IIR數字帶通濾波器設計(共20頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上目錄專心-專注-專業(yè)前言隨著信息時代和數字世界的到來，數字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術領域。目前數字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數字信號處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應用的是數字濾波器（DF，Digital Filter）。數字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數字系統(tǒng)，通過對抽樣數據進行數學處理來達到頻域濾波的目的。MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩陣實驗室)的縮寫。它是美國的MathWorks公司推出的一套用于科學計算和圖形處理可視化、高性能語言與軟件

2、環(huán)境。它的信號處理工具箱包含了各種經典的和現代的數字信號處理技術，是一個非常優(yōu)秀的算法研究與輔助設計的工具。在設計數字濾波器時，通常采用MATLAB來進行輔助設計和仿真。 本次基課程設計將完成一個數字切比雪夫帶通IIR濾波器的設計，利用雙線性變換和無限沖激響應IIR原理完成設計，并利用MATLAB進行仿真。工程概括1.1 IIR數字濾波器工作原理數字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，輸入x(n)是一個時間序列，輸出y(n)也是一個時間序列。如數字濾波器的系統(tǒng)函數為H(z)，其脈沖響應為h(n)，則在時間域內存在下列的關系。 在z域內，輸入和輸出存在下列關系： 式中，X(z)、Y(z)分別為輸入x(n)

3、和輸出y(n)的z變換。同樣在頻率域內，輸入和輸出存在下列關系： 式中，為數字濾波器的頻率特性; 和分別為x(n)和y(n)的頻譜。為數字角頻率，單位rad。通常設計在某些頻段的響應值為1，在某些頻段的響應為0。和的乘積在頻率響應為1的那些頻段的值仍為，即在這些頻段的振動可以無阻礙地通過濾波器，這些頻帶為通帶。和的乘積在頻率響應為0的那些頻段的值不管大小如何均為零，即在這些頻段里的振動不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。為數字角頻率，單位為弧度(rad)，表示模擬角頻率，單位弧度/秒（rad/s）。數字角頻率在0范圍內。一個合適的數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)可以根據需要改變輸入x(n)的頻率特性。

4、經數字濾波器處理后的信號y(n)保留信號x(n)中的有用頻率成分，去除無用頻率成分。正文2.1 數字濾波器介紹數字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數字信號處理裝置,其輸入、輸出均為數字信號,實質上是一個由有限精度算法實現的線性時不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據其頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比,數字濾波器除了具有數字信號處理的固有優(yōu)點外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關)、穩(wěn)定性好(僅運行在0與l

5、兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數字濾波器的濾波原理。數字濾波器根據其沖激響應函數的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數字濾波器。IIR 數字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應，需要用遞歸模型來實現，其差分方程為： 系統(tǒng)函數為： 設計IIR濾波器的任務就是尋求一

6、個物理上可實現的系統(tǒng)函數H(z)，使其頻率響應H(z)滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數和阻帶衰減系數。2.2 數字濾波器的分類按時間域特性，數字濾波器可以分為無限沖激（脈沖）響應數字濾波器（Infinite impulse response digital filter,簡稱IIR濾波器）和有限沖激（脈沖）響應數字濾波器（Finite impulse response digital filter,簡稱FIR濾波器）兩類。IIR濾波器的傳遞函數為： h(n)為濾波器的脈沖響應，n=0均有值。M和N為分解的分子和分母多項式的系數個數。FIR濾波器的傳

7、遞函數為： 該濾波器的脈沖響應h(n)在n=0,1,N-1的有限個點(N個點)上有值。式中分母全為零時，H(z)具有全零點形式，IIR濾波器退化為FIR濾波器。按頻率特性來講，數字濾波器和模擬濾波器一樣可分為低通、高通、帶通和帶阻等。數字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)，在頻率特性中具有周期性，因此我們討論的頻率范圍僅在的范圍內，相應的歸一化頻率在01之間，和1對應于Nyquist頻率。和模擬濾波器一樣，理想數字濾波器的頻率特性在通帶內必須滿足： 式中，K,均為常數。和模擬濾波器一樣，數字濾波器的設計目的是使濾波器的頻率特性達到所給定的性能指標。其性能指標也包括通帶波紋Rp(dB)、阻帶衰減Rs(dB

8、)、通帶邊界頻率（Hz）、阻帶邊界頻率（Hz）等。2.3 脈沖響應不變法所謂脈沖響應不變法就是使數字濾波器的脈沖響應序列h(n)等于模擬濾波器的脈沖響應ha(t)的采樣值，即 式中，T為采樣周期。因此數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)可由下式求得： Z-表示對-的內容進行Z變換，Z變換的內容請參考相應的數字信號處理教材。如果已經獲得了滿足性能指標的模擬濾波器的傳遞函數，求與之對應的數字濾波器的傳遞函數H(z)的方法是：（1） 求模擬濾波器的單位脈沖響應。 式中，表示對的Laplace逆變換。Laplace變換內容請參考高等數學的積分變換或信號處理教材。（2） 求模擬濾波器單位沖激響應的采樣值，即數字

9、濾波器沖激響應序列h(n)。（3） 對數字濾波器的沖激響應h(n)進行z變換，得到傳遞函數H(z)。由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數求出數字濾波器系統(tǒng)函數H(z)的步驟是：（1） 利用部分分式展開將模擬濾波器的傳遞函數H(s)展開成： 在MATLAB中這步可通過residue函數實現。若調用residue函數的形式為R,P,K=residue(a,b) 形式，則將下式（傳遞函數形式）： 變換為： 這種形式為極點留數商向量形式，對于本節(jié)所講的特定情況，K為空矩陣。若為b,a=residue(R,P,K)則為上面調用形式的反過程。（2） 將模擬極點pk變換為數字極點即得到數字系統(tǒng)的傳遞

10、函數 其中T為采樣間隔。(3)將 轉換為傳遞函數形式，在該步驟中，可采用R,P,K=residue(b,a).，MATLAB中已經提供了沖激響應不變法設計數字濾波器的函數，調用格式為：bz,az=impinvar(b,a,Fs，Fp)式中，b,a為模擬濾波器分子和分母多項式系數向量；Fs為采樣頻率（所濾波數據），單位Hz，缺省時為1Hz。Fp為預畸變頻率（Prewarped frequency）,是一個“匹配”頻率,在該頻率上，頻率響應在變換前后和模擬頻率可精確匹配。一般設計中可以不考慮。bz,az分別為數字濾波器分子和分母多項式系數向量。前面已提到過，函數輸入變量中的表示可添加也可略去的內容

11、。下面我們用例子說明如何使用這個函數。（1）脈沖響應不變法將模擬濾波器變換為數字濾波器H(z)，采樣周期為T=0.1s。%Samp6_1b=3 2;a=2 3 1;T=0.1; %模擬濾波器分子和分母多項式系數及采樣間隔bz1,az1=impinvar(b,a,1/T)程序輸出為：bz1 = 0.3000 -0.2807az1 = 2.0000 -3.7121 1.7214在應用沖激響應不變法設計數字濾波器時要注意它的特點。脈沖響應不變法由這一基本關系得到數字角頻率和模擬角頻率滿足線性變換關系，T為采樣間隔。這使得軸上每隔便映射到z域中的單位圓一周。如果模擬濾波器頻率響應是有限帶寬的話，通過變

12、換得到的數字濾波器的頻率響應非常接近于模擬濾波器的頻率響應。由于數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，因此對于高通和帶阻濾波器存在混疊效應，會造成頻率響應失真，因此這種方法原則上只適用于有限帶寬濾波器。對于高通、帶阻等濾波器，由于它們高頻成分不衰減，勢必產生嚴重的混迭失真。雙線性變換法可以彌補這方面的不足。2.4 雙線性變換法雙線性變換法將s平面的整個頻率軸映射到z域的一個頻率周期中。因此s平面到z平面的映射是非線性的，其單值雙線性映射關系為： 式中，T為采樣周期。因此若已知模擬濾波器的傳遞函數，將（6-14）式的第一式代入即可得到數字濾波器的傳遞函數： 在雙線性變換中，模擬角頻

13、率和數字角頻率存在下面關系： 可見，模擬角頻率和數字角頻率之間的關系是非線性的。在MATLAB中，函數bilinear采用雙線性變換法實現模擬s域至數字z域的映射，直接用于模擬濾波器變換為數字濾波器。其調用方式為： zd,pd,kd=bilinear(z,p,k,Fs) numd,dend=bilinear(num,den,Fs)式中，z,p分別為模擬濾波器零點、極點列向量；k為模擬濾波器的增益；Fs為采樣頻率，單位Hz。zd,pd,kd為數字濾波器的零極點和增益。num,den分別為模擬濾波器傳遞函數分子和分母多項式系數向量，模擬濾波器傳遞函數具有下面的形式： numd和dend分別為數字濾

14、波器傳遞函數分子和分母多項式系數向量。（2）用雙線性變換法將模擬濾波器變換為數字濾波器H(z)，采樣周期（間隔）T=0.1s。%Samp6_2b=3 2;a=2 3 1;T=0.1; %模擬濾波器分子和分母多項式的系數，采樣間隔bz1,az1=bilinear(b,a,1/T) %將模擬濾波器傳遞函數轉換為數字濾波器傳遞函數程序輸出為：bz1 = 0.0720 0.0046 -0.0674az1 = 1.0000 -1.8560 0.8606雙線性變換法克服了脈沖響應不變法的頻譜混迭問題，其幅值逼近程度好，可適用于高通、帶阻等各種類型濾波器的設計。s域和z域對應關系也簡單。缺點是頻率變換的非線

15、性導致數字濾波器與模擬濾波器在幅度和頻率的對應關系上發(fā)生畸變。但一般濾波器的幅頻響應具有分段常數的特點，即濾波器允許某一頻段信號通過，而不允許另外頻段的信號通過的特點，故變換后這一特點仍保留，影響不大。由數字邊界頻率計算模擬邊界頻率時，不是按線性關系進行的，這就是所謂的“預畸變”。但如果給定預畸變頻率為邊界頻率，經預畸變頻率校正則可以保證所要設計的模擬邊界頻率精確映射在所要求的數字邊界頻率上。2.5 濾波器的特性及使用函數(1) freqz對于模擬濾波器，可以用freqs求解濾波器的頻率響應。與之對應的函數freqz用于求數字濾波器的頻率響應，其調用格式為：h,w=freqz(b,a,n,wh

16、ole);或h,f=freqz(b,a,n,whole,Fs);式中，b,a為數字濾波器分子和分母多項式的系數，n為復數頻率的響應點數，為整數，最好為2的冪，缺省時為512；Fs為采樣頻率，單位Hz。如果給定該值，則f位置輸出為頻率Hz，若沒有給定，則按角頻率（Angular frequency）給定f的頻率矢量；whole表示返回的頻率f或w值包含z平面整個單位圓頻率矢量，即02；缺省時，頻率f或w值包含z平面上半單位圓（0）之間等間距n個點頻率矢量。h為復頻率響應；w為n點頻率向量（單位rad）；f為n點頻率向量(Hz)。函數返回值缺省時，繪制幅頻響應和相頻響應圖。該函數適用于下面形式的數

17、字濾波器： 函數freqz輸出的頻率向量在0。為了獲得一個濾波器真正的相頻特性圖，要對相位角進行解纏繞。為此MATLAB提供了一個函數unwrap來解決這個問題，P=unwrap(angle(H)。(2) impzimpz用于產生數字濾波器的脈沖響應。調用格式為：h,t=impz(b,a,n,Fs)式中，b,a分別為濾波器分子和分母多項式系數向量；n為采樣點數；Fs為采樣頻率，缺省值為1；h為濾波器單位脈沖響應向量；t為和h對應的時間向量。當函數輸出缺省時，繪制濾波器脈沖響應圖；當n缺省時，函數自動選擇n值。(3)零極點圖濾波器的零極點位置決定了濾波器穩(wěn)定性和性能，因此考察濾波器的零極點的位置

18、是分析濾波器特性的重要方面之一。MTALAB信號處理工具箱提供繪制數字濾波器零極點位置圖的工具zplane,調用格式為：zplane(z,p)或zplane(b,a)式中，z,p為零極點向量(為復數)，b,a為濾波器分子和分母多項式的系數（為實數）。函數在z平面繪出零點和極點。極點用×表示，零點用o表示。 (4)群延遲 信號傳輸的不失真條件之一為：濾波器相頻特性是一條經過原點的直線，即，為常數。但一般濾波器不滿足這個條件，衡量實際濾波器相位平均延遲的物理量是群延遲。群延遲定義為信號通過濾波器的延遲隨頻率變化的函數，即濾波器相頻特性圖上切線的負斜率： MATLAB信號處理工具箱提供計算

19、群延遲函數grpdelay，調用格式為：gd,w=grpdelay(b,a,n,whole)gd,f=grpdelay(b,a,n,whole,Fs)gd=grpdelay(b,a,w)gd=grpdelay(b,a,f,Fs)grpdelay其中，gd為群延遲；其他各項意義同函數freqz,函數輸出項缺省時，繪制群延遲圖。whole參數表示繪制包括大于Nyquist頻率的一個周期的群延遲。（5） filter函數用來實現數字濾波器對數據的濾波，函數的調用格式為：y=filter(b,a,x)其中，b,a分別為濾波器傳遞函數H(z)的分子和分母多項式系數。x為濾波器的輸入。y為濾波器的輸出。y

20、為與x具有相同大小的向量。（6） filtfilt函數實現零相位前向與后向結合的濾波。調用格式為：y=filtfilt(b,a,x)式中，b,a分別為濾波器傳遞函數H(z)的分子和分母多項式系數。x為濾波器的輸入，為值向量。y為濾波器的輸出。該函數對序列x進行正常的正向濾波后，將濾波后的輸出翻轉重新用該濾波器進行濾波，第二次濾波后的輸出序列的翻轉即得到零相位的濾波輸出。這樣就可以把延遲后的相位校正至零。但該函數只能用于數字濾波器，FIR濾波器或IIR濾波器均能使用。3.1 設計步驟根據以上IIR數字濾波器設計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設計一個IIR帶通濾波器，其中帶通的中心頻率

21、為wp0=0.55，;通帶截止頻率wp1=0.45, wp2=0.65;通帶最大衰減Ap=1dB;阻帶最小衰減As=40dB;阻帶截止頻率ws2=0.75(1)確定性能指標在設計帶通濾波器之前,首先根據工程實際的需要確定濾波器的技術指標: 通帶截止頻率wp1=0.45,wp2=0.65;阻帶截止頻率ws1=0.3，ws2=0.75；阻帶最小衰減As=40dB和通帶最大衰減Ap=1dB;中心頻率wp0=0.55。(2)頻率預畸變用=2/T*tan(w/2)對帶通數字濾波器H(z)的數字邊界頻率預畸變,得到帶通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp1,Wp2;阻帶截止頻率Ws1，Ws2

22、的轉換。雙線性變換法一般T=2s。通帶截止頻率Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)Wp2=(2/T)*tan(wp2/2)阻帶截止頻率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)Ws2=(2/T)*tan(ws2/2)(3)模擬帶通性能指標轉換成模擬低通性能指標 BW=Wp2-Wp1； %帶通濾波器的通帶寬度 W0=Wp1*Wp2； WP=1； %歸一化處理 WS=WP*(W02-Ws12)/(Ws1*BW)；(4)模擬低通濾波器的構造借助切比雪夫(Chebyshev)濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數Ha(s)。(5)模擬低通濾波器轉換成模擬帶通濾波器 調用lp2bp函數將模擬低通濾波器轉化

23、為模擬帶通濾波器。(6)模擬帶通濾波器轉換成數字帶通濾波器利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器Ha(s)轉換成數字帶通濾波器H(z)。(7)輸入信號檢驗濾波器性能輸入不同頻率的正弦波，觀察輸出波形，檢驗濾波器性能。3.2 程序流程圖開始讀入數字濾波器技術指標將指標轉換成歸一化模擬低通濾波器的指標設計歸一化的模擬低通濾波器階數N和3db截止頻率模擬域頻率變換，將G(P)變換成模擬帶通濾波器H(s)用雙線性變換法將H(s)轉換成數字帶通濾波器H(z)輸入信號后顯示相關結果結束程序流程圖3.3 MATLAB程序（1）數字濾波器部分clear%數字濾波器的技術指標wp1=0.45*pi; wp2=0.65

24、*pi; wp0=0.55*pi; ws1=0.3*pi; ws2=0.75*pi;Ap=1; As=40; T=2;%帶通到低通的頻率變換Wp1=(2/T)*tan(wp1/2); Wp2=(2/T)*tan(wp2/2);Ws1=(2/T)*tan(ws1/2); Ws2=(2/T)*tan(ws2/2); Wp=(2/T)*tan(wp0/2);BW=Wp2-Wp1; %帶通濾波器的通帶寬度 W0=Wp1*Wp2; WP=1; %歸一化處理 WS=WP*(W02-Ws12)/(Ws1*BW);%切比雪夫模擬低通原型濾波器設計N,Wn=cheb1ord(WP,WS,Ap,As,'s

25、');B1,A1=cheby1(N,Ap,Wn,'s');%模擬低通原型濾波器幅頻特性曲線(dB)h1,w1=freqs(B1,A1);subplot(3,2,1);plot(w1/pi,20*log(abs(h1);grid on;xlabel('w(rad)');ylabel('|H(jw)|.dB');title('模擬低通濾波器幅頻特性曲線');% 由模擬低通原型濾波器變換為模擬帶通濾波器B2,A2=lp2bp(B1,A1,Wp,BW);h2,w2= freqs(B2,A2);%模擬帶通濾波器幅頻特性曲線(dB)s

26、ubplot(3,2,2);plot(w2,20*log(abs(h2);axis(0,3,-400,50);grid on;xlabel('w(rad)');ylabel('|H(jw)|.dB');title('模擬帶通濾波器幅頻特性曲線');%雙線性變換：由模擬濾波器向數字濾波器的變換B3,A3=bilinear(B2,A2,0.5);h,w=freqz(B3,A3,64);phz=unwrap(angle(h);%數字帶通濾波器幅頻響應曲線subplot(3,2,3);plot(w/pi,abs(h);xlabel('w(rad)

27、');ylabel('|H(z)|');title('數字帶通濾波器幅頻特性曲線');%數字帶通濾波器幅頻響應曲線(dB)subplot(3,2,4);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(-1,2,-250,50);xlabel('w(rad)');ylabel('|H(z)|.dB');title('數字帶通濾波器幅頻特性曲線');%數字帶通濾波器相頻特性曲線(dB)subplot(3,2,5);plot(w/pi,phz);grid on;xlabel('w(rad)&

28、#39;);ylabel('H(z)');title('數字帶通濾波器相頻特性曲線');（2）輸入正弦波檢驗性能部分%輸入正弦波波驗證濾波器特性n=0:600;t=n/11000;x1=2*sin(2*pi*2750*t) ;%正弦波信號figure;subplot(121);plot(x1);grid on;%500Hz正弦波波形axis(0,10*pi,-5,5);xlabel('t(s)');ylabel('x1');title('正弦波信號');y1=filter(B3,A3,x1) ;%數字濾波函數輸出s

29、ubplot(122);plot(y1) ;grid on;%數字濾波器輸出波形axis(0,10*pi,-3,3);xlabel('f(hz)');ylabel('y');title('數字濾波器輸出波形');注:應輸入一系列不同頻率的正弦波進行驗證，只需將 x1=2*sin(2*pi*2750*t)中的2750頻率值改變即可，這里取500HZ、2750HZ和5000HZ進行驗證。3.4 仿真結果3.4.1 濾波器性能仿真源程序設計了模擬低通濾波器、模擬帶通濾波器與數字帶通濾波器等濾波器，對各部分濾波器的性能仿真如下，下面五個圖分別為模擬低通原型濾波器幅頻特性曲線、模擬帶通濾波器幅頻特性曲線、數字帶通濾波器幅頻響應曲線（有兩個）、數字帶通濾波器相頻特性曲線，可以看到各部分濾波器波形基本滿足設計