微積分期末測試題及答案

1、.一 單項(xiàng)選擇題(每小題 3分, 共 15 分)1.設(shè) limf ( x)k ,那么點(diǎn) x=a 是 f(x)的 ().x a連續(xù)點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)以上結(jié)論都不對f (a h)f ( a2h).2.設(shè) f(x)在點(diǎn) x=a 處可導(dǎo) ,那么 limh(h0 1 3 f ( a) 2 f ( a) f(a)f (a)33.設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?-1,1, 則復(fù)合函數(shù) f(sinx)的定義域?yàn)?(). (-1,1),2 (0,+ ) (- ,+ )24.設(shè) limf ( x)f (a)1 ,那么 f(x)在 a 處 ().(xa)2x a導(dǎo)數(shù)存在 ,但 f(a)0取得極大值取得極小值導(dǎo)數(shù)不存

2、在5.已知 lim f (x)0 及 (),則 lim f ( x) g (x)0 .xx0x x0 g(x)為任意函數(shù)時當(dāng) g(x) 為有界函數(shù)時僅當(dāng) lim g (x)0時僅當(dāng) limg( x) 存在時xx0x x0二填空題 (每小題 5分,共 15分)1. lim xsin x_.x x sin x2. lim(11 ) x 3 _.x x3. f ( x)sin x2 ,那么左導(dǎo)數(shù) f(0)_,右導(dǎo)數(shù) f (0) _.三計(jì)算題 (1-4題各 5 分 ,5-6 題各 10分,共40分)1. lim(11)x1ln xx12.xet,求d 2 yytetdx 23. yln( x12d 2

3、 yx) ,求 dy 和2 .dx4.由方程 ex yxy0 確定隱函數(shù)y=f(x) ,求 dy .dx5.設(shè) x11,xn1xn 1,求 lim xn .xn 11x;.6. lim(3 xax2bx c ) 2 ,求常數(shù) a,b.x四 證明題 ( 每小題10分,共 30分)1.設(shè) f(x)在 (- ,+) 上連續(xù) ,且 limf ( x)lim f ( x)0,證明 :存在( ,) ,使xxxxf ( )0 .2.若函數(shù) f(x)在 a,+ 上可導(dǎo) ,對任意 x (a,+ ),有 f(x)M ,M 是常數(shù) ,則 limf ( x)x2 0 .xsin 13.證明函數(shù) y在 (c,1)內(nèi)一致

4、連續(xù) ,但在 (0,1) 內(nèi)非一致連續(xù) .x答案一單項(xiàng)選擇題 ( 每小題3分,共 15 分)1.2. 3.4.5.二填空題 ( 每小題5分,共 15分 )1. lim xsin x_1_ .xxsin x2. lim(11 ) x 3_e_.xx3. f ( x)sin x2,那么左導(dǎo)數(shù)f (0)_-1_,右導(dǎo)數(shù) f (0)_1_.三計(jì)算題 (1-4 題各 5 分 ,5-6題各 10分,共40分)1,lim(11)x 1ln x x11111x 1解 : lim( x 1) ln xx)limlim( x 1)limx 1 ln x x 1x 1 ( x 1)ln xx 1x 1 xln x

5、x 1ln xx1limx1 ln x11;.xetd 2 y2.ytet ,求dx 2解 : dydydt(ettet ) 1(t1)dxdtdxetddyd2 ydt( dx )1dx2dxetdt3.yln( x1x2d 2 y) ,求 dy 和2 .dx解 : dyd ln( x1x2 )x1d (x1x2 )1x21( dxd (1x2 )1(dxxdx)x 1 x2x 1 x21 x21dx,1x2d2 y d 1112xxdx2dx1 x22(1 x2 )3(1 x2 ) 34.由方程 ex yxy0確定隱函數(shù)y=f(x) ,求 dy .dx解 : 方程兩邊求微分得xyxy)即d

6、ex ydxyd (e0,exy (dxdy)ydxxdy所以, dyyexydxexyx5.設(shè) x11,xn1xn1,求 lim xn .1xn 1x;.證明： 先證 xn 單調(diào)增加 . 顯然，設(shè)時成立，即xk，x2 x1n kxk 1當(dāng)時，xk 1xk(1xk（xk 1)n k 11) 1xkxk11xk (1 xk 1 ) xk 1(1 xk )xkxk 10, 所以 xn 單調(diào)增加；(1xk )(1xk1)(1xk )(1xk 1 )顯然 xn1xn12, 所以由單調(diào)增加有界數(shù)列必有極限得 xn 收斂 .1xn1令 lim xna,則 lim xnlim(1xn )1lim xn11n

7、0n0n0n0xn1lim xnn 0即a11a , 得 a125 (a15舍去).a26. lim(3 xax2bxc )2 ,求常數(shù) a,b.x解 : 顯然 a0,lim(3 xax2bxc )xlim3xax2bxc22x(3xaxbxc)(3 xaxbxc )ax23abclim3xbxclimxx229x2ax2bxccxx9xaxbx所以 ,9a3a9, b3.0,b2, 得 a四證明題 ( 每小題10分,共 30分)1.設(shè) f(x)在 (- ,+) 上連續(xù) ,且 limf ( x)limf ( x)(,),使x0 ,證明 :存在xxxf ()0.證明 : 因?yàn)?limf ( x)

8、0, 所以對 0<1,存在 X 0, 使得當(dāng) xX時,有xxf (x)成立 ,即xf ( x)x,x故x(1)f ( x)xx(1)0, 取 bX , 所以當(dāng) xb時有 f ( x)x0, 特別的 f (b)0.同理可得存在 a0, 使得 f (a)0.而 f ( x)在 (,)上連續(xù) , 所以在閉區(qū)間 a, b連續(xù) ,從而 F (x)f (x)x在 a,b上連續(xù) , 而F (a) 0, F (b)0,所以由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)(零點(diǎn)存在定理 )得存在(,),使得 F()f ()0.;.2.若函數(shù) f(x)在 a,+ 上可導(dǎo) ,對任意 x (a,+ ),有 f (x)M ,M 是常數(shù) ,

9、則 limx證明 : 因?yàn)?f (x)在區(qū)間 (a,)滿足 f ( x)M , 所以滿足李普希茲條件 ,即 : 對任意的 x1, x2(a,), 有 f ( x1 )f ( x2 )Mx1x2 .令 b a, 則x (a,), 有 f ( x)f (b)Mx b 成立 .我們知limf (b)故要證limf ( x)0,只需證limf (x)2f (b)0.x20,x2xxxx0,時對任意給定的要使x b ,f (x)f (b)f (x)f (b)M xbMxMb2Mx2x2x2x2x只需 x2M 即可,令Xmax b,2M,則當(dāng) xX時,f ( x)f (b)成立x2即 lim f ( x)x2f (b)0,所以得證 .x3.證明函數(shù) ysin 1在 (c,1)內(nèi)一致連續(xù) ,但在 (0,1) 內(nèi)非一致連續(xù) .x證明 : 設(shè)0 cx, x0 <1, 對任意的0,要使sin 1sin 12cos( 11)sin(11)xx02x2x02x2x02 cos(x x0)sin(x x0)2x x0x x0,2xx02xx02xx0c2只需 xx0c2 , 令c2 ,所以 對任意的0,存在c20,當(dāng) xx0時,有 sin 1sin 1成立