概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)重要知識(shí)點(diǎn)

1、2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)重要知識(shí)點(diǎn)第二章知識(shí)點(diǎn):1. 離散型隨機(jī)變量：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，如果它全部可能的取值只有有限個(gè)或可數(shù)無(wú)窮個(gè), 則稱X為一個(gè)離散隨機(jī)變量。2. 常用離散型分布：(1) 兩點(diǎn)分布(0-1分布)：若一個(gè)隨機(jī)變量X 只有兩個(gè)可能取值，且苴丿、分布為PX =x =p,PX =X2 =1 P(0 :： p ：1)則稱X服從人，x2處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。兩點(diǎn)分布的概率分布：P X=為 = p, PX=X2 = 1- P (0p=1)兩點(diǎn)分布的期望：E(X)二p ;兩點(diǎn)分布的方差：D(X)二 p(1 - p)(2)二項(xiàng)分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X的

2、概率分布由式Px 二 k二 C：pK(1 - p)n-K,k 二 0,1,.,n.給出，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為Xb(n,p)(或B(n,p).兩點(diǎn)分布的概率分布：Px 二 k二 C；pk(1 - p)n4c,k = 0,1,., n.二項(xiàng)分布的期望：E(X)二 nP ；二項(xiàng)分布的方差：D(X) = np(1 - p)(3)泊松分布：-kPX 二 k二 e, 0,k =0,1,2,.若一個(gè)隨機(jī)變量 X的概率分布為K!，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為 XP ()泊松分布的概率分布:kPX 二k二e,0,k =0,1,2,.k!泊松分布的期望：E(X)；泊松分布的方差：D(X)4.

3、 連續(xù)型隨機(jī)變量:如果對(duì)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù) X，有XF(x)=PX_x二 f(t)dtf(x)，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， 稱f (x)為X的概率密度函數(shù)， 簡(jiǎn)稱為概率密度函數(shù)。5. 常用的連續(xù)型分布:(1) 均勻分布：a X b，則稱X在區(qū)間(a,b)上服 其它若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f (xr亡i 0,從均勻分布，記為 XU(a,b)均勻分布的概率密度：f (x)=0,其它E(X)=空均勻分布的期望：2；均勻分布的方差:D(X)=(b-a)212(2) 指數(shù)分布:若連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為t J1，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布

4、，記為Xe ()f (x)指數(shù)分布的概率密度：指數(shù)分布的期望:(3)正態(tài)分布：1E(X)二一 九;指數(shù)分布的方差:1D(X) 2若連續(xù)型隨機(jī)變量1f (x) = reX的概率密度為- 2 :-則稱X服從參數(shù)為和二2的正態(tài)分布，記為XN( 2)正態(tài)分布的概率密度:1 .Zf (x) e正態(tài)分布的期望：E(X)二I正態(tài)分布的方差:D(X)X2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：_0L=1(x) =標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：= 1. 2-t2x,2dt(1)x 0(x) =1 -(-X)Efl2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料X N(0,1)Pa :： x _ b = P a _ x _ b = Pa _ x ： b

5、(2) 二 Pa ： x : b = (b) - (a)XXx_ x uXN(i,；2),Y N(0,1), F(x)二PX Ex =P=()(3) 二故Pa ：X 汕二P? Y b = (b )- (-a)crcrcrcrJ _ 2 YN(0,1)定理1: 設(shè)XN( 嚴(yán)),則 口6. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，稱F(x) = PX - ”為x的分布函數(shù)。分布函數(shù)的重要性質(zhì)：0乞F(x)乞1PN : X mx2 = PX 乞 x2 PX 乞 = F(x2) - F(xJx ： x2 二 F (x1) : F (x2)F( ：) =1,F(_：) =07. 求離散型的隨機(jī)變量函數(shù)、

6、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1 )由X的概率分布導(dǎo)出 Y的概率分布步驟： 根據(jù)X寫出Y的所有可能取值； 對(duì)Y的每一個(gè)可能取值 確定相應(yīng)的概率取值； 常用表格的形式把 Y的概率分布寫出(2 )由X的概率密度函數(shù)(分布函數(shù))求 Y的概率密度函數(shù)(分布函數(shù))的步驟： 由X的概率密度函數(shù) fx(x)隨機(jī)變量函數(shù) Y=g(X的分布函數(shù)Fy(v) 由FY(y)求導(dǎo)可得丫的概率密度函數(shù)(3)對(duì)單調(diào)函數(shù)，計(jì)算 Y=g(X)的概率密度簡(jiǎn)單方法：定理1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度以以)X (-r)，又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(X)0 (或恒有g(shù)(X)： 0)，則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為Jfh

7、(y)| h(y)|,0 cy0fY(y):;其中xh(y)是y=g(x)的反函數(shù)，且-二 min(g(Jg( ：)二 max(g(：),g(：)練習(xí)題：2.4 第 7、13、14總習(xí)題 第 3、6、9、10、11、13、14、17、18、19第三章重要知識(shí)點(diǎn):1.離散型二維隨機(jī)變量 X與Y的聯(lián)合概率分布表:y1y2yjPX =XipnP12p1j瓦P1jjxp21P22P2j瓦P2jjxP1Pi 2Pij送PjjPY = yj區(qū)Pi1i送P2i送Pji1(1) 要會(huì)由X與Y的聯(lián)合概率分布，求出 X與Y各自概率分布或反過(guò)來(lái)；類似 P63例2(2) 要會(huì)在X與Y獨(dú)立的情況下，根據(jù)聯(lián)合概率分布表的

8、部分?jǐn)?shù)據(jù)，求解其余數(shù)據(jù)；類似P71例3(3) 要會(huì)根據(jù)聯(lián)合概率分布表求形如P 3 X bQ： Y d的概率;(4) 要會(huì)根據(jù)聯(lián)合概率分布律之類求出相應(yīng)的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等。2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量 X與Y的聯(lián)合概率密度：設(shè)(X,Y為二維隨機(jī)變量，F(xiàn)(x,y)為其分布函數(shù)，若存在一個(gè)非負(fù)可積的二元函數(shù)f(x,y)，使對(duì)x yF(x, y)=門 f (s,t)dsdt任意實(shí)數(shù)(x,y)，有，則稱(X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。(1)要會(huì)畫出積分區(qū)域使得能正確確定二重積分的上下限；要會(huì)根據(jù)聯(lián)合概率密度求出相應(yīng)的分布函數(shù)F(x,y),以及形如P X ： Y等聯(lián)合概率值;P64例3(3) 要會(huì)根

9、據(jù)聯(lián)合概率密度求出X, y的邊緣密度；類似P64例4(4) 要會(huì)根據(jù)聯(lián)合概率密度求出相應(yīng)的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等。聯(lián)合概率分布以及聯(lián)合密度函數(shù)的一些性質(zhì):E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料送送Pij =1(1) i j ； (2)f(x, y)dxdy = 1_oO要會(huì)根據(jù)這些性質(zhì)解類似P68 第 5，6 題。3. 常用的連續(xù)型二維隨機(jī)變量分布二維均勻分布：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A。若二維隨機(jī)變量(X,Y具有概率；1/A(x,y)Gf(x,y)0密度函數(shù)0，則稱(X,Y在G上服從均勻分布。4. 獨(dú)立性的判斷：定義：設(shè)隨機(jī)變量

10、(X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y),邊緣分布函數(shù)為Fx(x)，F(xiàn)Y(y)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，有RX迭Y WFX鋼RY*(1) 離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性： 由獨(dú)立性的定義進(jìn)行判斷； 所有可能取值(x,yj)，有 P(X 二X Y F j)X x PY( y ) ，Pij = p.p.j 則X與Y相互獨(dú)立。(2) 連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性： 由獨(dú)立性的定義進(jìn)行判斷； 聯(lián)合概率密度f(wàn)(x, y)，邊緣密度f(wàn)x(X)，fY(y)-x, y有f (x, y)二f X (x) fY (y)幾乎處處成立，則X與Y相互獨(dú)立。(3) 注意與第四章知識(shí)的結(jié)合E(X Y) =E(X)E( Y)D(X _Y)二 D

11、(X) D(Y)Cov(X, Y) =0X與Y相互獨(dú)立 xy - 0E(X Y) = E(X)E( Y)D(X -Y) = D(X) D(Y)Cov( X, Y) = 0P 鼻門因此 XY 0-X與Y不獨(dú)立。6 相互獨(dú)立的兩個(gè)重要定理定理1隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立的充要條件是 X所生成的任何事件與 Y生成的任何事件獨(dú)立，即，對(duì)任意實(shí)數(shù)集A，B，有PX a,y BP PX APX BGf定理2如果隨機(jī)變量 X與Y獨(dú)立，則對(duì)任意函數(shù) 91)， g2(y) 相互獨(dú)立。(i)要求會(huì)使用這兩個(gè)定理解決計(jì)算問(wèn)題 練習(xí)題: 習(xí)題2-3第3、4題 習(xí)題2-4第2題習(xí)題3.2第5，7, 8題總習(xí)題三 第 4，9(

12、 1)-( 4)，12,13第四、五章知識(shí)點(diǎn)設(shè)總體密度函數(shù)如下，X|,X2,.Xn是樣本，試求未知參數(shù)的矩估計(jì)值，最大似然估計(jì)值。1芒p(x;r j) e 二，x 二 06(1)E(X)二x1e；dx= 0：te%- D(X) =E(X2)E(X)2 - J2，由此可推出 v - jD(X)j = E(X)_、.、D(X)，從而參數(shù)二，J的矩估計(jì)值為v -s -1一 s(2)似然函數(shù)為：1 1 nLL) =()nexp-、(Xi),) - J idn乞(X -巴其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：In Lnln J - 丄0由上式可以看出，In L(d J是的單調(diào)增函數(shù)，要使其最大，J的取值應(yīng)該盡可能的大,由于

13、限制X，1，這給出的最大似然估計(jì)值為J =x(1)將In L(H J關(guān)于二求導(dǎo)并令其為0得到關(guān)于二的似然方程d In L(/)7 (Xi) n . j_d-0第四章重要知識(shí)點(diǎn)：(1)離散型qQE(X)=遲 x Pi 41. 隨機(jī)變量X數(shù)學(xué)期望的求法:；(2)連續(xù)型 E( X)=(垃 xf( X dx-ad-beE(X)二 g(x) f(x)dx2. 隨機(jī)變量函數(shù)g(X)數(shù)學(xué)期望的求法：(1)離散型 E(X )=送g * Pi ；(2)連續(xù)型i 43.二維隨機(jī)向量期望的求法:(1)離散型qQ qQEg(X,Y)八 lg(Xi,yj)Pij ;j 4 y(2)連續(xù)型Eg(X,Y”g (x,y)f

14、(x,y)dxdy_oO _oO4. 隨機(jī)變量X方差的求法：2 2 2(1 )簡(jiǎn)明公式 D(X) =EX -E(X)二 E(X )-E(X)oO(2) 離散型 D(XKi - E X 的(3) 連續(xù)型D(X)= . x E(X)f(x)dxoO5. 隨機(jī)變量X協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的求法：(1 )簡(jiǎn)明公式 Cov(X,Y) =E X -E(X) Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)(2) 離散型 Cov(X 丫戶瓦 X E X( yj$EY pi, j(3) 連續(xù)型CoVX 喬孑 E Xy 曰丫) f(x, y)dxdy(4) . -CoV(X,Y)= D(X)D(Y)6. 數(shù)學(xué)期望、方差、

15、協(xié)方差重要的性質(zhì)：(1) Eg+X2)=E(XJ+E(X2)設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)二E(X)E(Y)D(X _Y)二D(X) D(Y) _2E X -E(X)Y - E(Y) (3)= D(X) D(Y) _2Cov(X,Y)若X與Y相互獨(dú)立，則 D(X _YHD(X) D(Y)2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料(4) D(CX) =C2D(X)(5) Cov(Xi X2,Y) =Cov(Xi,Y) CovgY)(6) Cov(aX,bY)二 abCov(X,Y)若X與Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0 若(X,Y服從二維正態(tài)分布，則X與Y相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)：丫 =07. n維

16、正態(tài)分布的幾個(gè)重要性質(zhì)：(1) n維正態(tài)變量(X1,X2,.,Xn)的每個(gè)分量Xi (i =1,2,.n)都是正態(tài)變量，反之， 若X1,X2,.,Xn都是正態(tài)變量，且相互獨(dú)立，則(X1,X2,.,Xn )是n維正態(tài)變量。(2) n維隨機(jī)向量(X1,X2,.,Xn)服從n維正態(tài)分布的充分必要條件是X1,X2,.,Xn的任意線性組合均服從一維正態(tài)分布l1X1 l2X2 -. - lnXn均服從一維正態(tài)分布(其中l(wèi)1，l2，.n不全為零)。(3 )若(X1,X2,.,Xn)服從 n 維正態(tài)分布，設(shè) Y,Y2,.,Yk 是 X j (j = 1,2,.n)的線性函 數(shù)，則(策，丫2，.,YQ服從k維正

17、態(tài)分布。(4 )設(shè)(X1,X2,.,Xn )服從n維正態(tài)分布，則“X1,X2,.,Xn相互獨(dú)立”等價(jià)于X1, X2,., Xn兩兩不相關(guān)”練習(xí)題:XY1.設(shè)(X,丫的聯(lián)合密度函數(shù)為伽)打4(1初0 xgy X，求Cov(X,Y)及:1 x133解: E(X) J ：xf (x, y)dxdy =24 0 (1 - x)xydydx = .12(1 - x)x dx = ?2： 21 x214125E(X ). f(x, y)dxdy =24。0(1 -x)x ydydx。12(1 -x)x dx =2223 2D(X)二 E(X2) -E(X)2(;)255x22o (1 - x)y dydx

18、 =5同理: 1E(Y) =xf (x, y)dxdy = 24 E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2E(Y )二:1 X3.一 xf(x,y)dxdy =24。(1-x)y dydx 二1 x4又因 E(XY) xy24(1 _x)ydydx =石I o462從而 cov(x，YrE(xY)_E(x)E(Y“亦一p _ Cov(X,Y) 2 752XYD(X)d(Y)12532.習(xí)題4.3第10題8. 中心極限定理(1)定理4 (棣莫佛一拉普拉斯定理)設(shè)隨機(jī)變量X1，X2,.Xn,.相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為P的兩點(diǎn)分布,則對(duì)任意實(shí)數(shù) x,t2有 lim P n.:n p(1-p)

19、2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料(2) 定理3 (獨(dú)立同分布的中心極限定理)X X Xt2x 11 e 2dt設(shè)隨機(jī)變量 八八2 n，相互獨(dú)立，服從同一分布,E(XJ JD(Xi)*2 (i=1,2,.)則 vrI練習(xí)題：習(xí)題 4-411題12題 總習(xí)題四 24, 25, 26題 第五章重要知識(shí)點(diǎn)確定或求證統(tǒng)計(jì)量所服從的分布1. 三大分布-.t 2t 2222(1 ) 分布：設(shè)X1,X2,.Xn是取自總體N(0,1)的樣本，稱統(tǒng)計(jì)量=X1X2. Xn服從自由度為n的2分布。X(2) t分布：設(shè)XN(0,1), Y32(n)，且X與Y相互獨(dú)立，

20、則稱t= 服從自由度為jY/nn的t分布。(3) F分布：設(shè)X 2(m),Y 2(n),且X與丫相互獨(dú)立，則稱F服從自由度Y/ n為(m,n)的F分布。2. 三大抽樣分布(1)設(shè)總體X NCC2),X1,X2,.,Xn是取自X的一個(gè)樣本，X為該樣本的樣本均值， G f C2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料(2)定理2設(shè)總體XN(，；2),Xi,X2,，Xn，是取自X的一個(gè)樣本，X與S2為該樣本的樣本均值與樣本方差，則有2門 121222rS2尹(Xi-X)2 2(n-1),by則有XN (八2 / n), UX -:二 / *nN(0,1)2X與S相互獨(dú)立(3)定理3設(shè)總體X - NC

21、-2),X1,X2,.,Xn，是取自X的一個(gè)樣本，X與S2為該樣本的樣本均值與樣本方差，則有2二丄 g _.)22(n)，T二-X -附-1) i 二S / J n練習(xí)題：1設(shè)X1，X2.X2n是來(lái)自正態(tài)總體 XN(0,1)的樣本，求統(tǒng)計(jì)量的分布。X1 X3 X2n 丄x22x42.X2n2解:因?yàn)?X1 X3 . X2nN(0,n；2)，故X1X3X2nN(0,1)E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料lN(0,1),i =1,2,.2nCT由樣本的獨(dú)立性及2分布的定義，有(生)2 (Xa)2 .(心)22(n)TCTCT再由樣本的獨(dú)立性以及

22、t分布的定義，有XX3. X2nX22 X42. X2n2X1 X3.X22Xj X42X2n2vt( n)2.總習(xí)題五14題3. 求樣本函數(shù)相關(guān)的概率問(wèn)題練習(xí)題：習(xí)題 5-3 2總習(xí)題五16、17第六章重要知識(shí)點(diǎn):1. 矩估計(jì)的求法：F(x日日)日 日設(shè)總體X的分布函數(shù)1k中含有k個(gè)未知參數(shù)的函數(shù)k，則E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料（1）求總體X的k階矩它們一般都是是這k個(gè)未知參數(shù)的函數(shù)，記為i 一 9（1,.和）一12.卡0（2 ）從（1）中解得hjCl1,./lk),P 12kE2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料（3）再用

23、 i 的估計(jì)量：（i 1,2,k）的估計(jì)量A分別代替上式中的|，即可得j（j 1,2,k）A= hj(A1,.Ak), j 二1,2,k注：求V1，.,Vk，類似于上述步驟，最后用B1,，Bk，代替，vk，求出矩估計(jì)t（j =1,2,.k）2. 最大似然估計(jì)的求法： 求最大似然估計(jì)的一般方法:(1)寫出似然函數(shù)LC)二L(X1，X2，.Xn；T(2)心0令d 或din L(r)二 0，求出駐點(diǎn)E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料（3）判斷并求出最大值點(diǎn)，在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中，用樣本值代入就得參數(shù)的最大似然估 計(jì)值。比如P154例4 6。3. 估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（1）無(wú)偏性AAA定義1設(shè)

24、二（X-Xn）是未知參數(shù)二的估計(jì)量，若E） = ，則稱二為的無(wú)偏估計(jì)量。（2）有效性AAAA定義2設(shè)1 （X1,XJ和二2 2（X1,.Xn）都是參數(shù)71的無(wú)偏估計(jì)量，若DEW），則稱力較二2有效。4置信區(qū)間（1）雙側(cè)置信區(qū)間：設(shè)為總體分布的未知參數(shù),X1，X2，Xn是取自總體X的一個(gè)樣本，對(duì)給定的數(shù)1 -，:1，若存在統(tǒng)計(jì)量 = (X1,X2,.Xn)E2010-2011學(xué)年第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)資料e_ = 9_(X1,X2,.Xn),使得刊 =1-則稱隨機(jī)區(qū)間心）滬的1 一雙側(cè)置信區(qū)間, 信上限。（2 ）單側(cè)置信區(qū)間：稱1 -：為置信度，又分別稱-與二為二的雙側(cè)置信下限與雙側(cè)置設(shè)二為總體分布的未知參數(shù)，X2,Xn是取自總體x的一個(gè)樣本，對(duì)給定的數(shù)（X1,X2,.Xn）1 -;1，若存在統(tǒng)計(jì)量-，（日，畑）a- 為廿的置信度為滿足Pr