D84重積分的應(yīng)用ppt課件

1、第四節(jié)8.4.1 重積分在幾何上的應(yīng)用重積分在幾何上的應(yīng)用 重積分的應(yīng)用 第八章 8.4.2 重積分在物理上的應(yīng)用重積分在物理上的應(yīng)用 1. 能用重積分解決的實際問題的特點能用重積分解決的實際問題的特點所求量是所求量是 對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā)從定積分定義出發(fā) 建立積分式建立積分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界閉域上的整體量分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法用重積分解決問題的方法

2、上頁 下頁8.4.1 重積分在幾何上的應(yīng)用重積分在幾何上的應(yīng)用 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積上頁 下頁例例1 1 求曲線求曲線 2cos222ar所圍圖形的面積所圍圖形的面積. .解解 曲線為一雙紐線曲線為一雙紐線, ,圖形關(guān)于極軸和極點都對稱圖形關(guān)于極軸和極點都對稱. . xy0a2D因此曲線所圍成圖形的面積因此曲線所圍成圖形的面積 2cos204044aDrdrddA.22sin22cos222402402aada.Dd二、立體體積二、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域占有

3、空間有界域 的立體的體積為的立體的體積為zyxVddd上頁 下頁yzo),(yxfz xD22224azyx被圓柱面被圓柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的)立體的體積立體的體積. 上頁 下頁例例2. 2. 求球體求球體上頁 下頁2244d dDVar rr20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323a20,cos20:arDoxyza2解解: 由對稱性可知由對稱性可知DdxdyyxaV2224422xaxy0 0 xyDDxoyza2例例2. 2. 求半徑為求半徑為a a 的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的內(nèi)的內(nèi)接

4、接 錐面所圍成的立體錐面所圍成的立體(含在錐面內(nèi)含在錐面內(nèi))的體積的體積. 解解:如圖如圖,在球面坐標系下立體所占在球面坐標系下立體所占:則立體體積為則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM上頁 下頁區(qū)域為區(qū)域為例例4. 用三重積分計算由曲面用三重積分計算由曲面2225xyz及及224xyz所圍成的立體的體積所圍成的立體的體積. 上頁 下頁上頁 下頁解解 利用柱面坐標計算利用柱面坐標計算 , 20 ,54:22rrzr.20dzrdrddvVrr25422020drrr425

5、2220drrdrrr320220252204202328)5(32rr).455(322)551 (32MAdzdn三、空間曲面的面積三、空間曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲面設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積則面積 A 可看成曲面上各點可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積處小切平面的面積 d A 無限積累而成無限積累而成. 設(shè)它在設(shè)它在 D 上的投影為上的投影為 d , Mnd上頁 下頁 d),(yxMdSxyz o Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素稱為面積元素)那么那么故有曲面面積公式故有

6、曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122即即上頁 下頁若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有則有zyD上頁 下頁xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy則有則有xzD解解 由對稱性由對稱性, ,其面積為它在第一卦限部分面積其面積為它在第一卦限部分面積1S的的8 8倍倍. . 222yxaz它在它在 xoy面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為:D222ayx,0,0 xy222222,yxayyzyxaxxz由由 在第一卦限

7、在第一卦限, ,球面方程為球面方程為22222)()(1yxaayzxz得得 上頁 下頁例例5. 計算半徑為計算半徑為 a 的球的表面積的球的表面積.因此因此,2221dxdyyxaaSD2002222aDrardrdardrdraa2)(2202122araaa于是整個球面面積為于是整個球面面積為 .4821aSS上頁 下頁注：上述二重積分是一個廣義二重積分！注：上述二重積分是一個廣義二重積分！解解:設(shè)球面方程為設(shè)球面方程為 ,ra則球面面積元素為則球面面積元素為ddsind2aA0202dsindaA24.asinada方法方法2 利用球面的球面坐標方程利用球面的球面坐標方程.axyzod

8、dsina上頁 下頁剛才是利用球面的直角坐標方程解決的剛才是利用球面的直角坐標方程解決的,還可直接用還可直接用元素法元素法. 例例6. 計算雙曲拋物面計算雙曲拋物面yxz 被柱面被柱面222Ryx所截所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影為面上投影為,:222RyxD那那么么yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積出的面積 A .上頁 下頁上頁 下頁練習(xí)練習(xí) 求錐面求錐面 22yxz被柱面被柱面 xz2割下部分的割下部分的 曲面面積曲面面積. . 解解 先求割下部分在先求割下部分在 yx0平面上的投影區(qū)域平面上的投影區(qū)域. .

9、xyxxzyxz222222故投影區(qū)域為故投影區(qū)域為 . 0,2:22zxyxD2222,yxyyzyxxxz由由dxdydxdyyzxzSDD2)()(12222 .一一 物體的質(zhì)心物體的質(zhì)心設(shè)空間有設(shè)空間有n個質(zhì)點個質(zhì)點, ),(kkkzyx其質(zhì)量分別其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知由力學(xué)知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設(shè)物體占有空間域設(shè)物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)那么那么 公式公式 , 分別位于分別位于為為 為為即即: 采用采用 “大化小大化小, 常代變常

10、代變, 近似和近似和, 取極限取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心可導(dǎo)出其質(zhì)心 上頁 下頁8.4.2 重積分在物理上的應(yīng)用重積分在物理上的應(yīng)用 將將 分成分成 n 小塊小塊, ),(kkk將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點塊看作質(zhì)量集中于點),(kkk例如例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標.的質(zhì)點的質(zhì)點,即得即得此質(zhì)點此質(zhì)點在第在第 k 塊上任取一點塊上任取一點上頁 下頁同理可得同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(d

11、dd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時當zyx則得形心坐標：則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd上頁 下頁若物體為占有若物體為占有xoy 面上區(qū)域面上區(qū)域 D 的平面薄片的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為為 D 的面積的面積)得得D 的形心坐標的形心坐標:則它的質(zhì)心坐標為則它的質(zhì)心坐標為MMyMMx其面密度其面密度 xMyM 對對 x 軸的軸的 靜矩靜矩 對對 y 軸的軸

12、的 靜矩靜矩上頁 下頁上頁 下頁解解 記所考慮的球體為記所考慮的球體為 , , 以以 的球心為原點的球心為原點 ,O射線射線 0OP為為 x軸建立直角坐標系軸建立直角坐標系, ,( ,0,0),R球面的方程為球面的方程為 .2222Rzyx設(shè)設(shè) 的重心位置為的重心位置為 ( , , ),x y z由對稱性由對稱性, ,得得 例例7 7 設(shè)有一半徑為設(shè)有一半徑為 R的球體，的球體， 0P是此球表面上的一是此球表面上的一 平方成正比比例常數(shù)平方成正比比例常數(shù) 0k）, ,求球體的求球體的 重心位置重心位置. . 定點，球體上任意一個點的密度與該點到定點，球體上任意一個點的密度與該點到 0P的距離的

13、的距離的0P的坐標為的坐標為 則點則點 , 0, 0zydVzyRxkdVzyRxkxx)()(222222222)(zyRxk上頁 下頁而而 dVzyRx)(222dVRdVzyx2222)(5220022034sin8RdrrrddR,15325RdVxRdVzyRxx22222)(,158)(326222RdVzyxR故故dVzyRxkdVzyRxkxx)()(222222.4153215856RRR上頁 下頁4例例8. 求位于兩圓求位于兩圓sin2rsin4r和和的質(zhì)心的質(zhì)心. 2D解解: 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4s

14、in22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片之間均勻薄片0dsin3143212oyxC上頁 下頁二二 物體的轉(zhuǎn)動慣量物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于該物體位于(x , y , z) 處的微元處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體因此物體 對對 z 軸軸 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故故 連續(xù)

15、體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 上頁 下頁類似可得類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 對對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 對原點的轉(zhuǎn)動慣量為對原點的轉(zhuǎn)動慣量為 上頁 下頁如果物體是平面薄片如果物體是平面薄片,面密度為面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 上頁 下頁xyoz例

16、例9 9 求半經(jīng)為求半經(jīng)為 a, ,高為高為 h的均勻圓錐體對中心軸的均勻圓錐體對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量. . 直角坐標系直角坐標系, ,圓錐體的方程為圓錐體的方程為 解解 以圓錐的頂點為原點以圓錐的頂點為原點, ,中心軸為中心軸為 z軸軸, ,建立空間建立空間)0( ,22222hzzhayx設(shè)密度為設(shè)密度為 , ,用柱面坐標用柱面坐標, ,錐面方程為錐面方程為 rahz , ,那么那么 drdzrdrdVyxIz222)(hadzdrrdhraha1010320上頁 下頁rraddsin0302例例10.10.求半徑為求半徑為a a 的均勻半圓薄片對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量的均勻半圓薄片對其直

17、徑的轉(zhuǎn)動慣量. . 解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質(zhì)量半圓薄片的質(zhì)量221aM 2212oxyDaa上頁 下頁作業(yè)作業(yè)P209 2，4 , 6， 8，9 上頁 下頁)(th( t 為時間為時間) 的雪堆在融化過程中的雪堆在融化過程中,其其側(cè)面滿足方程側(cè)面滿足方程,)()(2)(22thyxthz設(shè)長度單位為厘米設(shè)長度單位為厘米, 時間單位為小時時間單位為小時, 設(shè)有一高度為設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)比例系數(shù) 0.9 ), 問高度為問高度為1

18、30 cm 的雪堆全部融化需要的雪堆全部融化需要 多少小時多少小時? (2019考研考研)備用題備用題上頁 下頁提示提示:yxzo記雪堆體積為記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為側(cè)面積為 S ,那么那么)(:221220thyxD22212:( )( ) zDxyh th t zVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thrrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(用極坐標用極坐標) 上頁 下頁)(12132thS, )(43thV由題意知由題意知StV9 . 0dd1013ddth130)0(h1301013)(tth令令,0)(th得得100t(小時小時)因此高度為因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為的雪堆全部