高等數(shù)學(xué)D32函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)ppt課件

1、第三節(jié)兩類(lèi)問(wèn)題: 在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級(jí)數(shù)求 和展 開(kāi)本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 展開(kāi)函數(shù)為冪級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 第十二章 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱(chēng)為拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱(chēng)為 f (x) 的 n

2、 階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(為 f (x) 的泰勒級(jí)數(shù) . 則稱(chēng)當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱(chēng)為麥克勞林級(jí)數(shù):反例反例 : 設(shè)設(shè)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 . 0)0(),0(1exp)(2fxxxf由于), 2 , 1 , 0(0)0()(nfn則對(duì)應(yīng)的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)為nxnxx!0! 200020).(xf)0(fxf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), )(0 x那么 f (

3、x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿(mǎn)足:.0)(limxRnn證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 （泰勒中值公式）充要定理定理2. 假設(shè) f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù), 則這種展開(kāi)式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè)設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為所展成的冪級(jí)數(shù)為),(,)(22

4、10RRxxaxaxaaxfnn那么;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 顯然結(jié)論成立 .)0(0fa 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn是否驟如下 :展開(kāi)方法展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接

5、展開(kāi)法 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式為0. 的函數(shù)展開(kāi)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例1. 將函數(shù)將函數(shù)xexf)(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿(mǎn)足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ).(0! ) 1(,! ) 1(11nnxRxnxnn通項(xiàng)是收斂級(jí)數(shù)例例2. 將將xxfsin)(展開(kāi)成

6、 x 的冪級(jí)數(shù).解解: )()(xfn)0()(nf得級(jí)數(shù):x)sin(2nx其收斂半徑為 ,R對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿(mǎn)足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos類(lèi)似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上

7、頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例3. 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1 ()(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解: 易求出易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得級(jí)數(shù) mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (x

8、Fx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F那么推導(dǎo) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 為避免研究余項(xiàng) , 設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱(chēng)為二項(xiàng)展開(kāi)式 .說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 由此得 對(duì)應(yīng)1,2121m的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x111

9、x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ) 11(1112xxxxxn2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 (2. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)橐驗(yàn)閚nxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例5. 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf展

10、開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到 x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例6. 將將xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的冪級(jí)數(shù). 2)4(

11、!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 例例7. 將將3412 xx展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)

12、數(shù)展開(kāi)式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)0)(xxf在處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同

13、 ?提示提示: 后者必需證明后者必需證明, 0)(limxRnn前者無(wú)此要求.2. 如何求xy2sin的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1 (xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(nxnnmm!)() 1(nxnnmm! ) 1() 1() 1(例例3 附注附注補(bǔ)充題補(bǔ)充題 1.將下列函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因而 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 完畢 )1 (lnxx1, 1