDE中， ABCAED90°，ABCDAEBCDE2，則五邊形ABCDE的面積為_(kāi)演練鞏固·反饋提高01（海南）

12、已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則度數(shù)是（ ）A72°B60°C58°D50°第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/acca50°b72°58°02如圖，ACBA/C/B/， BCB/30°，則ACA/的度數(shù)是（ ）A20°B30°C35°D40°03（牡丹江）尺規(guī)作圖作AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA、OB于C、D，再分別以點(diǎn)C、D為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線OP，由作法得OCPODP的根據(jù)是（ ）ASASBASACAAS

13、DSSS04（江西）如圖，已知ABAD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定ABCADC的是（ ）A. CBCD B.BACDACC. BCADCA D.BD90°E21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M05有兩塊不同大小的等腰直角三角板ABC和BDE，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起，如圖，當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí)，下面的結(jié)論不正確的是（ ）A. ABECBD B. ABECBDC. ABCEBD45° D. ACBE06如圖，ABC和共頂點(diǎn)A，ABAE，12，BE. BC交AD于M，DE交AC于N，小華說(shuō)：“一定有ABCA

14、ED.”小明說(shuō)：“ABMAEN.”那么（ ）A. 小華、小明都對(duì) B. 小華、小明都不對(duì)C. 小華對(duì)、小明不對(duì) D.小華不對(duì)、小明對(duì)07如圖，已知ACEC, BCCD, ABED,如果BCA119°，ACD98°,那么ECA的度數(shù)是_.08如圖，ABCADE，BC延長(zhǎng)線交DE于F，B25°,ACB105°，DAC10°，則DFB的度數(shù)為_(kāi).09如圖，在RtABC中，C90°, DEAB于D, BCBD. AC3，那么AEDE_第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10如圖，BAAC, CDAB.

15、 BCDE，且BCDE，若AB2, CD6，則AE_.11如圖, ABCD, ABCD. BC12cm，同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行時(shí)間t為多少時(shí)，APBQDC. DAC.QP.BDBACEF12如圖, ABC中，BCA90°，ACBC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CFAE，垂足為F，過(guò)B作BDBC交CF的延長(zhǎng)線于D.求證：AECD；若AC12cm, 求BD的長(zhǎng). AEBFDC13（吉林）如圖，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，AD等于AE，AB平分DAE交DE于點(diǎn)F, 請(qǐng)你寫(xiě)出圖中三對(duì)全等三角形，并選取其中一

16、對(duì)加以證明.14如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上，從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDEClA找出圖中的全等三角形，并加以證明；若DEa，求梯形DABE的面積.（溫馨提示：補(bǔ)形法）AEFBDC15如圖，ACBC, ADBD, ADBC，CEAB，DFAB，垂足分別是E、F.求證：CEDF.16我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會(huì)全等？閱讀與證明：對(duì)于這兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋粚?duì)于這兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證明它們?nèi)龋ㄗC明略）；對(duì)于這兩個(gè)三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下

17、；已知ABC、A1B1C1均為銳角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1.求證：ABCA1B1C1.（請(qǐng)你將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整）ABCDA1B1C1D1歸納與敘述：由可得一個(gè)正確結(jié)論，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)結(jié)論.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01如圖，在ABC中，ABAC，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AEAF，BF、CE相交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則圖中全等三角形有（ ）A4對(duì)B5對(duì)C6對(duì)D7對(duì)F第6題圖21ABCENM321ADEBCFADECOAEOBFCD第1題圖B第2題圖第3題圖02如圖，在ABC中，ABAC，OCOD，下列結(jié)論中：AB DECE，連接DE, 則OE平分AOB

18、，正確的是（ ）ABCD03如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且ACCE , 1=2=3, 則DE的長(zhǎng)等于（）ADC B. BC C. AB D.AEAC04下面有四個(gè)命題，其中真命題是（ ）A兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等B兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C. 有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D. 兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等05在ABC中，高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BHAC，則ABC_.06如圖，EB交AC于點(diǎn)M, 交FC于點(diǎn)D, AB交FC于點(diǎn)N，EF90°，BC, AEAF. 給出下列結(jié)論：12；BECF; ACNABM

19、; CDDB，其中正確的結(jié)論有_.（填序號(hào)）07如圖，AD為在ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F,且有BFAC，F(xiàn)DCD.求證：BEAC；AEFCDB若把條件“BFAC”和結(jié)論“BEAC”互換，這個(gè)命題成立嗎？證明你的判定.08如圖，D為在ABC的邊BC上一點(diǎn)，且CDAB，BDABAD，AE是ABD的中線.求證：AC2AE. ABEDC09如圖，在凸四邊形ABCD中，E為ACD內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足ACAD，ABAE, BAEBCE90°, BACEAD.求證：CED90°. AEBDC10（沈陽(yáng)）將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放，其中ACBDEB90

20、76;，AD30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.求證：AFEFDE;若將圖中DBE繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且0°60°，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出（1）中結(jié)論是否仍然成立；若將圖中DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且60°180°,其他條件不變，如圖你認(rèn)為（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明AFDFCBEDACBEACB圖圖圖理由。ABCDE11（嵊州市高中提前招生考試）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：在ABC中，AB5，

21、AC13, 求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DEAD，再連接BE，把AB、AC、2AD集中在ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2AE8，則1AD4.感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮中線加倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.ABEFCD問(wèn)題解決：受到的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖，在ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DEDF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.求證：BECFEF；AEBFCD問(wèn)題拓展：如圖，在四邊形ABDC中，BC180°，DBDC，BD

22、C=120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 12（北京）如圖，已知ABC.請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E（BC的中點(diǎn)除外），連接AD、AE，寫(xiě)出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；CBA請(qǐng)你根據(jù)使成立的相應(yīng)條件，證明：ABACADAE.ADEGCHB13如圖，ABAD，ACAE，BADCAE180°. AHAH于H，HA的延長(zhǎng)線交DE于G. 求證：GDGE.14已知，四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120

23、76;，MBN60°, MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F.當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，如圖1，易證：AECFEF；（不需證明）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，如圖2和圖3中這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立? 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.DABCFNEMD圖1ABCFNEMDABCFNEM圖2圖3第02講 角平分線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)·方法·破譯1角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線

24、上.3有角平分線時(shí)常常通過(guò)下列幾種情況構(gòu)造全等三角形. 經(jīng)典·考題·賞析【例】如圖，已知OD平分AOB，在OA、OB邊上截取OAOB，PMBD，PNAD.求證：PMPN【解法指導(dǎo)】由于PMBD，PNAD.欲證PMPN只需34，證34，只需3和4所在的OBD與OAD全等即可.證明：OD平分AOB 12 在OBD與OAD中， OBDOAD 34 PMBD，PNAD 所以PMPN【變式題組】01如圖，CP、BP分別平分ABC的外角BCM、CBN.求證：點(diǎn)P在BAC的平分線上.02如圖，BD平分ABC，ABBC，點(diǎn)P是BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PMAD，PNCD.求證：PMPN【例】（天

25、津競(jìng)賽題）如圖，已知四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于點(diǎn)E，且AE(ABAD)，如果D120°，求B的度數(shù)【解法指導(dǎo)】由已知12，CEAB，聯(lián)想到可作CFAD于F，得CECF，AFAE，又由AE(ABAD)得DFEB，于是可證CFDCEB，則BCDF60°.或者在AE上截取AMAD從而構(gòu)造全等三角形. 解：過(guò)點(diǎn)C作CFAD于點(diǎn)F.AC平分BAD，CEAB，點(diǎn)C是AC上一點(diǎn)，CECF 在RtCFA和RtCEA中， RtACFRtACE AFAE 又AE(AEBEAFDF)，2AEAEAFBEDF，BEDF CFAD，CEAB，F(xiàn)CEB90° 在CEB和CF

26、D中，CEBCFD BCDF 又ADC120°，CDF60°，即B60°.【變式題組】01如圖，在ABC中，CD平分ACB，AC5，BC3.求 02(河北競(jìng)賽)在四邊形ABCD中，已知ABa，ADb.且BCDC，對(duì)角線AC平分BAD，問(wèn)a與b的大小符合什么條件時(shí)，有BD180°，請(qǐng)畫(huà)圖并證明你的結(jié)論. 【例】如圖，在ABC中，BAC90°,ABAC，BE平分ABC，CEBE.求證：CEBD【解法指導(dǎo)】由于BE平分ABC，因而可以考慮過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線或延長(zhǎng)CE從而構(gòu)造全等三角形.證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于F，12，BEBE，BEFBECBE

27、FBEC(ASA) CEEF，CECF 1F3F90°，13在ABD和ACF中，ABDACF BDCF CEBD【變式題組】01如圖，已知ACBD，EA、EB分別平分CAB、DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：ABACBD. 02如圖，在ABC中，B60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F.請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；求證：AECDAC.演練鞏固·反饋提高01如圖，在RtABC中，C90°，BD平分ABC交AC于D，若CDn，ABm，則ABD的面積是（ ）AmnBmnC mnD2 mn02如圖，已知ABAC，BECE，

28、下面四個(gè)結(jié)論：BPCP；ADBC；AE平分BAC；PBCPCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)A1B2C3D403如圖，在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PRAB，PSAC，垂足分別是R、S.若AQPQ，PRPS，下列結(jié)論：ASAR；PQAR；BRPCSP.其中正確的是（ ）ABCD04如圖，ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論中：AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；ADBC且BDCD；BDECDF.其中正確的是（ ）ABCD05如圖，在RtABC中，ACB90°，CAB30°，

29、ACB的平分線與ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，則AEB的度數(shù)為（ ）A50°B45°C40°D35°06如圖，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，且PDPEPF，給出下列結(jié)論：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；點(diǎn)P是ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是（ ）ABCD07如圖，點(diǎn)P是ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（ ）A點(diǎn)P到ABC三邊的距離相等B點(diǎn)P在ABC的平分線上CP與B的關(guān)系是：PB90°DP與B的關(guān)系是：BP08如圖，BD平分ABC，CD平分ACE，BD與CD相交于D.給出下列

30、結(jié)論：點(diǎn)D到AB、AC的距離相等；BAC2BDC；DADC；DB平分ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)09如圖，ABC中，C90°AD是ABC的角平分線，DEAB于E，下列結(jié)論中：AD平分CDE；BACBDE； DE平分ADB；ABACBE.其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）A3個(gè)B2個(gè)C1個(gè)D4個(gè)10如圖，已知BQ是ABC的內(nèi)角平分線，CQ是ACB的外角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是_11如圖，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，且DBDC.求證：BECF12如圖，在ABC中，

31、AD是BAC的平分線，DEAB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F.求證：ADEF.培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01如圖，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有（ ）A一處B二處C三處D四處 02已知RtABC中，C90°，AD平分BAC交BC于D，若BC32，且BD:CD9:7，則D到AB邊的距離為（ ）A18B16C14D12 03如圖，ABC中，C90°，AD是ABC的平分線，有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP的長(zhǎng)為x(cm)，那么x的范圍是_04如圖，已知ABCD，PEA

32、B，PFBD，PGCD，垂足分別為E、F、G，且PFPGPE，則BPD_05如圖，已知ABCD，O為CAB、ACD的平分線的交點(diǎn)，OEAC，且OE2，則兩平行線AB、CD間的距離等于_06如圖，AD平分BAC，EFAD，垂足為P，EF的延長(zhǎng)線于BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.求證：G(ACBB)07如圖,在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:ABACDBDC08如圖，在ABC中，BAC60°，ACB40°，P、Q分別在BC、AC上，并且AP、BQ分別為BAC、ABC的角平分線上.求證：BQAQABBP第3講 軸對(duì)稱(chēng)及軸對(duì)稱(chēng)變換考點(diǎn)·方法&#

33、183;破譯1軸對(duì)稱(chēng)及其性質(zhì)把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫對(duì)稱(chēng)軸.軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì)：關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形；對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.2線段垂直平分線線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)系：位置關(guān)系垂直；數(shù)量關(guān)系平分.性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.判定定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.3當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高

34、（或垂線）、或求幾條折線段的最小值等情況時(shí)，通常考慮作軸對(duì)稱(chēng)變換，以“補(bǔ)齊”圖形，集中條件.經(jīng)典·考題·賞析【例】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對(duì)折兩次，然后在上面打3個(gè)洞，則紙片展開(kāi)后是（ ）【解法指導(dǎo)】對(duì)折問(wèn)題即是軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，折痕就是對(duì)稱(chēng)軸.故選D.【變式題組】01將正方形紙片兩次對(duì)折，并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平，得到的圖形是（ ）02（荊州）如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上，點(diǎn)D落在點(diǎn)H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點(diǎn)E上，點(diǎn)C落在點(diǎn)F上，疊完后，剪一個(gè)直徑在BC上的半圓，再展開(kāi)，則展開(kāi)后的圖形為（ ）【例2】（襄樊）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正

35、方形網(wǎng)格中，將ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到ABC，則與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A（0，1） B（1，1） C（2，1） D（1，1）【解法指導(dǎo)】在ABC中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），將ABC向右平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得到ABC，由點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律可得B（12，1），即B（1，1）.由關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律可得點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1），故應(yīng)選D.【變式題組】01若點(diǎn)P（2，3）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則a、b的值分別是（ ）A2，3 B2，3 C2，3 D2，302在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（3，2），點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R，則點(diǎn)R

36、的坐標(biāo)是_.03（荊州）已知點(diǎn)P（a1，2a1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍為_(kāi).【例3】如圖，將一個(gè)直角三角形紙片ABC（ACB90°），沿線段CD折疊，使點(diǎn)B落在B1處，若ACB170°，則ACD（ ）A30° B20° C15° D10°【解法指導(dǎo)】由折疊知BCDB1CD.設(shè)ACDx，則BCDB1CDACB1ACD70°x.又ACDBCDACB，即x（70°x）90°，故x10°.故選D.【變式題組】01（東營(yíng)）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D、C的位

37、置.若EFB65°，則AED等于（ ）A70° B65° C50° D25°02如圖，ABC中，A30°，以BE為邊，將此三角形對(duì)折，其次，又以BA為邊，再一次對(duì)折，C點(diǎn)落在BE上，此時(shí)CDB82°，則原三角形中B_.03（江蘇）觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（ABAC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF（如圖）.小明認(rèn)為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.實(shí)踐與運(yùn)用：將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，

38、使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）.求圖中的大小.【例4】如圖，在ABC中，AD為BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：BCAF【解法指導(dǎo)】EF是AD的中垂線，則可得AEFDEF，EAFEDF從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉(zhuǎn)化即可證明：EF是AD的中垂線，AEDE，AEFDEF，EFEF，AEFDEF，243，3B1，24B1，12，B4【變式題組】01如圖，點(diǎn)D在ABC的BC邊上，且BCBDAD，則點(diǎn)D在_的垂直平分線上02如圖，ABC中，AB

39、C90°，C15°，DEAC于E，且AEEC，若AB3cm，則DC_cm03如圖，ABC中，BAC126°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，則EAG_04.ABC中，ABAC，AB邊的垂直平分線交AC于F，若AB12cm，BCF的周長(zhǎng)為20cm，則ABC的周長(zhǎng)是_cm【例5】（眉山）如圖，在3×3的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)ABC和DEF，且ABC和DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫(huà)出所有這樣的DEF【解法指導(dǎo)】在正方形格點(diǎn)圖中，如果已知條件中沒(méi)有給對(duì)稱(chēng)軸，在找對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對(duì)稱(chēng)軸若以圖案居

40、中的水平直線為對(duì)稱(chēng)軸，所作的DEF如圖所示；若以圖案居中的豎直直線為對(duì)稱(chēng)軸，所作的DEF如圖所示；若以圖案居中的斜線為對(duì)稱(chēng)軸，所作的DEF如圖所示【變式題組】01（泰州）如圖，在2×2的正方形格點(diǎn)圖中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的ABC，請(qǐng)你找出格點(diǎn)圖中所有與ABC成軸對(duì)稱(chēng)且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，這樣的三角形共有_個(gè)02（紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個(gè) 全等的三角形，將其中若干個(gè)三角形涂黑，且滿(mǎn)足下列條件：涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；涂黑部分成軸對(duì)稱(chēng)圖形如圖乙是一種涂法，請(qǐng)?jiān)趫D13中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法（在所設(shè)計(jì)的圖案中，若涂黑部分全等，則認(rèn)為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙）【

41、例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問(wèn)在何處飲水，所求路程最短？【解法指導(dǎo)】所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為CD上取一點(diǎn)M，使其AMBM為最??；本題利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)進(jìn)行解答解:先作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AB交CD于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為所求，下面證明此時(shí)的AMBM最小證明：在CD上任取與M不重合的點(diǎn)M，AA關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，CD為線段AA的中垂線，AMAM，MAM,在AMB中，有ABAMBM，AMBMAMBM，AMBMAMBM，即AMBM最小【變式題組】01（山西）設(shè)直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點(diǎn)M處

42、修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案，圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（ ）02若點(diǎn)A、B是銳角MON內(nèi)兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D，使四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，寫(xiě)出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn)演練鞏固·反饋提高01（黃岡）如圖，ABC與ABC關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，且A78°，C48°，則B的度數(shù)是（ ）A48° B54° C74° D78°02（泰州）如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，折痕為AB，再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的

43、等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開(kāi)鋪平后得到的平面圖形一定是（ ）A正三角形 B正方形 C正五邊形 D正六邊形03圖1是四邊形紙片ABCD，其中B120°，D50°，若將其右下角向內(nèi)折出PCR，恰使CPAB，RCAD，如圖2所示，則C（ ）A80° B85° C95° D110°04如圖，陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng)的圖形又是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)的圖形，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，3），則點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是（ ）AM（1，3），N（1，3） BM（1，3），N（1，3） CM（1，3），N（1，3） DM（1，3），N（1，3

44、）05點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，5），則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A（3，5） B（5，3） C（3，5） D（5，3）06已知M（1a，2a2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在第二象限，則a的取值范圍是（ ）A1a1 B1a1 Ca1 Da107（杭州）如圖，鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是_08（貴陽(yáng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)cm2.09已知點(diǎn)A（2a3b，2）和B（8，3a2b）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則ab_.10如圖，在ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且ABO20°，ABC45°，求BAC和ACB的度數(shù)11如圖，C、D、E、

45、F是一個(gè)長(zhǎng)方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請(qǐng)畫(huà)出A球經(jīng)過(guò)的路線，并寫(xiě)出作法12如圖，P為ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，PMBC于M，PNBA的延長(zhǎng)線于N求證：ANMC13（荊州）有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個(gè)正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個(gè) ，且使每個(gè)正方形圖案都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，在網(wǎng)格中畫(huà)出你拼成的圖（畫(huà)出的兩個(gè)圖案不能全等）培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)01（浙江競(jìng)賽試題）如圖，直線l1與直線l2相交，60°，點(diǎn)P在內(nèi)（不在l1l2上）小明用下面的方法作P的對(duì)稱(chēng)

46、點(diǎn)：先以l1為對(duì)稱(chēng)軸作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1,再以l2為對(duì)稱(chēng)軸作P1關(guān)于l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2，然后再以l1為對(duì)稱(chēng)軸作P2關(guān)于l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P3，以l2為對(duì)稱(chēng)軸作P3關(guān)于l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P4，如此繼續(xù)，得到一系列P1、P2、P3Pn與P重合，則n的最小值是（ ）A5 B6 C7 D802在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)M（3，0），且平行于y軸如果ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，0），B（1，0），C（1，2），ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖形A1B1C1，A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圖形是A2B2C2，寫(xiě)出A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是（a，0），其中a0，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P2，求PP2的長(zhǎng)03（荊州）某住宅小區(qū)擬栽種12棵風(fēng)景樹(shù)，若想栽成6行，每行4棵，且6行樹(shù)所處位置連成線后能組成精美的對(duì)稱(chēng)圖案，請(qǐng)你仿照舉例在下面方框中再設(shè)計(jì)兩種不同的栽樹(shù)方案04（宜昌）已知：如圖，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱(chēng)，PB分別與線段CF、AF相交于P、M求證：ABCD；若BAC2MPC，請(qǐng)你判斷F與MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由05在ABC中，BAC90°，點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A，點(diǎn)B關(guān)于AC邊