橢圓中的_圓冪定理_

1、數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中等教育）投稿郵箱:sxjk橢圓中的“圓幕定理”江一鳴浙江寧波二中 315000摘 要：關(guān)于圓的41質(zhì)戀#ftSI中一般不會(huì)成止.但戀特別條件下，也可能礙到保超.通過榔圓性質(zhì)的探氽過 殺對(duì)問題研究遂漸深化和拓展有刊于激發(fā)學(xué)習(xí)者旳興趣.尤其是今理地運(yùn)用幾何資現(xiàn)去推測(cè)或 是出于貞覺，或是通過歸納和矣比，休現(xiàn)了 一種自然思芋的過IX.從而仔到在滯圓中像SJ轉(zhuǎn)有相 交弦定理切割線定理及割線定理等性質(zhì)成立的條件.關(guān)鍵詞：斜卓柏反：針卓定值；四點(diǎn)具圖；櫛圓圓/數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中等教育）投稿郵箱:sxjk數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中等教育）投稿郵箱:sxjk意一點(diǎn)大家知迫圓菲定理分為相交茲定 理.切別線定理

2、和割線定理.我們町以 統(tǒng)歸納為:過任怎不1刃上的-點(diǎn)問I 兩條克線&丿2血與岡交于4上丿2與刪交于C.，則PAPB=P（：/"在橢N中是否像関一樣 有相交弦定理、切割線定理及割線定理 等性質(zhì).筆者進(jìn)行探索得到以下結(jié)論， 供參右.引理：已知円心jo） （y（0）是橢陰I二+2-=/h的定點(diǎn).過M：斜率互為相反數(shù)Zr的列條血線.分別交橢側(cè) A.H兩點(diǎn)，則 直線.4的斜率為定侑空（f）o證明：不妨設(shè)於的針卓為kMB的 針卓為4（A工0）.因此貞圾“I的方為 y-y0=A- （x-xc），貞線的方収為） ->G=）7（xF）枷,一*（*一心）（6?+<rA?）r+2A-

3、（y（>-）<Zr+<r （“- kxo）2-（rb20. （）設(shè)A （小.）（"） 因?yàn)辄c(diǎn)"（口J,。）在榊國上. 所以兒是方程（拿）的一個(gè)根.所以即斗二 俗心2曠kd-加（6-+<rA-）x（i同理.如所以審線的斜率竊=丄匚匕二 久4一“k(xXg)-2kx(,機(jī)一心2a2 ( yi i k2x i ) - 2a:b2h 廠廠k2kx°(tr + 代)Xo一 4(以 go(b2 + k2 ) xo2<Zvo又因?yàn)?+4=/ 所以 <免朋.<r b捋 /26坊 b*xo zp.2“二莎 <f/p另證：設(shè)/1(引以)

4、(衛(wèi)小)則M+If兩式柏減點(diǎn)二1+21工二0. a 所以心空=上沁.xe <r yyy同理心乂匹亠注皿xl“ <r ?7+yoyr-yo2 xt+xq11 二 1 1 Xz-X0 (f ?Wo因?yàn)?+紀(jì)M.算 E> Xj-Xo 所以I X,+X(f ± Xr¥XpI yi+yo )WoOf)(XE)+0f)(YE)" 即(y/+yo)(M2+.G)+(ykyo)&rHm)=tt兩式柏減.X0() /+> 2 )+> o(XX2 ) -0.即込二_衛(wèi)）2 弘代入式得縱桿華心0定理1：已物/>足愉鬪工+工=八：任 a2 b2

5、.PA ./出和:分別是腳圓的兩條割線與切線.若削線 PA .P的斜率互為郴反數(shù).則切線兀與 割線A 的料率也帀為郴反數(shù).證明：對(duì)于方關(guān)于戈<r b的導(dǎo)牧礙竺+理所以心-華 if b<O由導(dǎo)數(shù)的幾何帝義.知點(diǎn)"（心.）（）討0）處的切銭斜卓你二經(jīng).（ry<）由式知*滬經(jīng).if）o數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中等教育）投稿郵箱:sxjk數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（中等教育）投稿郵箱:sxjk71994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved 投稿郵箱:sxjk Sp 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊(中

6、等教育)故k帛-k槍我們還町以看到，橢惻的這-性質(zhì) 乂是山倆的平面幾何性質(zhì)類比而來的.岡的幾何性質(zhì)：如圖人已知卩足圓上 任意一點(diǎn)丹.PB與陀分別是該岡的兩 條割線與切線若乙心乙2.則乙3二乙彳Z./-Z3=Z2-Z4=Z_5丙此4TPB.故TP=TBTAer b2意一點(diǎn)PAFB和/Y?分別是橢圓的兩條割線與切線.若割線 PA屮的斜率4為相反數(shù)則TP5 TA.山此町見“橢関中只婆右斜率空 為相反數(shù)的兩條直線就會(huì)有類似IHI切 剤線定理的結(jié)果.定理2給出過橢圓上一定點(diǎn) 作切線的性質(zhì)進(jìn)一步拓腴.乂町以粵慮任童丙條割線是否有相似的性質(zhì).定理3:已知M.C 是楠圓+二/的網(wǎng)條割線.若血線ABQ)的斜率耳

7、 為相反數(shù)，則血線AC,BD的斜率也互為 相反數(shù).證明：如圖3,由貞/?和貞找C0的 斜率互為相反可設(shè)宜線片的方輾為 £丫_)+加二0線C的方程為kx屮n=0則過貞?zhàn)T片和貞圾c與濡圓二+(T21=/的四個(gè)交點(diǎn)力.B.CJ)的曲銭系方 b2程為(&策-+冊(cè))(Ax+y+n)+A (fcr-Hrr- (rb2)=O% 即(A/r+)x2+(A<r-/ )r+(An + km )x+(m-n )i+/;i/i-Aa?62=O (")令NNkJM-l.得入二匕i .此時(shí) cr入, ho.即存在 A =(r-b2乞工使(")方權(quán)為圓的方収，所以片.B.C.I)

8、四點(diǎn)共臥由圖的幾何性疲知乙乙ACI).因?yàn)閆./ = LABD +乙兒乙2 = LACIUL4,而由審飩的斜卓互為相反 數(shù)知乙/二乙2.所以乙3二乙4.由此可知：當(dāng)?shù)膱A內(nèi)按四邊形冇一 飯對(duì)邊斜率互為相反數(shù)時(shí)則另一俎對(duì) 邊和對(duì)角線的斜舉也分別互為柏反哉.由于四邊形A BCD是R的內(nèi)接四邊 形，不難得到以下網(wǎng)個(gè)結(jié)論:推論仁已知AB.cn是橢冏工+工二 a2 b2/的衲條割線.若程線AB,CD的斜率互 為相反數(shù),“,BD相交于7則TA-TC= TB-TD.推論2：已知八0 是橢圓二+二= <r b2/的兩條割線.若直線AB.CD的斜率M 為相反數(shù)皿仞相交于K則RARB= R1)RC由定理2、推

9、論/和推論2的結(jié)論我們 可以統(tǒng)-in納為：過任盤不6:m e的一點(diǎn)戶；|兩條斜率互為相反數(shù)的血線仃. 厶厶與圓交于力上厶與傭交于C.則/MPB=PCPD.通過深人探究還可以得到以下結(jié) 論：由引理妙.過橢圓上的-個(gè)定點(diǎn)卅 料率互為相反數(shù)的兩條割線ZM .加,則克 線M的斜率為定值.也就是說隨行割線 PA ,PB斜率的不同取值.可以得到一簇平 行血線4.反過來.如果作im同的濮平 行血線4/那么是否在橢岡上存在定點(diǎn) 化使血線川削的斜率之利為零呢？定理4： C知?jiǎng)友O/的斜率為定值 A.若血線/與橢岡C：+£=/交J聞個(gè) 動(dòng)點(diǎn)人.則橢WIC上存在定點(diǎn)化使得l*L 線PA .PB的斜率之和為

10、零.證明：設(shè)ffifflc上存在點(diǎn)卩(仏”) (”#0)，使痔審線川J的斜卓互為和 反戟，則如=*»由®氏網(wǎng)佯可機(jī)二經(jīng)，44+(ry0 (rcrk2聯(lián)立方程俎解得b2)9VF+rrFIark“產(chǎn)-_ _ ，戎均為定值.£妒-V6WA2通過類比我們還可以考慮引理在 雙曲線、地物線中足否冇變似結(jié)論.定理5 ：已知Pg%)仇工0)是雙曲 線二-厶=/上的定點(diǎn)，過M：料率互為(r lr相反數(shù)的兩條克線分別交雙曲線于4. R兩點(diǎn).則fL線片的料率為定值-傘cry0 定理6心知卩(切“)仇工0)處拋物 線亡2px(p>0)上的定點(diǎn).過P作斜率互 為相反數(shù)的兩條克線分別交拋物線于 人出兩點(diǎn)則血線/! 的斜率