自動控制__控制系統(tǒng)應(yīng)用設(shè)計及仿真實例

1、第第8章章 控制系統(tǒng)應(yīng)用設(shè)計與仿真實例控制系統(tǒng)應(yīng)用設(shè)計與仿真實例 8.1 汽車運動控制系統(tǒng)的設(shè)計汽車運動控制系統(tǒng)的設(shè)計 8.2 蹺蹺板控制系統(tǒng)的設(shè)計蹺蹺板控制系統(tǒng)的設(shè)計8.3 直流（直流（DC）電機調(diào)速系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計）電機調(diào)速系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計8.4 電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的根軌跡設(shè)計電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的根軌跡設(shè)計8.1 汽車運動控制系統(tǒng)的設(shè)計汽車運動控制系統(tǒng)的設(shè)計 8.1.1 問題提出 考慮圖8.1所示的汽車運動控制系統(tǒng)。 如果忽略車輪的轉(zhuǎn)動慣量, 并且假定汽車受到的摩擦阻力大小與運動速度成正比, 方向與汽車運動方向相反, 則該系統(tǒng)可以簡化成簡單的質(zhì)量阻尼系統(tǒng)。 圖 8.1 其中,

2、u為汽車的驅(qū)動力。 假定m =1000 kg, b=50 Ns/m, u = 500 N。 mbuy(8.1)根據(jù)牛頓運動定律, 該系統(tǒng)的模型表示為 8.1.2 模型描述 為了得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù), 對式（8.1）進行Laplace變換。 假定系統(tǒng)的初始條件為零, 則動態(tài)系統(tǒng)的Laplace變換式為 msV(s)+bV(s)=U(s) Y(s)=V(s) (8.2) 既然系統(tǒng)輸出是汽車的運動速度, 用Y(s)替代V(s), 得到 msY(s)+bY(s)=U(s) (8.3) 相應(yīng)的程序代碼為 m=1000; b=50; u=500; num=1; den=m b; 我們也可以建立方程（8.1）

3、的狀態(tài)方程模型, 相應(yīng)的程序代碼為 m = 1000;b = 50;u = 500; A = -b/m;B = 1/m;C = 1;D = 0; 該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ( )1( )Y sU smsb(8.4) 圖 8.2 汽車運動控制系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應(yīng)曲線 8.1.3 PID控制器設(shè)計 PID控制器的傳遞函數(shù)為2IDPIpDKK sK sKKK sss(8.5) 其中， KP、 KI和KD分別稱為比例系數(shù)、 積分系數(shù)和微分系數(shù)。 首先我們來看看比例控制器的設(shè)計。 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為( )( )()PPY sKU smsbK(8.6) 比例控制器可以減小系統(tǒng)的上升時間。 現(xiàn)在假定KP=100,

4、 我們來觀察系統(tǒng)的響應(yīng)： kp=100;m=1000;b=50;u=10; num=kp;den=m b+kp; t=0:0.1:20;step(u*num, den, t) axis(0 20 0 10) 得到圖8.3所示的系統(tǒng)階躍響應(yīng)。 圖 8.3 比例控制器作用下的汽車階躍響應(yīng) 從圖8.3中可以看到, 所設(shè)計的比例控制器不滿足穩(wěn)態(tài)誤差和上升時間的設(shè)計要求。 當然, 也可以通過提高控制器的比例增益系數(shù)來改善系統(tǒng)的輸出。 下面將KP提高到10 000, 重新計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng), 如圖8.4所示。 圖 8.4 KP=10 000時的系統(tǒng)階躍響應(yīng) 這時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差接近零并且系統(tǒng)上升時間也降到0

5、.5 s以下, 雖然滿足了系統(tǒng)的性能要求, 但實際上上述控制過程是不現(xiàn)實的, 因為一個實際的汽車控制系統(tǒng)不可能在0.5 s以內(nèi)將速度從0加速到10 m/s。 解決上述問題的方法是改用比例積分控制器。 比例積分控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為2( )( )()PIPIY sK sKU smsbKsK(8.7) 在控制器中增加積分環(huán)節(jié)的目的是減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 假設(shè)KI=1, KP=600, 相應(yīng)的程序代碼為 kp = 600; ki = 1; m=1000; b=50; u=10; num = kp ki; den = m b+kp ki; t=0: 0.1 :20; step(u*num, den,

6、 t) axis(0 20 0 10) 如果選擇直接從開環(huán)傳遞函數(shù)計算系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù), 則可以輸入 kp = 600; ki = 1; m = 1000;b = 50; u = 10; num = 1; den = m b; num1 = kp ki; den1 = 1 0; num2 = conv(num, num1); den2 = conv(den, den1); numc, denc = cloop(num2, den2, -1); t=0:0.1:20; step(u*numc, denc, t) axis(0 20 0 10) 運行上述程序, 可以得到如圖8.4所示的系統(tǒng)階躍響

7、應(yīng)曲線。 調(diào)節(jié)控制器的比例和積分系數(shù), 以滿足系統(tǒng)的性能要求。 當調(diào)節(jié)積分增益的大小時, 最好將比例增益設(shè)置成較小的值, 因為過大的比例增益又可能會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 當KI=40, KP=800時, 得到的階躍響應(yīng)曲線如圖8.5所示。 可以看出, 這時的系統(tǒng)已經(jīng)滿足系統(tǒng)設(shè)計要求。 圖 8.5 KI=40, KP=800時比例積分 控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 在這個例子中, 控制器沒有包含微分項, 然而對于有些實際系統(tǒng), 往往需要設(shè)計完整的PID控制器。 PID控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 22( )( )( )()()nPIDPIY sK sKsKU smKsbKsK(8.8) 假設(shè)KI=1, KP=

8、1, KD=1, 輸入下面的程序 kp=1; ki=1; kd=1; m=1000; b=50; u=10; num = kd kp ki; den=m+kd b+kp ki; t=0:0.1:20; step(u*num, den, t) axis(0 20 0 10) 8.1.4 根軌跡設(shè)計方法 前面我們針對系統(tǒng)的設(shè)計要求利用試湊的方法設(shè)計了PID控制器。 然而這種方法需要設(shè)計人員對PID控制系統(tǒng)的性能變化非常熟悉, 并且具備參數(shù)調(diào)節(jié)的豐富經(jīng)驗, 該方法多用于控制系統(tǒng)簡單的現(xiàn)場設(shè)備調(diào)試中。 設(shè)計SISO系統(tǒng)控制器更為有效的方法是采用根軌跡方法來確定所需要的控制器參數(shù)。 下面首先利用根軌跡方

9、法重新設(shè)計該系統(tǒng)的比例控制器。 比例控制器的閉環(huán)傳遞函數(shù)見式（8.6）。 根據(jù)經(jīng)典控制理論, SISO系統(tǒng)的性能指標之間的關(guān)系滿足22()1.8,1()PnPrInMInMT(8.9) 其中,n、MP和Tr分別為系統(tǒng)的自然頻率、阻尼系數(shù)、最大超調(diào)量和上升時間。根據(jù)要求的上升時間小于5秒,可以知道系統(tǒng)的自然頻率應(yīng)大于0.36。而10%的最大超調(diào)量使得系統(tǒng)的阻尼系數(shù)應(yīng)大于0.6。根據(jù)上面的分析,輸入相應(yīng)的程序如下： holdoff; m=1000;b=50;u=10;numo=1;deno=mb; figure hold; axis(-0.60-0.60.6); rlocus(numo,deno)

10、,sgrid(0.6,0.36)Kp,poles=rlocfind(numo,deno)figurehold;numc=Kp;denc=m(b+Kp);t=0:0.1:20;step(u*numc,denc,t),axis(020010) 運行上述程序,得到的系統(tǒng)根軌跡圖如圖8.6所示。兩條虛直線代表的是阻尼系數(shù)為0.6時的極點位置。虛直線內(nèi)部的區(qū)域表示阻尼系數(shù)大于0.6；而虛直線外部的區(qū)域表示阻尼系數(shù)小于0.6。圖中的半橢圓代表0.36的自然頻率。在橢圓內(nèi)部,自然頻率小于0.36；而在橢圓外部,系統(tǒng)的自然頻率則大于0.36。 圖8.6 系統(tǒng)的根軌跡圖 在程序執(zhí)行過程中可以發(fā)現(xiàn)MATLAB提示

11、用戶在根軌跡圖中選擇需要的閉環(huán)極點位置?；谝陨戏治?我們在兩條虛直線之間（滿足阻尼系數(shù)大于0.6）和半橢圓的外部（滿足自然頻率大于0.36）區(qū)域選擇閉環(huán)極點，得到的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)如圖8.7所示（根據(jù)閉環(huán)極點所選位置不同而有所變化）。 仿真曲線顯示,雖然系統(tǒng)的最大超調(diào)量和上升時間滿足系統(tǒng)性能指標的設(shè)計要求,但是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差超過了系統(tǒng)的設(shè)計要求。因此,需要改變控制器的結(jié)構(gòu)。 圖8.7 根據(jù)根軌跡圖設(shè)計得到的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,加入相位滯后控制器。它的傳遞函數(shù)為 00( )sZG ssP這樣，整個系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)就變成02000( )( )()()PPPPY sK

12、sK ZU smsbmPKsbPK Z 滯后控制器的零極點應(yīng)設(shè)計成緊靠在一起,這樣閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將減小Z0/P0倍。根據(jù)上面的分析,將Z0設(shè)計成-0.3,而P0等于-0.03。相應(yīng)的程序代碼如下： holdoff; m=1000;b=50;u=10;Zo=0.3;Po=0.03; numo=1Zo;deno=mb+m*Pob*Po; figurehold;axis(-0.60-0.40.4),rlocus(numo,deno),sgrid(0.6,0.36)Kp,poles=rlocfind(numo,deno),figure,t=0:0.1:20;numc=KpKp*Zo;denc=m

13、b + m * P o + K p b * P o + K p * Z o ; a x i s(020012),step(u*numc,denc,t) 運行該程序,得到如圖8.8所示的根軌跡圖。圖8.8 加入滯后控制器后的系統(tǒng)根軌跡圖8.2 蹺蹺板控制系統(tǒng)的設(shè)計蹺蹺板控制系統(tǒng)的設(shè)計 8.2.1 系統(tǒng)模型 蹺蹺板系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖8.10所示,它主要由放置在橫梁上的小球和驅(qū)動轉(zhuǎn)盤組成。隨著轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動,橫梁的傾斜角度也隨之變化。小球在重力的作用下將沿橫梁自由滾動?？刂频哪康氖鞘剐∏蚩梢酝Ａ粼跈M梁的任意位置上。圖8.9 加入滯后控制器后的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線圖8.10 蹺蹺板系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖 忽略橫梁與小球

14、之間的滾動摩擦,系統(tǒng)各部分符號的含義和取值分別為 M：小球的質(zhì)量(0.11kg) R：小球的半徑(0.015m) d：杠桿臂的偏移(0.03m) g：重力加速度(9.8m/s2) L：橫梁的長度(1.0m) J：小球的瞬時慣量(9.99e-6kgm2) R：小球的位置坐標 ：橫梁的傾斜角度 ：侍服齒輪的角度 系統(tǒng)設(shè)計要求： 穩(wěn)定時間小于3秒。 超調(diào)量不超過5%。.22()sin( )0Jm rmgmr rR(8.10)將上式在=0處線性化,得到小球的線性化運動方程.2()Jm rmgR (8.11) 橫梁的傾斜角度與侍服齒輪的角度具有如下的近似線性關(guān)系dL(8.12) 將上式代入式（8.11）

15、得到 .2()Jdm rmgRL (8.13) 1）傳遞函數(shù) 假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零,將上式進行Laplace變換,得到下面的方程22() ( )( )Jdm R s smgsRL (8.14)從而得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述 22( )1( )()R smgdJssLmR (8.15) 注意到該系統(tǒng)屬于雙積分器系統(tǒng),屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。下面的程序用于在MATLAB環(huán)境中創(chuàng)建該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型： m=0.111;R=0.015;g=-9.8;L=1.0;d=0.03;J=9.99e-6; K=(m*g*d)/(L*(J/R2+m);%傳遞函數(shù)的增益 num=-K;den=100; printsys(

16、num,den) 2）狀態(tài)空間描述 該系統(tǒng)的線性化模型也可以使用狀態(tài)空間模型進行描述。將小球的位置坐標（r）和小球運動的速度（rdot）作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。于是,系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以寫成200100()rrmgdJrrLmR 在這個例子中,將通過控制的二階導數(shù)而不是侍服齒輪的角度來達到控制小球位置的目的。從而得到如下的系統(tǒng)方程：.2.0100000()00000000rmgrJmR .1000rry (8.16) 在這個例子中,沒有用到侍服齒輪和杠桿臂,而是通過安裝在橫梁中心的電機對橫梁施加適當?shù)牧?來控制小球的位置。相對于系統(tǒng)的原始模型,我們將該模型稱為力矩控制模型。下面的程序在MATLAB

17、中創(chuàng)建式（8.16）所示的狀態(tài)方程模型： m=0.111;R=0.015;g=-9.8;J=9.99e-6;H=-m*g/(J/(R2)+m); A=0 1 0 0 0 0 H 0 0 0 0 1 0 0 0 0; B=0;0;0;1;C=1000;D=0; 8.2.2 全狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計 下面我們?yōu)橄到y(tǒng)設(shè)計全狀態(tài)反饋控制器?？刂葡到y(tǒng)示意圖如圖8.11所示。全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為(sI-(A-BK),在本例中,A和B*K都是44矩陣,因此系統(tǒng)應(yīng)該具有4個極點。設(shè)計全狀態(tài)反饋控制器的目標就是將這些極點移動到期望的位置。根據(jù)系統(tǒng)的設(shè)計要求,計算出期望的主導極點位置位于-2+2i和

18、-2-2i處,其它的極點應(yīng)該遠離主導極點,我們假設(shè)它們分別位于-20和-80處。隨后通過MATLAB的place命令可以計算出控制器的增益矩陣。以下是相應(yīng)的程序代碼： 圖 8.11 p1=-2+2i;p2=-2-2i;p3=-20;p4=-80; K=place(A,B,p1,p2,p3,p4) 得到的計算結(jié)果為 place:ndigits=15 K= 1.0e+03* 1.8286 1.0286 2.0080 0.1040 將計算得到的增益矩陣 K代入狀態(tài)方程,最終的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為()xABK xBuYCx 接下來可以仿真閉環(huán)系統(tǒng)在0.25m輸入信號下的階躍響應(yīng)。在M文件后加入下面的指令

19、： T=0:0.01:5; U=0.25*ones(size(T); Y,X=lsim(A-B*K,B,C,D,U,T); plot(T,Y)運行M文件,得到的系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖8.12所示。 圖8.12 全狀態(tài)反饋控制器作用下的階躍響應(yīng)曲線 從圖中可以看出,系統(tǒng)的超調(diào)量和穩(wěn)定時間均已滿足要求,但系統(tǒng)具有較大的穩(wěn)態(tài)誤差。如果想進一步減小系統(tǒng)的超調(diào)量,可以將主導極點的虛部設(shè)置成比實部更小。如果要減小系統(tǒng)的穩(wěn)定時間,可以進一步將主導極點向左半平面移動。讀者可以改變系統(tǒng)的期望極點位置,觀察系統(tǒng)主導極點對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。 下面我們采取措施來進一步減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。通常的方法是將系統(tǒng)的輸出反饋到輸入

20、端,利用它與參考輸入的誤差來驅(qū)動控制器。由于這里采用的是狀態(tài)反饋控制器,因此需要計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的狀態(tài)值,并乘以選擇的增益值K ,而系統(tǒng)新的參考輸入可以通過乘以某個增益 來實現(xiàn)。圖8.13反映了這種關(guān)系。N圖8.13 參考輸入下的狀態(tài)反饋控制框圖 增益矩陣 通過自定義函數(shù)rscale計算得到。將下面的程序代碼加入到前面的M文件中： Nbar=rscale(A,B,C,D,K)T=0:0.01:5; U=0.25*ones(size(T); Y,X=lsim(A-B*K,B*Nbar,C,D,U,T); plot(T,Y)Nrscale.m文件的源代碼如下：functionNbar=rscale(

21、A,B,C,D,K)s=size(A,1);Z=zeros(1,s)1;N=inv(A,B;C,D)*Z;Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K*Nx;圖8.14 改進后的控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 8.2.3 數(shù)字控制器的設(shè)計和實現(xiàn) 隨著計算機的發(fā)展,計算機在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用越來越廣泛。許多控制算法都是利用計算機實現(xiàn)的。由于計算機處理的是數(shù)字信號,因此需要為計算機設(shè)計數(shù)字控制器。這一節(jié)我們討論圖8.10所示的蹺蹺板系統(tǒng)的數(shù)字PID控制器的設(shè)計步驟。與連續(xù)PID控制器類似,數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為221()(2)PIDPDDPIDzKKKzKKzKKKKzzz(8.17) 設(shè)計數(shù)字

22、控制器的第一步是將連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成離散傳遞函數(shù)形式。我們可以使用MATLAB中的c2dm命令實現(xiàn)。該命令可以指定離散系統(tǒng)的采樣時間和離散方法。本例中我們采用零階保持的離散方法（zoh）,同時假定閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻率在1rad/s附近,因此將采樣時間設(shè)置為1/50s。以下是具體的程序： m=0.111;R=0.015;g=-9.8;L=1.0;d=0.03;J=9.99e-6; K=(m*g*d)/(L*(J/R2+m); num=-K;den=100;Ts=1/50; numDz,denDz=c2dm(num,den,Ts,zoh) %將連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成離散系統(tǒng) 得到的離散系統(tǒng)傳遞函數(shù)為2(

23、 )0.0001(0.420.42)( )21R zzzzz 下面我們將觀察系統(tǒng)在0.25m輸入信號下的階躍響應(yīng),為此，在M文件中加入下面的程序代碼： numDz=0.0001*0.420.42;denDz=1-21; x=dstep(0.25*numDz,denDz,251); t=0:0.02:5;stairs(t,x) 得到的系統(tǒng)響應(yīng)如圖8.15所示。仿真顯示該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。圖8.15 離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 下面為系統(tǒng)設(shè)計比例-微分控制器。設(shè)置控制器參數(shù)Kp=100,Kd=10。將下面的代碼加入到M文件中,觀測這時的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)（如圖8.16所示）。 numDz=0.0001*0.

24、420.42;denDz=1-21; Kp=1000;Kd=10; numpd=Kp+Kd-(Kp+2*Kd)Kd;denpd=110;numDnew=conv(numDz,numpd);denDnew=conv(denDz,denpd ) ; n u m D n e w C , d e n D n e w C =cloop(numDnew,denDnew); %得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖8.16 數(shù)字PI控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 正如圖8.16中顯示的那樣,所設(shè)計的數(shù)字控制系統(tǒng)滿足所有的設(shè)計要求。注意，本例的控制器中沒有使用積分環(huán)節(jié)。實際上對于一個控制系統(tǒng)而言,即使在同樣的設(shè)計要求下,其控制方案也很

25、可能是多種多樣的。讀者不妨按照上面的步驟重新設(shè)計該系統(tǒng)的PID數(shù)字控制器,并通過調(diào)節(jié)控制器的參數(shù)觀察數(shù)字PID控制器不同控制參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。8.3 直流（直流（DC）電機調(diào)速系統(tǒng)的）電機調(diào)速系統(tǒng)的計算機輔助設(shè)計計算機輔助設(shè)計 8.3.1 問題描述 這一節(jié)將通過一個常見的例子直流電機的調(diào)速控制問題來演示如何使用SISODesignTool設(shè)計SISOLTI控制系統(tǒng)。讀者學習完這一節(jié)后,可以發(fā)現(xiàn)采用LTI系統(tǒng)的輔助設(shè)計工具將給我們的系統(tǒng)設(shè)計帶來很大的方便。 典型的DC電機結(jié)構(gòu)示意圖如圖8.17所示?？刂葡到y(tǒng)的輸入變量為輸入電壓Uapp(t),系統(tǒng)輸出是電機在負載條件下的轉(zhuǎn)動角速度(t)。

26、設(shè)計補償器的目的是通過對系統(tǒng)輸入一定的電壓,使電機帶動負載以期望的角速度轉(zhuǎn)動,并要求整個系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定裕度。 DC電機的動態(tài)模型本質(zhì)上可以視作典型的二階慣性系統(tǒng),其具體模型在前面已經(jīng)詳細討論過,這里直接給出系統(tǒng)的模型描述。圖8.17 直流電機調(diào)速系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖 設(shè)直流電機的傳遞函數(shù)為21.5( )1440.02G sss 系統(tǒng)的設(shè)計指標為:上升時間0.5s；穩(wěn)定誤差少于5%；最大超調(diào)量20dB;相位穩(wěn)定裕度40。 8.3.2 系統(tǒng)設(shè)計 1調(diào)整補償器的增益 如果對該系統(tǒng)進行時域仿真,可以發(fā)現(xiàn)其閉環(huán)階躍響應(yīng)時間很大。提高系統(tǒng)相應(yīng)速度的最簡單方法是增加補償器的增益大小。在SISO的設(shè)計工具中可以

27、很方便地實現(xiàn)補償器增益的調(diào)節(jié)： （1）鼠標移動到Bode幅值線上,這時鼠標指針變成手的形狀。 （2）按下鼠標左鍵抓取Bode幅值線。 （3）將Bode幅值線向上拖動。 （4）釋放鼠標,系統(tǒng)自動計算改變的系統(tǒng)增益和極點。 SISO設(shè)計工具將計算補償器的增益,計算結(jié)果顯示在C(s)欄中。當然,用戶也可以直接在C(s)欄中輸入期望的補償器增益值。整個過程可以用圖8.18表示。 2調(diào)整系統(tǒng)帶寬 既然系統(tǒng)設(shè)計要求上升時間在0.5s以內(nèi),應(yīng)該調(diào)整系統(tǒng)增益,使得系統(tǒng)的穿越（crossover）頻率位于3rad/s附近。這是因為3rad/s的頻率位置近似對應(yīng)于0.33s的時間常數(shù)。 為了更清楚地查找系統(tǒng)的穿越

28、頻率,點擊鼠標右鍵,在快捷菜單中選擇【Grid】命令。該命令將在Bode圖中繪制網(wǎng)格線。使用上面介紹的方法,通過鼠標拖動Bode幅頻曲線來調(diào)整系統(tǒng)的增益大小,使得該曲線在3rad/s的位置穿越0dB線（如圖8.18所示）。圖8.18 DC電機的根軌跡圖和Bode圖 對于3rad/s的穿越頻率,相應(yīng)的補償器增益應(yīng)該在38左右。SISODesignTool將在Bode圖的左下角顯示系統(tǒng)當前的增益和相位裕度,同時也告訴我們當前系統(tǒng)是否是穩(wěn)定的。 如果通過LTIViewer觀察系統(tǒng)的階躍響應(yīng),可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和上升時間已經(jīng)得到一定的改善,但是要滿足系統(tǒng)所有的設(shè)計指標,還應(yīng)該設(shè)計更復雜的控制器。

29、3. 加入積分器 減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的一種方法是加入積分器。首先,點擊鼠標右鍵,在彈出的快捷菜單中選擇【AddPole/Zero】下的【Integrator】菜單。這時系統(tǒng)將加入一個積分器,該積分器的加入會改變系統(tǒng)的穿越頻率,因此應(yīng)該同時調(diào)整補償器增益的大小并將穿越頻率調(diào)整回3dB的位置,這時的增益大約為100。一旦加入積分器并重新調(diào)整補償器的增益,SISO Design Tool就會在其中的根軌跡圖中顯示紅色的極點,如圖8.19所示。圖8.19 在補償器中加入積分器 圖8.20 加入積分器后DC電機的階躍響應(yīng) 從圖8.20中的階躍響應(yīng)曲線中可以看出,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差已經(jīng)滿足設(shè)計要求。然而最大超調(diào)

30、量和上升時間還沒有達到所要設(shè)計的指標,這表明僅由積分器和增益項構(gòu)成的補償器并不能滿足系統(tǒng)的設(shè)計要求,因此需要設(shè)計更為復雜的補償器結(jié)構(gòu)。 4. 加入超前校正網(wǎng)絡(luò) 系統(tǒng)的設(shè)計指標要求系統(tǒng)具有20dB以上的幅值裕度和40以上的相位裕度。在當前的補償器設(shè)計中,增益裕度大約是11.5dB,而相位裕度在38.1附近,二者都不符合系統(tǒng)設(shè)計的條件。因此，下一步設(shè)計的目標是進一步縮短系統(tǒng)的上升時間同時提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。一種方法是提高系統(tǒng)增益來加快系統(tǒng)的響應(yīng)過程,但系統(tǒng)此時已經(jīng)是欠阻尼狀態(tài),提高系統(tǒng)增益將會減小系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,讀者可以在Bode圖中進行嘗試。接下來只有在補償器中加入新的動態(tài)結(jié)構(gòu)。 解決以上問題的

31、一種方法是在補償器中加入超前校正網(wǎng)絡(luò)。為了方便我們的設(shè)計,首先將x軸進行放大,方法是點擊鼠標右鍵，從快捷菜單中選擇 【ZoomIn-X】,然后用鼠標框出需要放大顯示的區(qū)域。在這個例子中我們感興趣的是從1rad/s到50rad/s的區(qū)域范圍。 為了加入超前校正網(wǎng)絡(luò),在開環(huán)Bode圖中點擊鼠標右鍵,選擇【AddPole/Zero】下的【Lead】菜單,該命令將在控制器中添加一個超前校正網(wǎng)絡(luò)。這時鼠標光標將變成“x”形狀,將鼠標移動到Bode圖的幅頻曲線上接近最右端極點的位置，然后在該極點的右端靠近極點的某個位置按下鼠標。最終的設(shè)計結(jié)果如圖8.21所示。 圖8.21 加入超前環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的Bode圖和

32、階躍響應(yīng)曲線 5. 移動補償器的零極點 為了提高系統(tǒng)響應(yīng)速度,我們將超前網(wǎng)絡(luò)的零點移動到靠近DC電機最左邊（最慢）的極點位置。這可以直接通過鼠標拖動來實現(xiàn)。接下來,將超前網(wǎng)絡(luò)的極點向右移動,并注意移動過程中幅值裕度的增長。當然也可以通過調(diào)節(jié)增益來增加系統(tǒng)的幅值裕度,用鼠標抓取Bode圖的幅頻曲線,然后向上拖動,觀察增益和幅值裕度的增長情況。 按照上述方法調(diào)整超前網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的同時,可以打開LTIViewer觀察系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變化,觀察階躍響應(yīng)的所有動態(tài)特征是否已經(jīng)滿足系統(tǒng)的設(shè)計要求。 最終系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)為（如圖8.22所示）：極點位置0和-28，零點位置-4.3，增益為84。 我們也可以使用【Ed

33、itCompensator】對話框直接設(shè)置補償器的上述參數(shù)值。只需雙擊CurrentCompensator區(qū)域即可打開該對話框。圖8.22還顯示系統(tǒng)的幅值裕度為22dB,相位裕度為66。為了觀察上升時間和最大超調(diào)量是否滿足設(shè)計要求,將鼠標移動到系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線處, 右擊階躍響應(yīng)圖的空白區(qū)域,在彈出的快捷菜單中選擇【Characteristics】中的【RiseTime】和【PeakOvershoot】菜單,系統(tǒng)將自動在階躍曲線上標示出相應(yīng)的信息,如圖8.23所示。從圖中可以看出,系統(tǒng)的上升時間為0.45秒,最大超調(diào)量大約在3%附近。至此,系統(tǒng)的所有動態(tài)性能均已滿足當初的設(shè)計要求。圖8.22

34、 DC電機補償器的最終設(shè)計參數(shù)圖8.23 補償器設(shè)計完成后的系統(tǒng)閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線8.4 電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的根軌跡設(shè)計電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的根軌跡設(shè)計 8.4.1 問題描述 上一節(jié)介紹了如何借助LTI系統(tǒng)設(shè)計工具進行LTI控制系統(tǒng)的Bode圖設(shè)計,這種方法屬于典型的頻域設(shè)計方法。除了頻域方法外,利用閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖進行LTI系統(tǒng)的時域設(shè)計也是工程實踐中經(jīng)常采用的方法。該方法在設(shè)計效果上與Bode圖的頻域設(shè)計方法是完全等價的。 由于MATLAB中的LTIDesignTool可以同時顯示系統(tǒng)的Bode圖和根軌跡圖,因此用戶可以根據(jù)自己的喜好選擇任何一種設(shè)計方法。 這一節(jié)我們將通過MATLAB自

35、帶的一個工程示例來介紹LTI系統(tǒng)的根軌跡設(shè)計過程。 圖8.24是一種電磁驅(qū)動的水壓伺服機構(gòu)（Electrohydraulic Servomechanism，簡稱EHSM）的結(jié)構(gòu)示意圖。該系統(tǒng)的組成包括電磁線圈構(gòu)成的驅(qū)動器、存儲有高壓液體的導管中的滑動軸、導管中用以控制液體流動的閥門、將壓力傳送給負載的具有活塞驅(qū)動壓力泵的主導管以及對稱的液體回流管等等。 圖8.24 電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖 R.N.Clark仔細研究了圖8.24所示的電磁驅(qū)動伺服機構(gòu)的動態(tài)模型,并建立了整個系統(tǒng)的線性化模型。對具體的建模過程感興趣的讀者可以參考具體文獻,本書不再贅述。為了得到該系統(tǒng)的線性化模型,輸入 l

36、oad ltiexamples圖8.25 電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的反饋閉環(huán)結(jié)構(gòu)框圖 該命令將MATLAB中所有LTI演示示例的系統(tǒng)對象載入工作空間。為了觀察本例中的系統(tǒng)模型,輸入 Gservo Zero/pole/gainfrominputVoltagetooutputRamposition: 40000000 - s(s+250)(s2+40s+9e004) 可見,電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的線性化模型可以表示成7244 10(250)(409100 )s sss 系統(tǒng)設(shè)計的目標是確定控制器C(s),使閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)滿足下面的性能指標： 系統(tǒng)的穩(wěn)定時間小于0.05秒（以小于2%的相對誤差作為穩(wěn)定條

37、件）。 最大超調(diào)量不大于5%。 8.4.2 打開SISO設(shè)計工具 在MATLAB中的命令窗口中輸入 sisotool(Gservo) 上述命令將打開SISODesignTool,同時載入電磁驅(qū)動水壓伺服機構(gòu)的示例系統(tǒng)對象（如圖8.26所示）。 單擊鼠標右鍵，借助快捷菜單中的【Zoom】命令,可以將根軌跡圖中的任意區(qū)域（用鼠標框選）放大或縮小顯示。 首先讓我們來觀察系統(tǒng)的單位閉環(huán)響應(yīng)曲線。選擇【LoopResponses】菜單下的【Tools】命令,SISO設(shè)計工具將打開LTIViewer,并顯示當前閉環(huán)系統(tǒng)（單位反饋）的階躍響應(yīng)曲線,如圖8.27所示。仿真曲線顯示：系統(tǒng)的穩(wěn)定時間大約為2秒左右,這比系統(tǒng)的設(shè)計要求慢得多。 8.4.3 增大系統(tǒng)的增益 提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的最簡單方法是增加控制器的增益大小。因此,只要用鼠標抓取根軌跡圖中的紅色小方塊,并沿著曲線移動,控制器中的增益就可以隨之改變,當然,也可以在【Current Compensator】欄中直接設(shè)置控制器增益的