第5章機械振動

1、第5章機械振動一、基本要求1. 掌握描述簡諧運動各物理量的物理意義及相互關系，能根據(jù)給定的初始條件建立簡諧運 動方程；2. 掌握旋轉矢量法，并能用以求解初相、相位、相位差、時間差：理解簡諧運動合成規(guī)律:3. 理解振幅、周期、頻率、相位等描述機械波的重要物理量。二、基本內容（一）本章重點和難點：重點：理解簡諧運動特征并能根據(jù)給左的初始條件寫出簡諧運動方程。難點：掌握旋轉矢量法在解題中的應用。（-）知識網(wǎng)絡結構圖：回復力公式:F = -U簡諧運動的定義諧運動方程：x = Acos（0 +卩） 諧運動微分方程:x" + eh = O 基本物理屋:振幅，周期，頻率，角頻率，相位，初相 典型例

2、子:彈簧振子，單擺，復擺 動能e =!/簡諧運動的能晁彈性勢能總能 1£ = Ea +Ep=-kA2簡諧運動的合成'同方向同頻率:仍為簡諧運動 同方向不同頻率:拍 垂直方向同頻率:橢圓運動 垂直方向頻率整數(shù)比于薩如圖形（三）容易混淆的概念:1. 初相和相位初相0反映簡諧運動物體在初始時刻的運動狀態(tài)：相位GJt +(p反映簡諧運動物體在任 意時刻的運動狀態(tài)。2. 角頻率和頻率角頻率(圓頻率)反映角位置隨時間的變化，對于諧振子而言，由勁度系數(shù)和質量決 左，又稱固有頻率；頻率豺是單位時間內完成全振動的次數(shù)，是周期的倒數(shù)。(四) 主要內容：1. 簡諧運動的基本概念：(1) 運動方程：

3、x = Acos(a)t +(p), xm = A(2) 速度方程：v = -614sin(<yf + cp) > vnl = coA(3) 加速度方程：a = -co2AcQscot + <p), am = co1 A(4) 周期：T = co(5) 頻率：v = = T X(6) 時間差與相位差的關系：0 = 竺CD2. 旋轉矢量法：在平而上畫一矢量戶，初始位置與X軸正方向的夾角等于初相位卩，其尾端固左在坐標 原點上，英長度等于振動的振幅A ,并以圓頻率e為角速度繞原點作逆時針勻速轉動，則 矢曲在詢上的投影為：2 23+0)。旋轉矢量做一次圓周運動，英矢端在X軸上投影點完

4、成一次簡諧運動。3. 簡諧運動實例：(1)彈簧振子振動方程：x = Acos(q/ + 0)(2) 單擺振動方程：&=q)cos(血+0)4. 簡諧運動的能量:動能：Ek = -mv2k 2E, = -kx2勢能： 2機械能：總能量（守恒）E = Ek+Ep=-kA1 =-mv =-kx2 +-mv2 "尸22225. 簡諧運動的合成：（1）兩個同方向、同頻率簡諧振動的合成：仍為簡諧振動：x = Acos（cot +（p）0英中合振幅和合初相分別為：A =+ A； + 2AA2 cosAA sin (p、+ A2 sin(p2 A cos® + A2cos?2a.

5、同相：當相位差滿足兀的偶數(shù)倍，即：0 = ±2R/r時，振動加強，Avmx = + A2：b. 反相：當相位差滿足兀的奇數(shù)倍，即：0 = ±（2k + l”r時，振動減弱，AW.V = |A,-A|O（2）同方向、頻率相近的兩簡諧運動介成后，振幅隨時間緩慢地周期性變化的現(xiàn)象稱 為“扭”,拍頻為"肌-S|；（3）同頻率、相互垂直的兩簡諧運動的合成，一般為橢圓運動；（4）相互垂直、頻率成整數(shù)比的兩簡諧運動介成，形成李薩如圖形。（五）思考問答：（1）問題1 符合什么規(guī)律的運動是簡諧運動？答：當物體所受的合外力大小與位移成正比且方向與位移方向相反時，即F=-kx；或物 體

6、的運動方程滿足時間的余弦或正弦關系，或物體的動力學方程滿足：2一 +<y2x = 0時，物體的運動為簡諧運動。（lr問題2 把一單擺從其平衡位置拉開，使懸線與豎直方向成一小角度0,然后放手任其擺 動。如果從放手時開始計算時間，此0角是否是振動的初相？單擺的角度是否是振動的角 頻率？答：不是。0為單擺的角振幅，此時單擺的初相0 = 0° ,單擺的角速度：0 = -®)QCOS(0T + &),振動的角頻率:問題3彈簧振子做簡諧運動時，如果振幅增為原來的兩倍而頻率減小為原來的一半，問他 的總能量怎樣改變？答：因為：E = -kA2 =-inco1A1,co=2m

7、,所以，當 A = 2Arv = 2vfrty2 =»2 24時，總能戢 E = mo)2A2 = a)2(2A0)2 = ma)Aj = Eo ,不改變。2 2 2問題4如何判斷振動物體的運動是簡諧運動？答：確左振動物體是否做簡諧運動的依拯是簡諧運動的運動學特征和動力學特征，即：a = -arx 或F = -3 或 + co2x = Oodr歸納起來，凡滿足下列情況之一者為簡諧運動：離開平衡位置的位移X和時間f滿足Acos(効+ 0):加速度a和位移x滿足a = -cd2x :回復力尸和位移x成正比而且反向(這樣的力稱線性回復力)：F = -kxxz/2v位移滿足簡諧運動的動力學方

8、程:+ 6?2X = O：dr運動過程中，物體的動能和勢能均隨時間做簡諧變化，且機械能守恒。問題5質點作簡諧運動時，位移、速度、加速度三者能同時為零，能同時有最大值嗎？答：依據(jù)簡諧運動的運動學方程：X = Acos(6X +(p)得：v = = -4<ysin(ef + (p)dta = = -Aty2 cos(6yr + (p)dt回答顯然是否左的，因為：位移為零時，加速度為零，速度則以最大值通過平衡位苣：位移最大時，加速度最大，速度則為零。問題6 兩個必須澄清的概念：把單擺的擺球拉開一個甚小的角度0 ,然后放手任其擺動，并在放手時開始計時.倘若彈簧問：(a) 0是不是單擺的初相；(b

9、)擺球的角度是單擺的角頻率嗎?對彈簧振子系統(tǒng)而言，忽略了彈簧的質量，則系統(tǒng)的角頻率為。= 的質量M不可忽略，振子系統(tǒng)的角頻率可以耘珂治嗎?答：d)(a)有些讀者可以認為：擺球從0角位垃開始運動，滿足初始條件，且初相的疑綱是 角度，故得岀0就是初相的結論，這是錯誤的。這里必須指出兩點：第一，兩個疑綱相同的 物理量，并不意味著其物理意義相同。例如：功和力矩具有相同的物理量綱，但物理意義完 全不相同：第二，簡諧運動中的初相能確定振動系統(tǒng)在初始時的運動狀態(tài)，而初相本身不是 運動狀態(tài)，不與某一具體角對應，只有在簡諧運動中，旋轉矢量圖中初相才表現(xiàn)為初始時刻 旋轉矢疑A與x坐標軸的夾角。在本題中，/=0時，

10、振動系統(tǒng)處在最大角位移嘰=(p處， 角速度為零，則初相為零。(b)錯誤。必須淸楚系統(tǒng)做簡諧運動時，它的角頻率是由系統(tǒng)本身的性質決左的，而與 其運動狀態(tài)無關，故又稱固有頻率。只有在簡諧運動的旋轉矢量圖中，矢量A逆時針旋轉的 角速度才表示振動系統(tǒng)的角頻率。不可以。第一，對于忽略質量的彈簧，振子偏離平衡位置時，彈簧中各部分中的彈性 力相同，即為振子受到的彈性力。若彈簧的質量不可忽略，則彈簧中各部分的彈性力不相同, 作用在振子上的彈性力無法列出：第二，彈簧振子的簡諧運動必須遵守牛頓左律，而牛頓左 律適用的條件之一是質點，若考慮彈簧的質疑，由于彈簧本身不能視為質點，故也就不能將 M加到加上去了。三、解題

11、方法1. 已知質點做簡諧運動的振幅、角頻率、初始條件等，求質點運動方程。此類題目一般先設 簡諧運動方程式,再先用旋轉矢量法或解析法由初始條件求得初相，再代入運動方程標準式。2. 已知質點做簡諧運動方程式，求其振幅、角頻率、周期、頻率、初相等物理量，一般用待 立系數(shù)法，與標準式相比較求解。Q四. 解題指導1. 簡諧振子從平衡位置運動到最遠點所需的最短時間為1/4 周期嗎？走過該距離的一半所需的時間為多少？是1/8周期 嗎？振子從平衡位置出發(fā)沿x軸正方向運動，經歷1/8周期時 運動的位移是多少？解：（提示：旋轉矢量法，設振子作水平振動，作X軸，若垂直旅動，作y軸。）振子作簡諧運動時，從平衡位置運動

12、到最遠點所需的最短時間是1/4周期。因振子的速度 Esin（"/+° ）不是常數(shù)，振子作變速直線運動，所以龍過該距離的一半所需的時間 不是1/8周期。從旋轉矢量圖中可以看出:振子從平衡位置P運動到A/2處M點時，相應的振幅矢量轉 過了兀人的角度：. 兀3 0= 6J工所以 6e 6 2tt 12也就是說，振子從平衡位宜°運動到A/2處所用的時間為丁/I2,而不是丁/8。而振子 從A/2處運動到最遠點的時間為：4126振子從平衡位置°岀發(fā)，經過丁/8時，位移為：x = Acos(.-|) = Acos() =2. 已知某質點作簡諧運動，振幅4燈“，周期0.

13、25$,初始時刻位于-A處且向正方向2運動，求質點的振動方程。（提示:求質點的振動方程，必須先求岀其扳動的振幅人，角 頻率少以及初相位。解：（提示，此題的關鍵是根據(jù)旋轉矢量法或解析法正確求岀初相位。）< 1） 求初相方法1旋轉矢量法=_3= 5質點時的振動相位（初相位）為。4 或。一方法2解析法將時，°2 代入簡諧運動方程有：-A = Acos（pCOS0 = -¥ = ±兀 即：24f =0時 v = -A6?sin0>0 即 sii）0<O 所以.取0 = 3兀/4也可取0 = 5兀/化(2)求角頻率2龍 兀CD =T 2所以，該質點的振動方

14、程為：x = 0.04cosQf-三)或兀=0.04cos(r + )2 4243. 一個沿、軸作簡諧振動的彈簧振子，振幅為A ,周期為卩，其振動方程用余弦函數(shù)表示.如 果/=0時質點的狀態(tài)分別是：(1) = A ；(2) 過平衡位置向正向運動；A(3) 過 =處向負向運動；2A(4) 過x = -一產處向正向運動試求出相應的初位相，并寫出振動方程.解：因為九v0 = _©4sin0o將以上初值條件代入上式使兩式同時成立之值即為該條件下的初位相.故有=龍X = Acos（亍/ + 7T）.3“rx R 3 、X = ACOS（t + 7T） T203 =蘭3342兀兀、X = HCO

15、S（/ + ）z 5”0 = r人S5、X= ACOS t + 7T）4. 一個質點同時參于兩同方向.同頻率的簡諧運動.它們的振動方向分別為:6cos（2r+ ）（C7?7）6試用旋轉矢量法求出合振動方程。解：(提示:由旋轉矢量圖或余弦定理求岀合扳幅和合初相。）A = Ja； +A； = /(36cm)2 +(64cm)2 = l(fcm| = ( - arctg)rad = (1.046- 0.643)rad= 0.403rad 38故合振動方程為：x = 10cos(2r-0.403)(c/n)5.圖為兩個諧振動的x-/曲線，試分別寫出其諧振動方程.3 解：由題圖（a）, /=0時，質點在

16、平衡位團心0（間為什么大于零），0o=二兀（或2 0o = 丄兀）.A = 10c ni T = 2s2即：3 = - =兀 rad-s"1T3故：xa =0lcos（?rr+ /r）m2由圖（b）,r = 0時，質點在處,v00,=（或-）233一秒時間內，旋轉矢量轉過的角度為：9 = -+- = - = = -5-*3 2616xh = 0.1 cos（ 7tt + ）m636.某振動質點的X-t曲線如圖所示，試求：（1）振動方程；（2）點P對應的相位；（3）其中A = 00八到達點P相應位置所需時間。解:（1）振動方程為x = Acos（曲+ 00）,0（）=-蘭（或竺）,所以

17、得：X = 0.10cos（r - ） IHt033243（2）由圖可見，點P對應的相位為0：兀/（3）質點到達點P點位置所需時間為：f = _3 = 1.6s（D五. 能力訓練1. 指出在彈簧振子中，物體處在下列位置時的位移、速度、加速度和所受的彈性力的數(shù)值和 方向：（1）正方向的端點：（2）平衡位置且向負方向運動：（3）平很位宜且向正方向運動:（4）負方向的端點。2. 作簡諧振動的彈簧振子，當物體處于下列情況時，在速度、加速度、動能、彈簧勢能等物 理量中，哪幾個達到最大值，哪幾個為零：（1）通過平衡位置時；（2）達到最大位移時。3. 兩個相同的彈簧掛著質量不同的物體，當它們相同的振幅作簡諧

18、振動時，問振動的能量是 否相同？4. 彈簧振子作簡諧振動時，如果振幅增為原來的兩倍而頻率減小為原來的一半，問它的總能 量怎樣改變？A5個質點作簡諧振動，振幅為A,在起始時刻的位移為-一，且向x軸正方向運動，代表2此簡諧振動的旋轉矢量為（）6已知某簡諧振動的振動曲線如左下圖所示，則此簡諧振動的運動方程為（）（A） x = 2cos（-r兀）3 34 2（C） x = 2cos（對一一龍）33（B） x = 2cos（對 + 龍）4 2（D） x = 2cos（加+ 兀）337兩個同周期簡諧振動曲線如右上圖所示，山的相位比七的相位（）(A)落后工(B)超前=(C)落后兀(D)超前兀2 28. 當質

19、點以頻率"作簡諧振動時，它的動能的變化頻率為()V(A) -(B) v (C) 2v(D) 4v29圖中所畫的是兩個簡諧振動的曲線，若這兩個簡諧振動可疊加，則合成的余弦振動的初相 位為()31(A) -n (B) 一龍 (C)冗(D) 010有一彈簧振子，振幅4 = 2.0x10-2?，周期7 = 1.05,初相 =.試寫出它的振動 4方程，并作出x-t圖、卩一7圖和a-t圖。11 有一彈簧，當其下端掛一質量為川的物體時，伸長量為9.8xl0"2/n。若使物體上下振動, 且規(guī)泄向下為正方向。(1)當/=0時，物體在平衡位宜上方8.0x10"2/h處,由靜上開始向

20、下運動，求運動方程；(2)當/=0時，物體在平衡位置并以0.60也$的速度向上運動，求運動方程。12. 作簡諧振動的物體，由平衡位置向x軸正方向運動，試問經過下列路程所需的最短時間 A各為周期的幾分之幾？(1)由平衡位置到最大位移處：(2)由平衡位置到x =-處：(3)2A由 =處到最大位移處。2 13兩質點作同頻率同振幅的簡諧振動。第一各質點的運動方程為山=Acos(Q + 0),當?shù)谝粋€質點自振動正方向回到平衡位置時，第二個質點恰好在振動正方向的端點。試用旋轉矢 量圖表示它們，并求第二個質點的運動方程及它們的相位差。14.如圖為一簡諧振動質點的速度與時間的關系曲線，且振幅為2c加，求(1)

21、振動周期：(2) 加速度的最大值；(3)運動方程。題14圖題15圖15如圖所示，質量為1.00x10和g的子彈，以500/7/-5-*的速度射入并嵌在木塊中，同時使彈簧壓縮從而作簡諧振動，設木塊的質量為499&g ,彈簧的勁度系數(shù)為800x10NL。若以彈簧原長時物體所在處為坐標原點，向左為x軸正向，求簡諧振動 方程。16質量為O.lORg的物體，以振幅1.0x10-2加作簡諧振動，其最大加速度為4求:（1）振動的周期：（2）物體通過平衡位置時的總能量與總動能；（3）物體在何處其動能和 勢能相等？（4）當物體的位移為振幅的一半時動能、勢能各占總能量的多少？17.質呈:加= 10g的小球

22、與輕彈簧組成一振動系統(tǒng)，按x = 0.5cos（8+-）的規(guī)律作自由振動，求（1）振動的角頻率、周期、振幅和初相；（2） 振動的能SE：（3） 一個周期內的平均動能和平均勢 能。兩個同頻率簡諧振動1和2的振動曲線如圖所示， 求（1）兩簡諧振動的運動方程“和心；（2）在同一 圖中畫出兩簡諧振動的旋轉矢量，并比較兩振動的相 位關系：（3）若兩簡諧振動疊加，求合振動的振動方 程。題18圖19若簡諧運動方程為:x = 0.10cos（20+0.25）,式中x的單位從的單位為幾 求：（1） 振幅.頻率、角頻率.周期和初相：（2） t = 2s Iht的位移、速度和加速度。20 放置在水平桌而上的彈簧振子

23、,振幅A = 2.0xl0% 周期T = 0.50s .當f=0時:（1）物體在正方向端點：（2）物體在平衡位置，向負方向運動：（3）物體在x = 1.0xl0-2/n處且向負方向運動；（4）物體在x = lOxlO-22且向正方向運動。求以上各種情況的運動 方程。21 有一彈簧，當其下端掛一質量為加的物體時，伸長量為/o=9.8x1O-2/h。若使物體上下 振動，且規(guī)定向下為正方向。問：（1）當/=0時，物體在平衡位置上方8.0x10-2?處，由 靜止開始向下運動，求運動方程；（2）當/=0,物體在平衡位置并以0.60/s的速度向上 運動，求運動方程。22. 做簡諧運動的物體，由平衡位宜向兀

24、軸正方向運動，試問經過下列路程所需的最短時間 各為周期的幾分之幾？ （1）由平衡位置到最大位移處：（2）由平衡位置到尤=%處：（3）由x = %處到最大位移處。最新資料推示心3_K3_23. 質量為0.10kg的物體，以振幅1.0x10-2?做簡諧運動，其最大加速度為4.0?/&求:（1）振動的周期；（2）物體通過平衡位垃時的總能量與動能；（3）物體在何處苴動能和勢能相等？（4）當物體的位移為振幅的一半時，動能、勢能各占總能量的多少？24. 已知兩同方向同頻率的簡諧運動。運動方程分別為：X, = 0.05cos（10r +0.75-）, x2 = 0.06cos（10r +0.25-）

25、,式中x的單位為2,/的單位為s。求：（1）合振動的振幅及初 相；（2）若有另一同方向痛頻率的簡諧運動：心=O.O7cos（lOf + 03）。則厲為多少時， 州+勺的振幅最大？又為多少時，心+心的振幅最小？六參考答案1. (1) A f 0 , Aco > kA: (2) 0 Aco 0, 0 : (3) 0 , Aco 0, 0 : (4)A f 0 ,9 kA:2. (1)最大，零，最大，零：(2)零，最大，零，最大；3. 因為E = -kA2,所以總能量不變：24. 因為E = mco1A1 =2mf2A2,所以總能量不變：5. B；6. D；7. B；& C :9. D；10. x = 2.0 x 10"2 cos(2r + ) m :411(1 ) X = 80x 10“ COS(10f+ /T);(2) = 6.0x 102 cos0Or + ) m: 212. (1) 1