概率論與數(shù)理統(tǒng)計許承德習(xí)題答案

1、1,2,2,3,今從袋中任取X ,Y分別表示第一次，第二次取出的球16161其中 P( X 二 1, Y 1)= PP( X = 1, Y 2)= P126低=1P Y=1X=僅=1P Y=2X=1)習(xí)題四1一個袋子中裝有四個球，它們上面分別標(biāo)有數(shù)字 一球后不放回，再從袋中任取一球，以 上的標(biāo)號，求（X,Y）的分布列.解 （X Y 的分布列為231121634 / 21# / 21余者類推。2 .將一枚硬幣連擲三次，以 X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以 Y表示三 次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，試寫出（X,Y）的分布列及邊緣分布列。1解 一枚硬幣連擲三次相當(dāng)于三重貝努里試驗，故X

2、B（3,-）.# / 21# / 21# / 21其中 P( X= 0, Y= 1)= P (X= OP Y二 1X二0)P(X =1, Y =1)=P(X =1)P(Y =1| X Trc；)3 1 =3 ,2 8余者類推。3設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y> 8(6x-y),° 八 2, 2y °,丨0,其它.又( 1) D=(x, y)|xc1,y<3；( 2) D =(x, y) |x + y <3。求 P(X,Y> D13 1P( X, y) D =0 2 ： (6 - X - y)dxdxy819_43 .81(1)x *4J 6)8

3、IL 22x+y=3(2)P(X,Y) D023 _x 1 (6 - x - y)dxdy81 11 ,23- . °x(1-x)dx °(3-x) -4dx 8 . 2-24 .設(shè)(X,Y)的概率密度為=C(RJx2+y2),I 0,(X,Y)落在圓x2 y2f (x, y)系數(shù)C ； (2)x2y2 乞 R2,其他.23 (r ： R)內(nèi)的概率.(R- x2 y2)dxdy 二C： R3-Cx2 y2 <R22 二 R 2or drd"乂 二 R3 -空 乂工，32(2)設(shè) D =(x,y) |x2 2y乞r ，所求概率為P(X,Y) D仃 (R-Jx2

4、 +y2)dxdyx2y2 -ir： R36 / 21二 Rr2 -=3r； 1_2r3R -3R35.已知隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合概率密度為0_x_1,0_y _1 其它.工 4xy,心科0,求X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).解1設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x, y)，則0,x y4uvdudv0 J 0x 1x ： 0 或 y ： 0,0_x_1, 0_ y_1,解2由聯(lián)合密度可見,fx (x)二2x,0,l( v,di)dv 二 0 . 04uydudy,1 yi i 4xvdxdv1,S,2 2x y ,二x2 ,2y ,x 1, y 1.x ： 0 或 y 0,0乞x冬1, 0< y乞1,

5、x 1, 0 乞 y 1,x 1, y 1.X,Y獨(dú)立，邊緣密度分別為。汰汀2y,1,其他；0,其它.Fx(x), Fy(y)，則x £0,xfx(u)du =*-oOlx2,0蘭x蘭1,1,x >1.10,y <0,y/(vjdvr2 y ,0蘭y蘭1,1 ,y >1.邊緣分布函數(shù)分別為Fx(x)二Fv(y)二設(shè)（X,Y）的分布函數(shù)為F（x,y），則,L0,2 2x y ,F(x, y)= Fx(x) FY(y) = x2,x ： 0 或 y : 0,0_x_1, 0_y_10 遼 x 遼1, y 1,x 1, 0遼 y 遼1,x 1, y 1.6 設(shè)二維隨機(jī)變量

6、（X,Y）在區(qū)域 求邊緣概率密度。解 （X Y的概率密度為f（小（x,y）D, f （x, y）io,其他.關(guān)于X和Y的密度為y jL/ D01xD :0 ： x ： 1 , | y卜：x內(nèi)服從均勻分布,fx（X ）二：:乂I0,f x y dy = < x50 ： x ： 1,12x,0 ： x ： 1,-0,其他.fY (y)上 f (x,y) dx0,1J dxJ "dx一 y0 ,-1 ：:y_0 ,1 y,1-y,.0 ,-1 y<0,0： y ：1,其他.-1.=1Ty|, |y卜 1,"0 ,其他.7設(shè)(X,Y)的概率密度為e0 x y,f (x,

7、 y)=10 ,其他.求邊緣密度和概率 P(X Y乞1)乂0,fx( X)二f ( x, y) dy :卩 x e dy,x 二 0 , 0,-xe ,0,x 0.fY（y）；f ( x, y) dx“ I。, 卩° edx y 0； ye,y乞0,y 0.P(X 丫 乞1)=x yj1f (x,y)dxdy= 02Sy dx= °2(eeex)dxy：1& 一電子儀器由兩個部件組成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命 （單位:千小時）已知 X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：11 F（x,y） =0-eJ.5x -eJ.5y -eJ.5(xy), x _ 0, y _0 其他.（

8、1 ）問X,Y是否獨(dú)立？為什么?（2）求兩個部件的壽命都超過100小時的概率.解（1）先求邊緣分布函數(shù):；1-e.5x,*x 30,J0,x v 0.1-e°5y,y蘭0,i 0 ,y £0Fx（x）巳mF（x，y）=FY(y)pmF(x,y) =因為F(x, y)二 Fx (x) Fy(y)，所以 X,Y獨(dú)立.P(X _0.1,Y_0.1)=P(X _O.1P(Y_O.1)=1 P(X E0.1)1P(丫 乞0.1)-0.05=eq.05q.1e e9 設(shè)（X,Y）的概率密度為le4y）f(x,y)x-0, Y -0, 其他.間X，丫是否獨(dú)立?解邊緣密度為fx(x) =

9、j 三f (x, y)dy0 ,：ePydy,x ： 0,x 0;0 , X ： 0, e： x - 0.0 , fY（y）=刁b，因為 f （x,y > fx 乂y ： 0,y 0.f y(,所以X,Y獨(dú)立.39 / 2110設(shè)（X,Y）的概率密度為# / 21'8xy, f(x,y)= o,0 乞 x ： y ： 1, 其他.問X ,Y是否獨(dú)立.解邊緣密度乂I 0,fx(x)二-f(xy)dy 二 1卩x8xydyx ：0 或0,其他;0_x_1.y8xydx fY(y)f(x,y)dx 二 0I 0 ,0_y _1,_ 4y3, 0_y _1,0 ,其他；其他;因為 f (

10、x, y) = fx (x) fy (y)，所以 X ,Y 不獨(dú)立。11 設(shè)(X,Y)的概率密度為叫) |x“|Y|ui 0,其他.y j*0試證明X與Y不獨(dú)立，但X2與Y2是相互獨(dú)立的。證 先求X,Y的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)F (x, y)=x y 1 uv”44x 1 1 uv4-4 -4 -4y 1 uv4x乞-1或 y 一-1,dudv,|x|：1,|y|",dudv,|x|：1,y 1,dudv,x 1, |yh：1,X -1,y-1;141 / 211 1 2 24(x 1)(y “ 亦(x 1)(y1),I 冷(y+1)，|X|：:1,X 1,01 |x|_1,

11、y 1,x 1, y 1.42 / 21# / 21關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為# / 21# / 21x ： -1,Fx(x)=yjmF(x,y)詔Jx+1),21,x 1.# / 21關(guān)于丫的邊緣分布函數(shù)為'0 ,y<-1,1FyW)二 1(y 1), -仁八1,21, y 1.因為 F(X,Y) = Fx(x) Fy (y)，所以 X,Y不獨(dú)立.2 2 2 2再證X與丫獨(dú)立：設(shè)X ,Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F1 (z,t)，則z% ,t A 0F1 (乙t) =p(x2 EZ, Yt)P .z : X E -2 L：Y _ .t= FC.zr.tFO, z.tFxZt) F Z, t)

12、0 , zO 或 t 蘭0,屁,0 £Z v1, 0 Ct v1,=D't ,z -1, 0 ： t ： 1,Jz ,0 cz £1, t 啟 1,1 ,zK1,t1.關(guān)于X2（Y2）的邊緣分布函數(shù)分別為0 , Z 乞 0,FX2(z) =tlim F (z,i) = z, 0 - z .1, t 一枚1 , z>1.0, t _0,Fy2 (t) = t, 0 : t : 1,1, t _1.因為 F1 (z, t) = FX2 (z) FY2 (t)，所以 X2 與 Y2獨(dú)立.證2利用隨機(jī)向量的變換（參見王梓坤概率基礎(chǔ)及其應(yīng)用83頁）設(shè) Z =x2, T

13、=Y2.函數(shù) z = x2的反函數(shù)為 X1 = z, X2 = - . z; t = y2的反函數(shù)為11；X1:Z:Z14、ztJ22二 J11,J12_1_4- zt '44 / 21# / 21丄4 zt0 z ： 1, 0 ： t ： 1,0 z ： 1,0 ： t ： 1,其他于是（x2,y2）的概率密度函數(shù)為2 2£ (z,t) J f (Xi ,yj) | Jij |i=1 j=11+TZ!+1_低+1_巫+1+心,4 4/zt0,# / 210 ,其它.# / 212關(guān)于X的邊緣密度為fx2（z）二.1c“,0 ： z :P23S 12所以（X,Y）的分布為仏（

14、z,t）dt 二 2. Z-O0.0 ,其它.關(guān)于Y的邊緣密度為1,0 : t : 1,fY2（t）二 2t0 ,其他.因為 fl （乙 t） = fX2（z） fY2（t），所以 X2, Y2 獨(dú)立.12 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X ,Y）的聯(lián)合分布律及關(guān)于 X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余值填入表中空 白處Xy1y2y3PX =X = p.X118X218P（Y =yi ） = Pj161解 設(shè) P（X=Xj,Y = yj） = Pj = 1,2, j -1,2,3.由聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系知1P11245 / 211 1-ST P）1,3 即-41

15、 1 1宀3，故P13在，24 846 / 213P2 =# / 211P22飛P22）；所以P228Pr# / 21y1y2y3PX =Xi = Pi,X111112481241313X28844P(Y=y) = Pj.111162313 .已知隨機(jī)變量 X1和X2的概率分布為J-10101Xi 111,X211】424一22一而且 P(X1X2 =01(1 )求X1和X2的聯(lián)合分布；(2 )問X1和X是否獨(dú)立？為什么？解(1)P(X1X2=0)=1 知 P(X -1, X2 =1P(X1 =1, X2 =10，再由聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系知(X1 , X2)的分布為X1X2_101P(X2

16、=X2i)111002441110022P(X1 =冷)1111424(2 )因 P(X1 =1, X2 =0)-二P(X1 二-1)P(X2 =0)所以442X, Y不獨(dú)立14 .設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，且都服從 (-b, b)上的均勻分布，求方程2t tX-0有實根的概率解設(shè)A ='方程有實根，則A發(fā)生二 X2 -4丫 -0即2P(A)=P(X _4Y)=X2 Ab T 11 4b2屮*4b2 6.上上f(x, y)dxdyx2 _4yb x21dxd"4b) 4b2dxb 1 , b 乞 4.24 2215 .已知隨機(jī)變量2P(X2 _4Y)2 b 1X2J =2(

17、b)dx上 b 4b41_1 33=1 -14b'、b -1 (8b°8b')4b2 l1=1唸(x, y)(0,0)(0,1)(1,0) (1,1)(2,0)(2,1)P(X =x,Y = y)0.100.150.250.200.150.15試求：(1)X的概率分布;(2)X +Y的概率分布解 (1)X的分布為X012P0.250.450.30X和Y的聯(lián)合分布為(2) X Y的分布為X十丫0123P0.100.40.350.1516 .設(shè)X與Y為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其概率分布列為1P(X =n) =P(丫二 n)二 §，n -1,21，求 X Y

18、的分布列.解設(shè)Z - X Y， Z的分布為k4P(Z =k) =P(X Y =k)二為 P(X =i)P(Y = k -i)i二申申你-1)e)k k=2,3，川m222n, p的二項分布,17 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為證明Z二X Y服從參數(shù)為2n, p的二項分布.k證 P(Z二 k)二 H X Y二 X， P X )i (P Y ii =0ki in _i k _l k _in _kGi=L CnP (1- P)Cn P (1- P)i z0k二 pkd-p)25 cnckc2nPkd-p)2n±k"4| n20故Z = X Y服從參數(shù)為2n, p的

19、二項分布.注：此處用到一個組合公式：k、 c l c k =ckcmcn _ cm ni =0此公式的正確性可直觀地說明如下：從m n個不同的元素中取 k個共有cm n種不同的取法。從另一個角度看，把m n個元素分布兩部分，一部分有m個，另一部分有n個，從第一部分中取i個再配上從第二部分中取 k-i個，不同 k的取法共cmc：，讓i從0變到k，總的取法是7 cmc：，這兩種取法應(yīng)相等718設(shè)X,Y相互獨(dú)立，其概率密度分別為fl, fX (x) 0,0乞x空1,其他；ey"i。,y 0,y乞0.49 / 21求X Y的概率密度解1設(shè)Z = X Y，由卷積分式，Z的概率密度為fZ（z）二

20、：fx（z -y）fY（y）dy# / 21fX(z-y)fY(y)”y 0, 0_z_y_1, 其它.產(chǎn)面域D如圖.z ： 0 時， fZ 二 0綜上所述定當(dāng)當(dāng)當(dāng)0 - z ： 1 時，fZ (z)-z -1 時，fZ（Z）二Jdyz/細(xì)=e(e_1),50 / 210,ZE0,fZ (z) = «i-e=0czci,e(e-i), zi.解2變量代換法:-befZ (z) = ffx (x) fY(zx)dx，-oO注意到當(dāng)0 c x c i 時fx(x) =i，有-boifZ (z) = J”fx(x)fY(zx)dx = J0 fz=Jz jY(u)du,因u蘭0,fY (U

21、) = Ule ,u >0.所以，當(dāng)z蘭0時，fZ(z)=0，當(dāng)0 £ Z £ i 時z，fZ(z) = j0edu ：當(dāng)zzi 時，fZ (z) = J zedu =e綜上所述f 0,zE 0fz( z)= i-e ,id ,(e-i).令 U -z_xz- x)dx 二=Z-JJ z - fY (u)du0 ： z ： i,Upei),左 i.分布函數(shù)法：設(shè) Z的分布函數(shù)為Fz (z)，則Fz(z)二P(Z ")二 P(X Y ")二.fx(x)fY(y)dxdy0y x+y=izz -ye dy dx, 0o'i z -x0 0x+y

22、=0x .y _Zedydx,0 z i 時,52 / 210,ZEO,_z=« z +e -1,0 c z cl,J-ee,z 5:1.Z的概率密度為f 0 ,Z"fz(z) = F； (z) =«1 e=Ocz v1,$(e-1),zK1.系統(tǒng)L ,19 設(shè)部件 L的壽命X EG ) , L2的壽命Y E( J，按下圖聯(lián)結(jié)構(gòu)成即當(dāng)部件L1損壞時，部件L2立即開始工作，求系統(tǒng) L的壽命Z的概率密度.-?xeX的密度為fx (x)=I 0 ,、：ef,Y的密度為fY (y)=I 0 ,設(shè)Z的密度為fz，則x 0,其他.y 0, y< 0.L1L2fz ( Z

23、)二：:f< ( X) f (Zx>:dx ei(zJ<),x - 0,其他.fx(x)fY(Z" 0z -x 0,當(dāng):-=時z - 0 時,z 0時,fz (z) = 0zfz(z)二 訂上 e'e" ：)xdx1(3xP-ae-a0(eYeiZ),匸fz(z)： 2e嚴(yán)2ze綜相所述Z =X Y的密度為0fz(z)=< aP-尹),z 0.0, ZW0,fZ =2_-zze, zaO.20 設(shè)(X,Y)的概率密度為3x, 0 c y ex, f(x,y)科o,其他.求Z =X -Y的概率密度.0 ： x ： 1,解1利用Z = X kY的

24、密度公式:fz(z)；f(z-ky, y)dy，bef (z y, y),dy其中不等式f(z y, y)0 ： z y ：1, z _0 或 Z3( z y),0 ： z y ： 1, z 0, y 0,|0,其他.z 0, y 0確定平面域如圖-1 時 fz(z) =0,0 z : 1 時，z +54 / 211/3232fz 二 0 3(z y)dy =3z(1-z)石(1 - z) =?(1-z).432(1_Z2),0<z<1,fz (z)二 2、)0,其他.# / 21設(shè)Z的分布函數(shù)為Fz(z) =P(Z ")Fz (z)，密度為 二 P(X -Y _ z)f

25、z(z)，則! f(x, y)dxdyx-y立zM,二 o o 3xdxdy 亠！ i 3xdxdy, 0 z 1,1 ,0 ,31 3盲寧，1 ,Z",0 z ： 1,z 1.z_1.55 / 2132(1 - z2),fz(z) = Fz (z) = 2 v 八00 ： z < 1,其他.21 設(shè)隨機(jī)變量(X ,Y)的概率密度為X2旳2f(x,y) =：re 2疋,2 二；2 2=X Y的概率密度fz.設(shè)z的分布函數(shù)為Fz，則:X,目：.:,56 / 21Fz(z) =P(Z z) =P(X2 Y2 乞 z)z 0JJ f(x, y)dxdyx2 亠y2 M# / 21x2

26、y2_zPx2 -y2dxdy# / 21# / 212二;J2 e# / 21# / 21r20z¥令r - urdr0 ,du 故 fz (z)=r2V2z= 1-e，Z =X22 .設(shè)隨機(jī)變量 X與Y獨(dú)立,-Y的概率密度fz (z)1_2；"z 0.zM,. 0故 fz(z) =Fz (z)二 _1_【2X N(，二 2) , 丫 U-二二，試求z 0.57 / 21i由卷積公式fz(z)二.：fx(x) fY(z -x)dx,_ O0 £ x £十處，一兀蘭Z _ X蘭兀其中其它.fx(x) fY(z_x) = <2兀“莎J 0,不等式：x

27、 ；：,-二Z-X乞二確定平面區(qū)域 D :# / 21Z知1fz zp£e令t上Ib 1當(dāng)-；：:z ： :時(xjl22寸dxz -,： - ',a -2 二"(z v)(z- .t2edt58 / 21# / 21解2用變量代換：fZ(z) = j_”fx(z -y)fY(y)dy .丄2 二說-1時fz(z)二fx(z-y)fY(y)dye 2；- dy八"卻2點:冷2二；因為 YUm,二所以當(dāng)-二：:：y :：二時 fY (y)-oOji令 u =z _y(u_h22尸z2 二, 2 二；du(U_J2e 2乎 du 二z 2 . 2 二；1 z

28、-z -'打- i(-).# / 21解ydy dx, z 0.z2z- z1-e -zez 0.23 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為 宙"x>0, y>0,f(x y) = 2(,y)0,其他.2Y的分布函數(shù)FZ (z).FZ (z)二 P(Z _ z)二 P(X 2Y _ z)二 f (x, y)dxdyx2y 立1 0J2 2擰-0 - 0'0 ,24設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在矩形G二(x, y)|0乞2, 0<y< 1上服 從均勻分布，試求邊長為 X和Y的矩形面積S的概率密度f(s).# / 21其中解i設(shè)矩形的面積為S，則S = X

29、Y，又設(shè)S的分布函數(shù)為Fs (s)，則Fs(s) =P(S es) =P(XY es)二 (x, y)dxdy.xys込0,0 . s 2,S-2.1s_2.1f (滬Fs (滬尹2"訶丨0利用乘積的密度公式f(s .? (-, y)- y工1(-,yH 2,yy I。，當(dāng)S冬0或s _2時f(s) =0,當(dāng) 0 ： s ： 2 時0 ： s ： 2,0<y <1,其他.1dy |y|綜上所述1 1f(s)7hyIn y2(l n2_l ns)260 / 210 ： s ： 2,其他.1(In 2-1 ns), f(s)=<20 ,25 設(shè)X和Y為兩個隨機(jī)變量，且P

30、X _0, Y -03, P(X _0) =P(Y _0) = 4,求 Pmax( X,Y) _0.解 P maxX Y 畠）£P XM U 0 冷（=0PX蘭（+ P0 Y4435-PX _0, Y _0777726 .設(shè)',是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個隨機(jī)變量，已知'的分布律為1P（ =丄，i =1,2,3，又設(shè) X =max（ , ），Y =min（,），試寫出二維隨3機(jī)變量（X,Y）的分布律及邊緣分布列并求P二）.解 X的可能值為1,2,3，Y的可能值為1,2,3.1 P(X =1,Y =1) = Pmax( , ) =1, min( , )=1 =P( =1,=1),961 / 21# / 21# / 21# / 21假設(shè)一電路裝有三個同種電器元件， 其工作狀態(tài)相互獨(dú)立， 且無故障工 作時間都服從參數(shù)為'0的指數(shù)分布.當(dāng)三個元件都無故障時，電路正常工作， 否則整個電路不能正常工作，試求電路正常工作的時間 T的概率分布.# / 21解 設(shè)T的分布函數(shù)為 Ft (t)，第i件元件的壽命為 Xi，其分布函數(shù)為F(x).則FT(t) = P(T 汀)二 Pmin(Xi ,X2,X3)汕31-F(t) eP t>0,0 , "0