常見分布的期望和方差

1、常見分布的期望和方差分布類型概率密度函數(shù)期望方差(M 分布 B (1； p)P二項(xiàng)分布B (n, p)Pt =尸兇= i =防穴 (4 = 1-戸)(72町np泊松分布鞏入5 =p, =PX=i = ei (!=051；13.) i!XI均勻分布U (“)幾滬或冷)=丄等b-a霑a + bd:12正態(tài)分布N-爐呼fx) = ,e(-QC <x<-kct<7 >0)<2(7A3L指數(shù)分布Egze_J*x±x>0Qtx<011-rx"才分布疋丄00耳耳湘互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0：l)*=假設(shè)+盂+ . +號(hào)ngV0m-2概率與

2、數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)摘要X1、 正態(tài)分布的計(jì)算：F(x) P(X x) ()。2、 隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度：X是服從某種分布的隨機(jī)變量，求Yf(X)的概率密度：fY(y) fX (x)h(y) h'(y)。參見P6672x y3、 分布函數(shù)F(x, y)f(u,v)dudv具有以下根本性質(zhì)：、是變量x, y的非降函數(shù)；、0 F(x,y) 1，對于任意固定的 x, y有：F( , y) F(x, )0;、F(x, y)關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y右連續(xù)；、對于任意的(為$),(X2, y2), Xi x?,yi y2，有下述不等式成立：卩區(qū)小)F(Xi,y?) F(x?,yi) F(Xi,yJ 04、一

3、個(gè)重要的分布函數(shù):F (x, y) 丄(一 arctan')( arctan)的概率密度為:232f(x,y)F(x, y)x y62(x2 4)(y2 9)5、二維隨機(jī)變量的邊緣分布:fx(X)f (x, y)dy邊緣概率密度：fY(y)f (x,y)dxFx(x)XF(x,)f (u,y)dydu邊緣分布函數(shù)：二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布。FyW)yF( ,y)f (x, v)dxdv6、 隨機(jī)變量的獨(dú)立性：假設(shè)F(x,y) Fx(x)FY(y)那么稱隨機(jī)變量X, Y相互獨(dú)立。簡稱 X與Y獨(dú)立。7、 兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度：fZ(z)fX(x)fY(z x)dxfY

4、(y)fX(z y)dy其中z= x+ Y8、 兩個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，即Z aX bYN(a “ b 2,a2 2 b2 2 。9、期望的性質(zhì)：3、E(X Y) E(X) E(Y) ;4、假設(shè)X, Y相互獨(dú)立，那么 E(XY) E(X)E(Y)。10、方差：D(X) E(X2) (E(X)2。假設(shè) X, Y 不相關(guān)，那么 D(X Y) D(X) D(Y)，否那么 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y),D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)12、相關(guān)系數(shù)：XYCov(X,Y) Cov(X,Y)(X) (Y), D(X) .、.DYTXY1，當(dāng)

5、且僅當(dāng)X與Y存在線性關(guān)系時(shí)XY1，且1,XY 1,當(dāng) b>0;當(dāng) b<0。13、k階原點(diǎn)矩：VkkE(X ) , k階中心矩:k E(XkE(X)。14、切比雪夫不等式:P X E(X)15、獨(dú)立同分布序列的切比雪夫大數(shù)定律：因Xi1E(X)1。貝努利大數(shù)定律:Xi11、協(xié)方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(YE(Y)，假設(shè) X, Y獨(dú)立，那么 Cov(X,Y) 0,此時(shí)稱：X與丫不相關(guān)。16、獨(dú)立同分布序列的中心極限定理:(1)、當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和nZnXi的分布近似于正態(tài)分布 N(n ,n 2)。i 1、對于Xi，X2,Xn的平均值X - Xi ,有E

6、(X) - E(Xi) niiniiD(X)1 nJ2D(Xi)n i i，即獨(dú)立同分布的隨機(jī)n變量的均值當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布N ()。n、由上可知：lim P a Zn bn(b)(a) P a Zn b(b)(a)。17、棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理：設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù),p是事件A發(fā)生的概率，那么對任意X,(1)、當(dāng)n充分大時(shí),m近似服從正態(tài)分布,N(np npq)。(x),其中 q 1 p。N(p,-pq!。 n(2)、當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布,n18、參數(shù)的矩估計(jì)和似然估計(jì)：(參見P200) 19、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì):所估參數(shù)條件估計(jì)函數(shù)置信區(qū)間u X石x U 丁 , X u 丁 - PnUn未知t麻 sX t (n "S, x t (n "手Vn-Un未知2 (n 1)s2(n 1)s2(n 1)s2 2(n 1)'： (n 1)t (xy) ( i2)/ ni n222d9SwV mn2(Xy) t g n2n 11 2992)swj未知其中sW(m 1冷g 1)S2Y n-in2nin2 1