二十：幾何探究型問(wèn)題

1、2019年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練一一專題二十：幾何探究型問(wèn)題1.（ 2019重慶A卷）如圖，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連結(jié) AE, EML AE垂足為E,交CD于點(diǎn)M, AFL BC垂足為F, BHL AE垂足為H,交AF于點(diǎn)N,點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，連接 CP(1 )若 DF=2AP=4, CP=J17 , CD=5,求厶 ACD勺面積.(2 )若 AE=BN AN=CE 求證：AD= . 2CM+2CE作CGLAD于 G如圖1所示:設(shè) PG=x ,則 DG4-X , 在 Rt PGC中 , GC=CP-PG=17-x2 , 在 Rt DGC中 , GC=CD-GD=52- (4-

2、x) 2=9+8x-x2 ,2 2 17- x =9+8x- x , 解得：x=1,即 PG=1, GC=4 ,/ DP=2AP=4 , AD=6 ,-Sa ACD 1 1ADx CG6 x 4=12 .2 2（2）證明：連接NE如圖2所示:/ AHI AE AF丄 BC, AE! EM/ AEB/ NBI=Z AEB/ EAF=Z AEB/ MEC90° ,/ NB=/ EAf=Z MECNBF "EAFI在厶 NBFH EAF中 , M BFN 乙 EFA ,AE 二 BN NBFA EAF BF=AF, NF=EF,/ ABC45° , / EN=45

3、76; , FC=AF=BF, / ANE/ BCD135° , AD=BC=2AFMEC EAF在厶 ANEm ECM中 ,AN =EC,ANE =/ECM ANEA ECM CM=NE又 N N MC2 2 AF = MCEC2 AD= 5/2MG2ECC重合），2. （2019廣州）如圖，等邊 ABC中 , AB=6，點(diǎn)D在BC上 , BD=4，點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形FDE(1) 當(dāng)點(diǎn)F在AC上時(shí)，求證：DF/ AB8的最大值;(2) 設(shè)厶ACD勺面積為$, ABF的面積為記8=S-Sz, S是否存在最大值？若存在，求出若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(

4、3)當(dāng)B, F，E三點(diǎn)共線時(shí)求 AE的長(zhǎng).解：（1）證明： ABC是等邊三角形,/ A=Z B=Z C=60°,由折疊可知：DF=DC且點(diǎn)F在AC上,/ DFC/ C=60°,/ DFC/A, DF/ AB.(2)存在,如圖，過(guò)點(diǎn)D作DMLAB交AB于點(diǎn)M，/ AB=BC=6, BD=4, CD=2 DF=2,點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上, 當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí)，Smbf最小,/ BD=4, DML AB / ABC60°, MD=2 . 3 ,- Sa ABF 的最小值=6 x2 S最大值(3)如圖，過(guò)點(diǎn) D作DGLEF于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)E作EHL CD于點(diǎn)H, C

5、DE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形FDE DF=D(=2，/ EFD=/ C=60°,/ GDL EF, / EFD=60°,- F&1, DG3 FG= . 3 ,/ bd=bG+dG,2 16=3+ ( BF+1),- BF = , 13 -1,- BG= . 13 ,/ EHL BC / C=60°,/ GBDZ EBH / BGD/ BHE90°,DGBG迢.13EHBHEC13-1, AE=AG EO713 APB/ BPC=135 °3. ( 2019 安徽)如圖，Rt ABC中，/ ACB90°, AG=BG P% ABC

6、內(nèi)部一點(diǎn)，且(1) 求證： PABA PBC(2) 求證：PA=2PC(3) 若點(diǎn)P到三角形的邊 AB BC CA的距離分別為hi, h2, h3,求證hi2=h2 h3.證明：(1 )/ ACB=90 ° , AB=BC/ ABC45° =Z PBA+Z PBC又/ APB=135 ° ,/ PAB/ PBAf45°,/ PBC / PAB又/ APB=/ BPC135 PABA PBC(2) PABA PBC.PA PB ABPB " PC " BC， 在 Rt ABC中, ABACABBC.pbt2pc, pa*2pb， PA=

7、2PC(3)如圖，過(guò)點(diǎn) P作PDLBC PEL AC交BC AC于點(diǎn)D, E, PF=hi, PD=h2,PE=h3,B/ CPB/APB：135° +135 ° =270°,/ APC90 ° ,/ EAF+Z ACP90°,又/ ACB=/ ACI+Z PCD90°,/ EAF=Z PCD Rt AEP Rt CDPPEDPAPPC=2，即2 ,h2 - h3=2 h2,h _ ABh2 BC- h 二莎,2 2hi2 h2 2h2 h2 = h2h3.即：hi2=h2 hs.4. ( 2019深圳)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A

8、(3, 0), B (-3 , 0), C( -3 , 8)，以線段 BC為直徑作圓，圓心為 E直線AC交O E于點(diǎn)D,連接0D(1) 求證：直線0D是O E的切線；(2)點(diǎn)F為x軸上任意一動(dòng)點(diǎn),連接 CF交O E于點(diǎn)G連接BG當(dāng)tan / ACF二1時(shí)，求所有7F點(diǎn)的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出)；求匹的最大值.CF解:(1)證明：如圖1,連接BDC90 °BDA90 °OA=OBOD=OB=OA:丄 OBDZ ODB / EB=ED/ EBD/ EDB EBI+Z OBD/ EDB/ODB即/ EBO/ EDOCB丄 x 軸， / EBO9O ° , / EDO9O

9、76; ,/點(diǎn)D在O E上，直線OD為O E的切線.FiN 丄 AC / ANF=/ AB(=90°, ANFA ABC AN _ NF, _ AF,"AB BC AC， AB=6, BC=8,二 ACh JaB2 BC2 = ：62 82 =10，即 AB： BC： AC=6 : 8 : 10=3 : 4 : 5,設(shè) AN=3k，貝U NF=4k, AF=5k, CN=CAAN=10-3k, tan /4k -，解得:CN 103k 7 AF1*5031OFi =3 一50 二43，即 Fi ( 43 , 0)313131如圖3，當(dāng)F位于BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò) F2作F2M

10、ILCA于M.設(shè) AM=3k，則 MF=4k， AF2=5k, CM=CA+AMH0+3k, tan / AC-FMCM4k _210 3k " 7解得: AFa=5k=2,OF=3+2=5, 即 F2 (5, 0),故答案為:F1 ( 43 ,0), F2 (5, 0)31方法1:如圖4,-CB為直徑，/ CGBZ CBI=90°, CBGA CFB BG _ BC _ CGBF 一 CF 一 BC， BC=CG CF,CF=BC-CG，cG+bG=bC, bG=b$ cG,2 2 2 2 2BG = BC -CG = (64 -CG ) CG CF2 一 BC4 一64

11、2CG2. BGCG2(64 -CG2)CF 一64'2-32 2=-(C032) 2+322,令 y=CG ( 64- CG) =- CG+64CG=- ( CG-32 ) 當(dāng)cG=32時(shí)，y最大值=32 此時(shí) C(=4 . 2 ,BG32 1(齊)最大值=6T2方法2:設(shè)/ BCG a，貝U sinBGBC sin aCOS aBG'/( sina -COs a ) 2> 0,即:a =BC 2 sincos, 2 a+COs a> 2sin a cos a ,22人-sin a +COS a =1 ,1 BG 1 sin a COS a <即< 2

12、 CF2匹的最大值CF5. ( 2019寧夏)如圖，在ABC中，/ A=90°,AB=3, AO4,點(diǎn)M Q分別是邊 AB BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)與A, B重合)，且MQ_ BC過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線 MN交AC于點(diǎn)N,連接NQ設(shè)BQ為x.(1) 試說(shuō)明不論 x為何值時(shí)，總有 QBMb ABC(2) 是否存在一點(diǎn) Q使得四邊形 BMN3平行四邊形，試說(shuō)明理由;(3) 當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形 BMN(的面積最大，并求出最大值.解：(1 )T MQ_ BC,/ MQB90 ° ,/ MQBZ CAB 又/ QBIMZ ABC QBMbA ABC(2) 當(dāng)BQ=MN時(shí)，四邊形 BMN為平行

13、四邊形,/ MIN/ BQ BOMN四邊形BMN為平行四邊形.(3) / A=90°, AB=3, AC=4, BC 仝 AB2 AC2 =5，/ QBIVb ABC，即-QM=列AB AC BC 34545解得，QM_x, BM x,3 3/ MN/ BCMNBCAB，即MN3-32452 75(x-)2732327532 .6. ( 2019江西)在圖1，2，3 中，已知丨丨 ABCDZ ABC120。，點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE 以 AE為邊向上作菱形AEFG 且/ EAG120 °25解得，MN5,1 254則四邊形BMN的面積(5x+x)x =2 9345當(dāng)

14、x時(shí)，四邊形BMN的面積最大，最大值為32(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，/ CE=(2) 如圖2,連接AF.填空：/ FAD/ EAB(填“ >”“=”);求證：點(diǎn)F在/ ABC的平分線上.(3)如圖3,連接EG DG并延長(zhǎng)DG交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,當(dāng)四邊形AEGH是平行四邊形時(shí)，求BCAB值.解：(1)四邊形 AEFG1菱形,/ AEF=180 ° - / EAG60/ CEF=Z AEG/ AEf=60故答案為：60°(2 ，四邊形 ABCD是平行四邊形,/ DAB180 ° - / ABC60 ° ,四邊形 AEFG是菱形，/ EAG1

15、20 ° ,/ FAE=60 ° ,/ FAD=/ EAB故答案為：=.證明：如圖，作 FML BC于M FN! BA交BA的延長(zhǎng)線于 N,則/ FNB：/ FMB90°,/ NFIM60°，又/ AFE=60/ AFN=Z EFM/ EF=EA / FAE=60°,AEF為等邊三角形， FA=FE,AFN 二EFM在厶 AFND EFM中,FNA = FME ,FA 二 FE AFNA EFM( AAS FN=FM 又 FML BC FN1 BA點(diǎn)F在/ ABC的平分線上.(3)如圖，D C四邊形 AEFG是菱形，/ EAG120 °

16、; ,/ AGF60 ° ,/ FGEZ AGE30°,四邊形AEGH平行四邊形， GE/ AH/GA=Z AGE30°,Z H=Z FGE=30 ° ,/ GAN90°，又/ AGE30°, GN=2AN/ DAB60。，/ H=30 ° ,/ ADH30 ° , AD=AH=GE四邊形ABCC為平行四邊形， BCAD BC=GE四邊形 ABEF為平行四邊形，/ HAW/ EAB30°,平行四邊形ABEF為菱形， AB=AN=NE GE=3AB>.BCAB3.7. ( 2019海南)如圖，在邊長(zhǎng)為

17、 1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn) P是邊AD上一點(diǎn)(與點(diǎn) A、D不重合)，射線PE與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q(1) 求證： PDEA QCE(2) 過(guò)點(diǎn)E作EF/ BC交PB于點(diǎn)F,連結(jié) AF,當(dāng)PB=PQ時(shí), 求證：四邊形 AFEP是平行四邊形； 請(qǐng)判斷四邊形 AFEP是否為菱形，并說(shuō)明理由.解：(1)證明：四邊形 ABCD是正方形,/ D=Z ECO90°,/ E是CD的中點(diǎn)， DE=CE又/ DEf=Z CEQ PDV QCE(2 證明：T PB=PQ/ PBQ/Q,/ AD/ BC/ APB：/ PBQ/ Q=Z EPD/ PDi QCE PE=QE/ EF/ BQ

18、 PF=BF,在 Rt PAB中，AF=PF=BF,/ APf=Z PAF/ PAf=Z EPD PE/ AF,/ EF/ BQ/ AD,四邊形AFEP是平行四邊形；四邊形AFEP不是菱形，理由如下: 設(shè) PD=x ,則 AP=1-x ,由（1）可得 PDEA QCE CQ=PD=x , BQ=B（+CQ=1+x ,點(diǎn)E、F分別是PQ PB的中點(diǎn), EF > PBQ的中位線,1 + x由知AP=EF,即1-x二丄叢2 ，1解得x二，312 PD , AP=_,331 在 Rt PDE中 , DE= ， 2, iD2 DE2 于 AP PE四邊形AFEP不是菱形.8. （ 2019陜西）問(wèn)

19、題提出:（1）如圖1，已知 ABC試確定一點(diǎn) D,使得以A, B, C, D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè) 平行四邊形；問(wèn)題探究：（2） 如圖2,在矩形ABCDL AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的BPC且使/ BP（=90。，求滿足條件的點(diǎn) P到點(diǎn)A的距離；問(wèn)題解決：（3） 如圖3，有一座塔 代按規(guī)定，要以塔 A為對(duì)稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)BCDE根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn) B是定點(diǎn)，點(diǎn)B到塔A的距離為50米，/ CBE=120°,那么，是否可以 建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCD

20、E勺最大面積；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.（塔A的占地面積忽略不計(jì)）解：（1）圖3（2）如圖,圖2/AB=4, BC=10,.取 BC的中點(diǎn) Q 貝U OE>AB以點(diǎn)Q為圓心，QB長(zhǎng)為半徑作O Q, O Q定于AD相交于P, F2兩點(diǎn),連接BF, FC, FiQ / BP(=90。，點(diǎn)F不能再矩形外， BPC的頂點(diǎn)Pi或F2位置時(shí)， BPC的面積最大，作PE± BC 垂足為E,貝U QE=3, AR=BE=QB QE=5-3=2 ,由對(duì)稱性得AP= 8.(3)可以，如圖所示，連接BD團(tuán)？/ A為 BCDE勺對(duì)稱中心，BA=50，/ CB曰20°, BD= 1 00,/ BE

21、D60°,作厶BDE的外接圓O O,則點(diǎn)E在優(yōu)弧bd上，取 BED的中點(diǎn)E',連接 E' B, E' D,則 E' B=E' D,且/ BE D=60°,.A BE D為正三角形.連接E' Q并延長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A至C',使E A=AC，連接BC , DC ,/ E ' A丄 BD四邊形E ' D為菱形，且/ C BE =120°,作 EF丄 BD 垂足為 F,連接 EQ 貝U EF< EGQAE ' OQAfE' A,11 Sa bde BD- EF BD- E '

22、 A=Sxe ' bd,22 S平行四邊形 BCD生 S平行四邊形BC DE =2 Sa E bd=1002 sin 60 ° =50003 ( mi), 所以符合要求的BCD啲最大面積為5000., 3吊.9. ( 2019天津)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn) A (6, 0),點(diǎn)B在y軸的正半軸上，/ ABO30°.矩形 CODE勺頂點(diǎn) D, E, C分別在 OA AB OB±, 01=2.(I)如圖，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；(H)將矩形 COD沿 x軸向右平移，得到矩形CO'D'E',點(diǎn)C,O,D,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C', O

23、 ,D' , E'.設(shè)OO =t，矩形C O D'與厶ABC重疊部分的面積為 S. 如圖，當(dāng)矩形 C O D' E'與厶AB®疊部分為五邊形時(shí)，C E' , E ' D分別與AB相交于點(diǎn) M F,試用含有t的式子表示S,并直接寫(xiě)出t的取值范圍； 當(dāng).3空Sw5、3時(shí)，求t的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).圖圖解：(I)：點(diǎn) A (6, 0),OA=6,OD=2, AD=OAOD=6-2=4 ,四邊形COD是矩形， DE/ OC/ AED/ ABO30°,在 Rt AED中,AE=2AD=8,ED=、AE2_ AD2 =8

24、2- 42= 43 ,OD=2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2, 4、3）.(H)由平移的性質(zhì)得：O' D =2, E' D =4j3 , ME =OO =t , D' E / O C / OB/ E' FMhZ ABO3O°,在 Rt MFE 中，MF=2ME =2t , FE *MF 2 _ ME '2 =(2t)2 -t2 =、3 t ,1 i?3t2SmfeME FEt ：3t =,2 22S 矩形 c o' d e ' =O D E D =2 x 4 J3 = 8-.j3 , S=S 矩形Co D e ' - Sa mfe=

25、8V S=_2t2+8、.3，其中t的取值范圍是：0<t<2;2當(dāng)s= .3時(shí)，如圖所示：圖OA=OAOC>6- t,/ AOF=90°,Z AFO / ABO30°, O F=、3oa=(6-t),-S = 1 ( 6-t) G (6-t)=、,3,2解得：t=6 -.2, 或t =62 (舍去)， t=6_、. 2 ；當(dāng)S=5、. 3時(shí)，如圖所示：ErG0A=6-t , DA=6-t-2=4-t , OG-3 (6-t), D F = 73 ( 4-t),二 S = 1【、3 (6-t)、3 (4-t) X 2=5、_3 ,5解得：t2一5當(dāng).3空Sw5、3時(shí)，t的取值范圍為t < 6 -.2 10. (2019北京)在厶ABC中, D, E分別是 ABC兩邊的中點(diǎn)，如果 DE上的所有點(diǎn)都在厶 ABC的內(nèi)部或邊 上，則稱DE為厶ABC的中內(nèi)弧.例如，圖1中de是厶ABC的一條中內(nèi)弧.(1) 如圖2,在Rt ABC中, AB=AC=2.2 , D E分別是AB AC的中點(diǎn)，畫(huà)出 ABC的最長(zhǎng)的中內(nèi)弧 DE ,并直接寫(xiě)出此時(shí) de的長(zhǎng)；(2) 在平面直