江蘇省蘇北三市2019屆高三上學期期末考試數學試卷(Word版,含答案)

1、,2019屆高三模擬考試試卷III數學I!(滿分160分，考試時間120分鐘)2019.11tIH$ * =丄:(X 壬)了.匚屮壬=丄> :JC *& 參考公式：樣本數據X1, X2,，Xn的方差” r ''“ I! 一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.IIIIII1.已知集合 A = 0 , 1 , 2, 3, B = x|0<xW 2，則 AA B=W.i 2.已知復數z= (2 - i)2(i是虛數單位)，貝U z的模為W .|3.已知一組樣本數據 5, 4, X, 3, 6的平均數為5,則該組數據的方差為 W.I 4.運行如圖所示

2、的偽代碼，則輸出的結果 S為W.III'!IIIJ1I蕭 While 1<8I I + 2S 2I + 3 End While Print S（第4題）5.若從2, 3, 6三個數中任取一個數記為a，再從剩余的兩個數中任取一個數記為b，則“ab是整數”的概率為W .26. 若拋物線 y2 = 2px(p>0)的焦點與雙曲線x2-與=1的右焦點重合，則實數p的值為3W.17. 在等差數列an中，若a5= 2, 8a6+ 2印=a?,則為的前6項和&的值為W.8. 已知正四棱錐的底面邊長為2 .3，高為1，則該正四棱錐的側面積為 W.9. 已知a, b R，函數f(x)

3、= (x- 2)(ax+ b)為偶函數，且在(0,+ )上是減函數，則關于 x的不等式f(2 x)>0的解集為 W .1 110.已知a>0, b>0,且a+ 3b =匚一；，貝V b的最大值為 W.n11.將函數f(x)= sin 2x的圖象向右平移末個單位長度得到函數g(x)的圖象，則以函數f(x)與6g(x)的圖象的相鄰三個交點為頂點的三角形的面積為 W.t 312.在厶 ABC 中，AB = 2, AC = 3,Z BAC= 60°, PABC 所在平面內一點，滿足 CP = ?PB+ 2 Pa，則 CP AB的值為W.13. 在平面直角坐標系 xOy中，已

4、知圓Ci： x2 + y2 + 2mx-(4m + 6)y 4= 0(m R)與以C?( 2,3)為圓心的圓相交于 A(Xi, yi), B(X2, y2)兩點，且滿足xi2 x2 = y?，則實數m的值為W.14. 已知 x>0, y>0, z>0,且 x+ . 3y+ z= 6,貝U x3 + y2 + 3z 的最小值為 W.二、 解答題：本大題共 6小題，共90分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算 步驟15. (本小題滿分14分)在厶ABC中,sin A= -, A 3n ).PB+ 2 Pa，則 CP AB的值為W.PB+ 2 Pa，則 CP AB的值為W.(

5、1)求sin 2A的值；若sin B= *求cos C的值.16. (本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D, E, F分別是B1d, AB, AA1的中點.(1)求證：EF /平面 A1BD ;若A1B1= A1C1，求證：平面 A1BD丄平面BB1CQ.17. (本小題滿分14分)如圖，某公園內有兩條道路 AB, AP ,現計劃在AP上選擇一點C,新建道路BC,并把 ABCn所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域 .已知/ BAC =, AB = 2 km.6(1) 若綠化區(qū)域 ABC的面積為1 km2，求道路BC的長度；(2) 若綠化區(qū)域 ABC改造成本為10萬元/km2,新建道

6、路BC成本為10萬元/km.設/ ABC =18. (本小題滿分16分)22f2如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:字+ b= 1(a>b>0)的離心率為 帀，且右焦點到右準線I的距離為1.過x軸上一點M(m, 0)(m為常數，且 m (0, 2)的直線與橢圓C交于A,B兩點，與I交于點P, D是弦AB的中點，直線 OD與I交于點Q.(1)求橢圓C的標準方程;#曰 若是,求出定點坐標；若不是，請說明理由19. (本小題滿分16分) 已知函數 f(x)= (x a)ln x(a R).(1) 若a = 1，求曲線y= f(x)在點(1, f(1)處的切線的方程；(2) 若對于

7、任意的正數x, f(x) > 0恒成立，求實數a的值;若函數f(x)存在兩個極值點，求實數 a的取值范圍.20. (本小題滿分16分)已知數列an滿足對任意的 n N ,都有 an(q an 1) + 2q an an+1= an+1 (1 q an+1),且 an+1 + , an* 0,其中 a1= 2, qz 0記 Tn = a1+ qa?+ q2as+ qn1an.:(1) 若 q = 1，求 T2 019 的值；:n1(2) 設數列bn滿足 bn= (1 + q)Tn q an.: 求數列bn的通項公式；i 若數列 cn滿足c1= 1，且當nA 2時，cn= 2bn1 1,是否

8、存在正整數 k, t，使c1, ck c1,:ct Ck成等比數列？若存在，求出所有k, t的值；若不存在，請說明理由.:2019屆高三模擬考試試卷數學附加題（滿分40分，考試時間30分鐘）21. 【選做題】 在A, B, C三小題中只能選做 2題，每小題10分，共20分若多做，則按 作答的前兩題計分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟A. （選修42:矩陣與變換）；0117 20 1_1已知矩陣A =，B=，求A“B.2318B. （選修44:坐標系與參數方程）在極坐標系中，曲線 C: p= 2cos 0 以極點為坐標原點，極軸為x軸非負半軸建立平面直角坐標系xOy,設過點A（3,

9、 0）的直線I與曲線C有且只有一個公共點，求直線I的斜率.C. (選修45:不等式選講)已知函數f(x)= |x 1|.(1)解不等式 f(x 1)+ f(x+ 3)> 6;b 若|a|<1, |b|<1，且 a豐 0,求證：f(ab)>|a|f(a).a【必做題】 第22, 23題，每小題10分，共20分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程 或演算步驟22. 如圖， 在三棱錐 DABC 中，DA 丄平面 ABC，/ CAB = 90°，且 AC= AD = 1 , AB= 2, E 為BD的中點.(1)求異面直線AE與BC所成角的余弦值；23. 已知數列an

10、滿足 ai=1, a*+1=- 2a2 + 2an,N .1(1) 用數學歸納法證明：an (0, )；£右嚴3.令 bn= 1- an,求證：2019屆高三模擬考試試卷（五）（蘇北三市）數學參考答案及評分標準1. 1 ,22. 53.24.215.16.47. 158. 8 39. （0,4）10. 111. -n3712. 113. - 614.415. 解：（1）由 sin A = I, A （于,n ），貝V cos A =1 sin 2a = , 1 （|）2=一f，（2分）所以 sin 2A= 2sin Acos A = 2X2x（二分）冗由A （1, n ），則B為銳角

11、.又 sin B = 3，所以 cos B= 1 sin 2b = - 1（ ；） 2 = 'j2 , （8 分）所以 cos C= cos （A+ B）= （cos Acos B sin Asin B）（12 分）/ 並池 2/210+ 2 八一（-丁丐-尹耳=廠.3分）16. 證明：（1）因為E, F分別是AB, AA1的中點，所以EF /人袒.（3分） 因為EF?平面A1BD , A1B?平面A1BD ,所以EF /平面A1BD.（6分） 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1丄平面A1B1C1.因為A1 D?平面A1B1C1，所以BB1丄AQ. （8分）因為A1 B1 = A

12、1C1，且D是B1C1的中點，所以"D丄B1C1.（10分）因為 BBJ B1C1 = B1, B1C1, BB1?平面 BB1C1C,所以A1D丄平面BB1C1C.（12分）因為A1 D?平面A1BD,所以平面 A1BD丄平面BB1C1C. （14分）冗17. 解：（1）在厶 ABC 中，已知/ BAC=S，AB = 2 km ,1 n所以 ABC的面積S=丄X ABX ACX sin = 1,解得 AC= 2.（2分）2 6在厶 ABC 中，由余弦定理得 BC2= AB2+ AC2 2 X ABX ACX cos 6=22+ 22 2X 2X 2X cos 疳=8 4 3, （4

13、 分）所以 BC = .8 4,3 =6 ,2（km）.（5 分）（2）由/ABC = 則/ ACB = n （ 0+7）,0< 0 < 牛.AC = BC = ABsin B sin A sin Cn在厶ABC中，/ BAC = , AB= 2 km，由正弦定理得6所以 bc = 1, AC=Jnsin ( 0+)記該計劃所需費用為F( 0),r t1 2sin 0則 F( 0) = X2nsin ( 0+ )n .(7 分) sin ( +石)X 2X - X 10 +21nsin ( 0+)X 10= 10( sin 0+ 1)(0< 0< 牛).(10nsin

14、( 0+)令 f( 0 =sinsin 0 + 1，貝U f' 0 =10 +qcos 0nsin ( 9-3)/ 3 .1gin 0 + qcos.(11 分)由f' 0= 0，得n0=石.所以當0 (0,n石)時，f' (0)<0, f(0)單調遞減;rn 2 n當0(石，丁)時，f' (0)>0，f(0)單調遞增.(12分)n所以當0 =-時，該計劃所需費用最小6 (14 分)n答：當 =匚時，該計劃所需總費用最小618.解：(1)所以a2= 2,c= 2a 2，2 c = 1, c2b2= 1，所以橢圓C的標準方程為| + 一 1.(4分)設

15、橢圓的右焦點為(c, 0),由題意，得解得,a= V2,丄=1,當直線AB的斜率不存在或為零時顯然不符合題意由題意，設AB的斜率為k,則直線AB的方程為y= k(x- m).又準線方程為x = 2,所以點P的坐標為P(2, k(2 m).(6分)ry= k (x m),222i 2+ 2y22 得 x + 2k (x m) = 2,x + 2y = 2,即 (1 + 2k2)x2 4k2mx + 2k2m2 2= 0,2 2 2所以 Xd =密,yD= m)=誓 ,(8 分)D 2 2k2+ 1 2k2+ 12 k2 + 12k2+ 11 1所以k°D =-示從而直線OD的方程為y示

16、,1所以點Q的坐標為Q(2, - 1, (10分)1所以以PQ為直徑的圓的方程為(x 2)2+ y- k(2- m)(y+ -)= 0,K即 x2- 4x+ 2+ m+ y2-k(2- m) - -y= 0.(14 分)ky = 0,x= 22 m因為該式對？2 0恒成立，所以<22 解得±，lx - 4x+ 2 + m + y = 0,、y= 0.所以以PQ為直徑的圓經過定點(2 ± 2- m, 0).(16分)19. 解：(1)因為 f(x)= (x- a)ln x(a R)，所以當 a= 1 時，f(x) = (x- 1)ln x,則 f'x) = In

17、 x + 1 -三.(1 分)當 x= 1 時，f(1) = 0, f' (1) = 0,所以曲線f(x)在點(1, f(1)處的切線的方程為 y= 0.(3分)(2)因為對于任意的正數 x, f(x) > 0恒成立，所以當 lnx= 0,即卩 x= 1 時，f(x) = 0, a R； (5 分)當In x>0，即x>1時，x> a恒成立，所以a< 1;(6分)當ln x<0，即x<1時，xw a恒成立，所以a> 1.綜上可知，對于任意的正數x, f(x)> 0恒成立，a= 1. (7分)因為函數f(x)存在兩個極值點，所以f&#

18、39;x)= ln x- - +1存在兩個不相等的零點.x設 g(x)= ln x- - + 1,貝H g，x)= - + 2= xza.(8 分)當a> 0時，g' (x)>0，所以g(x)單調遞增，至多一個零點.(9分)當 a<0 時，x (0, - a)時，g' (x)<0 , g(x)單調遞減，x (-a,+s )時，g' (x)>0 , g(x)單調遞增，所以 x=- a 時，g(x)min = g( - a) = ln( - a)+ 2.(11 分)因為g(x)存在兩個不相等的零點，所以ln( - a)+ 2<0,解得一e

19、-2<a<0.-2 1 2因為一e <a<0,所以一？e2> - a.a因為g(-1 = ln(-丄)+ a2+ 1>0,所以g(x)在(-a,+ )上存在一個零點.(13分) aaI I -2 2 2 2 1 1 因為一e <a<0,所以 a < a.又 g(a ) = ln a -：+ 1 = 2ln( a) + a + 1, aa11設 t = a，貝U y = 2ln t+ 1(0<t<2)te2t一 111因為y'=孑<0,所以y= 2ln t + - + 1(0<t<-2)單調遞減.又函數圖

20、象是連續(xù)的，所以y>2ln爲+ e2+ 1= e2- 3>0,所以g(a2) = in a2 1 + 1>0,所以在(0, - a)上存在一個零點.a綜上可知，e 2<a<0.(16分)20. 解：(1)當 q= 1 時，由 an(qnan 1) + 2qnanan+i = an+1(1 qnan+1), 得(an+ 1 + an) = an+ 1 + an.又 an+1 + anM 0，所以 an+1 + an= 1.(2 分)又 a1 = 2,所以 T2 019= a1+ (a2+ a3)+ (a4+ a5) + + (a2 018 + a2 019) = 1

21、 011.(4 分)(2) 由 an(q an 1) + 2q anan +1= an +1(1 q an+1)，得 q (an +1 + an) = an+1+ an.、1又 an+1 +0，所以 an+1 + a*= n.(6 分)q因為 Tn= a1 + qa2+ q?a3+ q" 1an,所以 qTn= q% + q2a2 + q3as+ qnan,所以(1 + q)Tn= a1+ q(a1+ a2)+ q2(a2+ a3)+ q3(a3+ a4)+ + qn 1(an-1+ an) + qnan, bn= (1 + q)Tn q"an= a1 + 1 + 1 +

22、1 + an qn = a1 + n 1 = n+ 1,所以 bn= n+ 1.(10 分)由題意，得 cn= 2bn1 1 = 2“一 1, n2.因為C1, Ck C1, Ct ck成等比數列，所以(Ck c=C1(ct Ck)，即(2k 2)2 = 2 2,(12 分)所以 2t= (2k)2 3 2k+ 4,即卩乞2= (2k 1)2 3 2 k 2+ 1(*).由于Ck 5工0，所以kz 1，即k2.當 k= 2 時，2t= 8，得 t = 3.(14 分)當 k> 3 時，由(*)得(2k 1)2 3 2k 2+ 1 為奇數，所以t 2 = 0,即t= 2，代入(*)得22k

23、 2 3 2k 2= 0,即2k= 3,此時k無正整數解 綜上，k= 2, t= 3.(16 分)2019屆高三模擬考試試卷（五）（蘇北三市）數學附加題參考答案及評分標準-_ 3 1 21. A.解：由題意得A1 =2 2, （5分）.1 0 一,-3 n-2 M -5 41所以 A 1B=2 2 I|=2.（10 分）.1 0 A 2 0 一（）2 2B.解：曲線C:尸2cos 0的直角坐標方程為（x 1） + y = 1.（4分） 設過點A（3, 0）的直線I的直角坐標方程為 x= my+ 3,因為直線I與曲線C有且只有一個公共點，所以解得m= + 3.(8 分)所以 cosAE , BC

24、45 ,從而直線I的斜率為±£.（10分）3C. (1)解：不等式的解集是(一8, 3 U 3 ,+ ).(4分) 證明：要證 f(ab)>|a|f(a)，只要證 |ab 1|>|b a|,只需證(ab 1)2>(b a)2.而(ab 1)2 (b a)2= a2一 a2 b2+ 1 = (a2 1)(b2 1)>0, 從而原不等式成立.(10分)22. 解：因為DA丄平面ABC, / CAB = 90°所以以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 Axyz.因為AC= AD = 1, AB= 2,所以 A(0, 0, 0), C(1,

25、 0, 0), B(0, 2, 0), D(0 , 0 , 1).1因為點E為線段BD的中點，所以E(0 , 1, ?.1->(1) AE= (0 , 1,刁,BC = (1 , 2 , 0),所以異面直線AE與BC所成角的余弦值為5.(5分)(2)設平面 ACE 的法向量為 n 1= (x , y , z),因為 AC = (1, 0 , 0) , AE= (0 , 1 ,號), 所以 n 1 AC = 0, m AE = 0,即 x= 0 且 y+ *z= 0,取 y= 1,得 x= 0 , z= 2 , 所以n 1 = (0 , 1, 2)是平面ACE的一個法向量.設平面 BCE 的法向量為 n2= (x , y , z),因為 BC = (1, 2 , 0) , BE= (0 , 1 , |),所以所以所以n 2 Be = o, n2