第7講構(gòu)造與論證(補(bǔ)充練習(xí))匯總

1、第7講構(gòu)造與論證（補(bǔ)充練習(xí)）（一）第一組_補(bǔ)充練習(xí)【練習(xí)I】今有長度是I , 2, 3,199的金屬桿各1根，能否用上所有的金 屬桿，不彎曲任何一根，把它們焊接成（1 一個正方體框架；（2 一個長方體框架。 分析：（1不可能焊接成正方體框架。因?yàn)檎襟w的12條棱長度相同，所以199根金屬桿的長度和應(yīng)該是12的倍數(shù)。但是實(shí)際上 I + 2+ 3+ 199=（ 1+ 199）X 199-2= 19900。19900不是 12 的 倍數(shù)。 可以焊接成長方體框架。因?yàn)殚L方體有 4個長、4個寬、4個高，所有 棱長的和可以表示為（長+寬+高）X 4，199根金屬桿的長度和是4的倍數(shù)即 可。19900顯然是

2、4的倍數(shù)。具體構(gòu)造如下：第一步，先把他們焊接成長為199的金屬桿100根。199= 1+ 198= 2+ 197= 3+ 196=99 + 100第二步，焊接的長方體框架，長是 4根199X 12的金屬桿，寬是4根199X 12金 屬桿，高是4根199的金屬桿?！揪毩?xí)2】用15個如圖所示的由4個小方格組成的“ L”形板與一個田字形板能 覆蓋一個8X8的棋盤嗎？分析：（1如圖，把8X8的棋盤進(jìn)行隔行染色，圖中共有32個黑格每張“L”形板無論怎樣放置，要么蓋住 1個黑格，要么蓋住3個黑格，總之是奇 數(shù)個黑格，15張“L”形板蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)。而田字形板無論怎樣放置都恰好 蓋住2個黑格，田字形板蓋

3、住的黑格數(shù)是偶數(shù)。奇數(shù)+偶數(shù)二奇數(shù)，也就是說，15張“L”形板和1張?zhí)镒中伟迳w住的黑格數(shù)是奇數(shù)，而圖中有 32個黑格（偶數(shù)）， 奇數(shù)不等于偶數(shù)，所以不能按要求進(jìn)行覆蓋?！揪毩?xí)3】 能否在8行8列的方格表的每個空格中分別填上 1、2、3這三個數(shù)字 中的任何一個，使得每行、每列及兩條對角線各個數(shù)字之和都互不相同？并對你 的結(jié)論加以證明。分析：（1不可能。若某行（某列、某條對角線）上 8個方格里都填“ T，數(shù)字和是8;若某行（某列、某條對角線）上8個方格里都填“ 3”，數(shù)字和是24;由8到24共有17個不同的整數(shù)值，把這17個不同的整數(shù)值當(dāng)作抽屜。8行、8列、2條對角線，共有8 + 8 + 2= 1

4、8個不同的整數(shù)值，根據(jù)抽屜原理， 至少18/17= 2個數(shù)字和相同?！揪毩?xí)4】桌子上放著5張卡片，小月在卡片的正面寫上1、2、3、4、5,然后冬 冬在背面分別寫上1、2、3、4、5,寫完后計算每張卡片上兩數(shù)之和，再把 5個和 相乘，問：冬冬能否找到一種寫法，使得最后的乘積是奇數(shù)？為什么？分析：（1不可能。5張卡片正、反兩個面上所有數(shù)的和是（1 + 2+ 3 + 4+ 5）X 2= 30，30是偶 數(shù)。冬冬計算每張卡片上兩數(shù)之和，再把 5個和相乘，要使最后的乘積是奇數(shù)的話， 5 個和數(shù)都必須是奇數(shù)，因?yàn)橹挥衅鏀?shù)乘以奇數(shù)才得奇數(shù)，但是 5個奇數(shù)相加不可能 得到偶數(shù)30。（二）第二組_補(bǔ)充練習(xí)練習(xí)1

5、、在2009張卡片上分別寫著數(shù)字1、2、3、4、2009,現(xiàn)在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別寫上1、2、3、4、2009。然后將每一張卡片正反兩個面上的數(shù)字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？將每一張卡片正反兩個面上的數(shù)字相加，得到2009個數(shù)，把這2009個和數(shù)相加結(jié)果必是偶數(shù)，因?yàn)榻Y(jié)果等于12009的所有數(shù)的總和的2倍。2009是奇數(shù)，2009個數(shù)的總和是偶數(shù)，說明這 2009個數(shù)中必有偶數(shù)，那么，2009個和數(shù)的乘積 是偶數(shù)。12009中有1005個奇數(shù)，那么正反兩面共有 2010個奇數(shù)。而現(xiàn)在只有2009 張卡片，根據(jù)抽屜原理，必有兩個奇數(shù)

6、在同一張卡片上，那么這張卡片正反兩個面 上的數(shù)的和是偶數(shù)，從而2009個和數(shù)的乘積也是偶數(shù)。練習(xí)2、一個盒子里有400枚棋子，其中黑色的白色的棋子各 200枚，下面我們對 這些棋子做如下操作：每次拿出 2枚棋子，如果顏色相同，就補(bǔ)1枚黑色棋子回 去；如果顏色不同，就補(bǔ)1枚白色的棋子回去。這樣的操作，實(shí)際上就是每次少了 1枚棋子。那么，經(jīng)過399次操作后，最后剩下的棋子是 顏色（填“黑”或“白”）。在每一次操作中，若“每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補(bǔ)1枚黑色棋子 回去”，所以在2枚棋子顏色相同的情況下拿出的白子可能為 0枚或2枚。若“顏色不同，1黑1白，就補(bǔ)1枚白色的棋子回去”，那么此時拿出

7、的白子數(shù)就 是0枚。 綜上述，每次操作拿出的白子數(shù)都是偶數(shù)，而最初白子有200枚，是偶數(shù)，所以每次操作后剩下的白子都是偶數(shù)枚，最后剩1枚棋子，不可能是白子，只能是練習(xí)3、桌上有一堆石子共1001粒。第一步從中扔去一粒石子，并把余下的石子 分成兩堆。以后的每一步，都從某個石子數(shù)目多于1的堆中扔去1粒，再把某一堆分成兩堆。問：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都剛好有3粒石子？每次操作都是扔1粒石子，并把某一堆分成2堆。假設(shè)最后桌子上剩n堆石子，每堆3枚，桌上還有3n石子。在此之前進(jìn)行 了（n 1）操作，扔了（ n1）枚石子。扔掉的和桌子上現(xiàn)有的應(yīng)該等于最初的 1001粒石子。 3n +（n 1）=

8、 10014n 1 = 10014n= 1002n = 250.5n不是整數(shù)，說明最初的假設(shè)錯誤，所以無論經(jīng)過多少步操作，桌上的每 堆中石子不可能都恰好是3粒。練習(xí)4、一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣（下圖是一個四層空心方陣的示意 圖），后來小林又添入28個棋子，這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣（不 能移動原來的棋子），那么最開始最少有 個棋子。先明確方陣問題的特征：1相鄰兩圈外圈每邊比內(nèi)圈每邊多 2枚棋子。2、相鄰兩圈外圈比內(nèi)圈多8枚棋子。將四層空心方陣變成五層空心方陣有 3種方法：一種是在最外層增加一圈（兩行兩列）；第二種是在最內(nèi)層增加一圈（兩行兩列）；第三種是在最內(nèi)層增加一行一列，

9、在最外層的另外兩個方向也增加一行一 列。1、空心方陣的最里層至少需要8枚棋子，若是五層的空心方陣從里到外各層 棋子數(shù)依次為8、16、24、32、40，最外層至少需要40枚棋子，小林只添28枚棋 子，顯然第一種情況不符合題意。2、如果是第二種情況，小林把28枚棋子放到了最里圈，則從里到外各層的棋子數(shù)依次是28、36、44、52、60,原四層空心方陣應(yīng)該有棋子 60+ 52+ 44 + 36= 192 枚。3、如果是第三種情況。設(shè)原四層空心方陣最里圈每邊有 x枚棋子。小林在里圈1行1列放了（ x 2）X 2 1 = 2 x 5 （枚）棋子小林在外圈1行1列放了 （x+ 6）X 2+ 1 = 2 x

10、 + 13 （枚）棋子（2x 5） + （ 2x + 13）= 284 x+ 8= 284 x= 20原四層空心方陣最里圈共有棋子（5- 1）X 4= 16枚，原四層空心方陣從里到 外各層棋子數(shù)依次為16、24、32、40，在這種情況下原四層空心方陣共有 16+ 24 + 32+ 40= 112 枚棋子。4、比較第二和第三種情況，發(fā)現(xiàn)112小于192，所以最開始至少有棋子112 枚。練習(xí)5、（ 2009年華杯賽決賽試題）將七位數(shù)“ 1357924”重復(fù)寫287次組成一個2009位數(shù)“ ”，刪去這個數(shù)中所有位于奇數(shù)位（叢左往右數(shù)）上的數(shù) 字組成一個新數(shù)，再刪去新數(shù)中所有位于奇數(shù)位上的數(shù)字，按上述方法一直刪下 去直到剩下一個數(shù)字為止，則最后剩下的數(shù)字是_。分析：先將這2009個數(shù)從左到右依次編號為1、2、3、2009。根據(jù)題意，第一次刪去的都是奇數(shù)位上的數(shù)字，留下的都是偶數(shù)位上的數(shù)字。第二次刪去的是編號為除以4余2的數(shù)字。余下的是編號為4的倍數(shù)的數(shù) 字。第三次刪去的是編號為除以8余4的數(shù)字。余下的是編號為8的倍數(shù)的數(shù) 字。一直