二次根式知識(shí)點(diǎn)詳解與精點(diǎn)訓(xùn)練

1、次根式知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如 J （口工）的式子叫做二次根式。在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以 “一】是、J為二次根式的前提條件，如，1，*'1 ''等是二次根式，而 J ，等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a± 0時(shí)，二 有意義，是二次根式。所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2. 二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根， 所以當(dāng)a< 0時(shí)，丿沒有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（二二】）的非負(fù)性“（：工

2、）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（山工'）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即 三 0 ( * )。三0）這個(gè)性質(zhì)和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多,如若 G 八,則 a=0,b=0 ;若' I ' _ ，則 a=0,b=0 ;若,則 a=0,b=0 。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（'）的性質(zhì)(;)知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)六：與：一即：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。-a （YOj= |of| =的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)”與表示的意義是不同的，'表示一個(gè)正數(shù) a的算術(shù)平方根的平方，而：表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在、 中二-，而弋中a可以是正實(shí)數(shù)，0

3、,負(fù)實(shí)數(shù)。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的,if2、相同點(diǎn)：都是非負(fù)數(shù)，即 L。當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即l. - L時(shí),知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算(1) 因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的 算術(shù)平方根代替，從而移到根號(hào)外面； 如果被開方數(shù)是代數(shù)式和的形式，那么先分解因式，變形為積的形 式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面.(2) 二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘(除)，所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

4、Vab = 4a b ( a>0 b>0 ；(4) 有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及 多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算.本節(jié)中還要記住一些常見根式的約等數(shù)，常見的有.21.414;.31.732;,52.236 ;、72.646【主要題型】二次根式有意義的條件:例：求下列各式有意義的所有 x的取值范圍。g 2X；(2)，' 1()L；練習(xí)：1當(dāng)X是多少時(shí)，下列程式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 3x 1、 2x 3 + 1、X3 +x2、. x 2, 1 2xx 1 x2.使式子(x 5)2有意義的未知數(shù)x有()個(gè).A. 0B . 1C.

5、 2D .無數(shù)3.已知y=、2 x+ , x 2 +5，求的值.y4.若'-3x + Jx 3有意義，則Jx =.5.若' m1有意義，則m的取值范圍是。最簡(jiǎn)二次根式例：把下列各根式化為最簡(jiǎn)二次根式:(1) . 96a3b a 0, b 0(2),25025a2b3121c4 a0, b 0分析：（1 ）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式; 因數(shù)或因式。同類二次根式：（2 ）被開方數(shù)中不含能開得盡方的例：判斷下列各組根式是否是同類根式:(1)175； ：316；3：854分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后， 如果被開方數(shù)相同， 那么這幾個(gè)二次根式 就叫做同類二次根式，所以判斷

6、幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式， 首先要將其化為最簡(jiǎn)二 次根式。分母有理化：如果.2 與-2，例：把下列各式的分母有理化：1 375（1）2；2；（2）2、3.2 ；分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，如- 5. 3與.5. 3均為有理化因式。化簡(jiǎn)與求值:例1 ：計(jì)算:一 151V2分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特 別注意運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。例2:化簡(jiǎn):a 4b(1)a 2 ba 4 . ab 4b分析：應(yīng)

7、注意21 )式 a 0, b 0 ,所以 a ,a , b-2b , a 4b可看作2可利用乘法公式來進(jìn)行化簡(jiǎn),使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。例3 :化簡(jiǎn)(1) .st3 s 0 *6 2 x 463-! 323 233例4:已知：a， b求：ab a b的值。2 2分析：如果把a(bǔ)，b的值直接代入計(jì)算a3，b3的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到3 遼與、2互為有理化因子可計(jì)算a b, a b ,然后將求值式子化為a b與a b的形式。在運(yùn)算過程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)和積累。比較大小(1) 根式變形法當(dāng) a 0, b 0時(shí)，如果a

8、b，則a Jb ；如果a b ,則a , b。例：比較3.5與5.3的大小。(2) 平方法當(dāng)a 0,b 0時(shí)，如果a2 b2，則a b ；如果a2 b2，則a b。例：比較3 2與2、3的大小。(3) 分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。2 1例：比較與的大小。V3 1 V2 1(4) 分子有理化法通過分子有理化，利用分母的大小來比較。例：比較,1514與.14 ,13的大小。(5) 倒數(shù)法例5:比較.7,6與/6,5的大小。(6) 作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)： a b 0 a b : a b 0 a b例：比較2 1與2的大小。V3 1 V3(7) 求商比較

9、法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng) a>0， b>0時(shí)，則：aa1 a b ;1 a bbb例：比較5.3與2 一3的大小。規(guī)律性問題例1.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程:22-F-，*3+|(2° 2) + 22(2a-l)+2驗(yàn)證：驗(yàn)證匚8尸一123-1j 二；(1)(羅 3)+3 _ 加羅卄+332-1=按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想3?18的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證;(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用 n(n >2且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程例2.已知，則a=發(fā)展：已知.|- i. I，則a=1十爲(wèi)運(yùn)十曲右十2 的9十1010+ aB. 2 C. 2例4、

10、已知a>b>0, a+b=6 -、05，則丄?b的值為（）A .丄2梟伍2例5、甲、乙兩個(gè)同學(xué)化簡(jiǎn)八二：時(shí)，分別作了如下變形:y/h = = ： r a-b石-靠 需-亦j需+詼）''躬_ b屜梟 c局-屈“盡_（赳-b） _其中（）A.甲、乙都正確在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：B.甲、乙都不正確C.只有甲正確 D.只有乙正確2(1) 2x - 442(2) x - 2x 3.綜合應(yīng)用：如圖所示的Rt ABC 中, 點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn) PBQ的面積為35平方厘米？/ B=90。，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問

11、：幾秒后 PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1 化簡(jiǎn)：（1）72(2). 252 242(3)6 12 18(4) . 75x3y2 (x 0,y 0)(5)20-42.（安徽）化簡(jiǎn)4 23計(jì)算J的結(jié)果是A .2B.± 2C. -2D.4. 化簡(jiǎn):（1）-.9的結(jié)果是；(2)( 08,南京)J2 3的結(jié)果是(3) 5罷 J8)=; ( 4)( 08,黃岡)5仮-2你=_5 計(jì)算 8、2的結(jié)果是A、6B、： 6C、2D、26. .3的倒數(shù)是。7. 下列計(jì)算正確的是A '廠 B ； TC 心 廠8. 下列運(yùn)算正確的是A、1.60.4 B、1.5 21.5

12、 C、. 939. 已知等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為3<3，則 ABC的周長(zhǎng)是10. 比較大?。? 、10。11. 使.x 2有意義的x的取值范圍是12. 若式子x 5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是A.x>-5B.x<-5C.xM -5D.x> -513.函數(shù).V -x-1中，自變量工的取值范圍是14.下列二次根式中,x的取值范圍是x>2的是.2 xB、 ,'x+21x 215.F列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是A. . a2 1B.C. .8D. ,2716.F列根式中不是最簡(jiǎn)二次根式的是A.10-6D. 217.F列各式中與是同類二次根式的是18.B.

13、/C.VsF列各組二次根式中是同類二次根式的是A.、12與B . .18與.27D . 45與 5419.已知二次根式 J "'：與心:是同類二次根式，則的a值可以是A、5B、6C、7D、820.若 x. a、b, y.a > b ,則xy的值為A . 2 . aB. 2 . bC. a bD. a b21若 a 2、b 320，則ab1 122.計(jì)算：(1)4 石一 4耳斤十 3 乞 2(2)+-32V 25 Y 2(3)23.先將啓弋d化簡(jiǎn)，然后自選一個(gè)合適的值，代入化簡(jiǎn)后的式子求值。24.如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置,化簡(jiǎn)：. a2. b2, (a b)2il二

14、1b-101【拓展訓(xùn)練】-、分式，平方根，絕對(duì)值;1. va2(JR2成立的條件是2.當(dāng)a時(shí)，宴 1 ；當(dāng)a時(shí)，=1。aa3 若a2a，則 a；若、；a2 a，貝U a4.把x 1； x1!根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為 一5. 把-3 !a根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為 6. xv y，那么化簡(jiǎn) y x J(Xy) 為10. 若a+劃4b與73a+ b是同類二次根式，則 a=, b=11. 求使 aF為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)a的值為。二、根式，絕對(duì)值的和為0 ；III21.若 J(a 5)2 J(2b3)2 =0,則 Jab =2.如果.a2 2ab b2 a 30求b 2a的算術(shù)平方根。a b=y 2

15、的值。x6. 在厶ABC中，a, b, c為三角形的三邊，則(a b c)2 2c7.已知y J 8x 、8x 1 -,求代數(shù)式X y 2 x2Fyx y8.如果 y-+ Jjr 4 2, y 2工 + y = 三、分式的有理化1已知x=f+ 尸弋亍，求x2y2的值。5.已知x.3232，求下列各式的值;2 2x 3xy 2y x 2y x3 y3；四、整數(shù)部分與小數(shù)部分1后 的整數(shù)部分是 ，小數(shù)部分是 。aa K4已知x , x的整數(shù)部分為 a，小數(shù)部分為 b，求的值。2 <3a b五、根式，分式的倒數(shù);111. 已知x+ - =4,求x-的值。XX3.若-； " "'_ 的值;六、轉(zhuǎn)換完全平方公式；22 b1已知a b 4a 2b 50，求的值J 3b 2 寸 a3已知x, y是實(shí)數(shù)，.亠亠“ 八一訂，若a