高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章函數(shù)210函數(shù)模型及其應(yīng)用教學(xué)案 理新人教A版

1、.2.10函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱要求1了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用1幾類函數(shù)模型及其增長(zhǎng)差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)(2)三種增

2、長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較指數(shù)函數(shù)yax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0)在區(qū)間(0，)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)ax會(huì)小于xn，但由于ax的增長(zhǎng)_xn的增長(zhǎng)，因而總存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)有_對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長(zhǎng)速度，不論a與n值的大小如何總會(huì)_yxn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi)總存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xx0時(shí)有_由可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在(0，)上，總會(huì)存在一個(gè)x0，使xx0時(shí)有_2解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順

3、數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題以上過(guò)程用框圖表示如下：1下列函數(shù)中，隨x的增大函數(shù)值增大速度最快的是()Ayex By100ln xCyx100 Dy100·2x22006年8月30日到銀行存入a元，若年利率為x，且按復(fù)利計(jì)算，到2014年8月30日可取回()Aa(1x)8元Ba(1x)9元Ca(1x8)元Da(1x)8元3在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1.99345.16.12y1.5

4、4.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()Ay2x2 By(x21)Cylog3x Dy2x24有一批材料可以建成200 m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最大面積為_(圍墻厚度不計(jì))5里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_倍一、

5、一次函數(shù)與分段函數(shù)模型【例11】已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時(shí)的速度從A地前往B地，到達(dá)B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x(千米)表示為時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，則下列正確的是()Ax60t50t(0t6.5)BxCxDx【例12】根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在最近40天內(nèi)的價(jià)格P與時(shí)間t的關(guān)系用圖(1)中的一條折線表示，銷售量Q與時(shí)間t的關(guān)系用圖(2)中的線段表示(tN*)(1)分別寫出圖(1)表示的價(jià)格與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系Pf(t)，圖(2)表示的銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系Qg(t)；(2)這種商品的銷售額S(銷售量與價(jià)格之積)的最大值及此時(shí)的時(shí)間方法

6、提煉1在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系是一次函數(shù)模型，其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)2在現(xiàn)實(shí)生活中，很多問(wèn)題的兩變量之間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成分段函數(shù)如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，就是分段函數(shù)提醒：分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個(gè)不同問(wèn)題，將各段的規(guī)律找出來(lái)，再將其合在一起要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)請(qǐng)做演練鞏固提升5二、二次函數(shù)模型【例2】某加工廠需定期購(gòu)買材料，已知每千克原材料的價(jià)格為1.5元，每次購(gòu)買原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元，每千克原材料每天的保管費(fèi)用為0.03

7、元，該廠每天需要消耗原材料400千克，每次購(gòu)買的原材料當(dāng)天即開始使用(即有400千克不需要保管)(1)設(shè)該廠每x天購(gòu)買一次原材料，試寫出每次購(gòu)買的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該廠多少天購(gòu)買一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最少，并求出這個(gè)最少總費(fèi)用方法提煉1有些問(wèn)題的兩變量之間是二次函數(shù)關(guān)系，如面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、產(chǎn)量問(wèn)題等構(gòu)建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調(diào)性解決提醒：在解決二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一定要注意定義域2形如f(x)kx(ka0)的函數(shù)，實(shí)際是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的“和”函數(shù)，根據(jù)其圖象特點(diǎn)，通常稱其為“對(duì)勾函數(shù)”，這種函數(shù)模型在現(xiàn)實(shí)生活中也

8、有著廣泛的應(yīng)用常常利用“基本不等式”求解，有時(shí)也利用函數(shù)單調(diào)性求解請(qǐng)做演練鞏固提升1三、指數(shù)函數(shù)模型【例3】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問(wèn)題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)方法提煉1指數(shù)函數(shù)模型，常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn)題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表示2應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵

9、是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型3ya(1x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解4對(duì)于直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)要注意區(qū)分：直線上升：勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；指數(shù)增長(zhǎng)：先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)：先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢公司的利潤(rùn)選擇直線上升或指數(shù)模型增長(zhǎng)，而員工獎(jiǎng)金選擇對(duì)數(shù)模型增長(zhǎng)請(qǐng)做演練鞏固提升4函數(shù)模型應(yīng)用解答題的規(guī)范解答【典例】(12分)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中

10、的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx(cm)(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值規(guī)范解答：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(2分)(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，(4分)所以當(dāng)x15時(shí)，S取得最大值(6分)(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)(8分)由V0得x0(舍)或x20.(9分)當(dāng)x(0,20)時(shí)，V0

11、；當(dāng)x(20,30)時(shí)，V0.所以當(dāng)x20時(shí)，V取得極大值，也是最大值(11分)此時(shí).即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.(12分)答題指導(dǎo)：1在解答本題時(shí)有兩點(diǎn)容易造成失分：(1)忽視實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量x的限制即定義域(2)將側(cè)面積、容積求錯(cuò)，從而造成后續(xù)的求解不正確2解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考中要高度關(guān)注：(1)讀不懂實(shí)際背景，不能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型(2)對(duì)涉及到的相關(guān)公式，記憶錯(cuò)誤(3)在求解的過(guò)程中計(jì)算錯(cuò)誤另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解1某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y3 00020x0.1x2

12、(0x240，xN*)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A100臺(tái) B120臺(tái) C150臺(tái) D180臺(tái)2某工廠采用高科技改革，在兩年內(nèi)產(chǎn)值的月增長(zhǎng)率都是a，則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為()Aa121 B(1a)121Ca Da13已知y與x(x100)之間的部分對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x1112131415y則x和y可能滿足的一個(gè)關(guān)系式是_4一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精

13、含量不得超過(guò)0.09 mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)_小時(shí)才能開車(精確到1小時(shí))5某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤(rùn)與投資單位：萬(wàn)元)(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資x(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1(2)快于axxn慢于logaxxnaxxnlogax基礎(chǔ)自測(cè)1A解析：在(0，)上，總存

14、在一個(gè)x0，使xx0時(shí)有axxnlogax(a1)，排除B，C.又e2，ex的增長(zhǎng)速度大于100·2x的增長(zhǎng)速度2A解析：由題意知一年后可取回a(1x)元，二年后可取回a(1x)2元，2014年8月30日可取回a(1x)8元3B解析：把表格中的數(shù)據(jù)代入選擇項(xiàng)的解析式中，易得最接近的一個(gè)函數(shù)是y(x21)42 500 m2解析：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為m，則Sx·(x2200x)當(dāng)x100時(shí)，Smax2 500 m2.5610 000解析：第一空，lg 1 000lg 0.0013(3)6，第二空，設(shè)9級(jí)地震時(shí)最大振幅為A1,5級(jí)地震時(shí)最大振幅為A2，則9lg A1(3)，5

15、lg A2(3)，所以A1106，A2102，10 000.考點(diǎn)探究突破【例11】D解析：依題意，函數(shù)為分段函數(shù)求出每一段上的解析式即可【例12】解：(1)Pf(t)Qg(t)，t1,40，tN*.(2)當(dāng)1t20時(shí)，S2.tN*，t10或11時(shí)，Smax176.當(dāng)20t40時(shí)，S(t41)t228t為減函數(shù)；當(dāng)t20時(shí)，Smax161.而161176，當(dāng)t10或11時(shí)，Smax176.【例2】解：(1)每次購(gòu)買原材料后，當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需要保管3天，第x天(也就是

16、下次購(gòu)買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次購(gòu)買的原材料在x天內(nèi)的保管費(fèi)用y1400×0.03×123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，購(gòu)買一次原材料的總費(fèi)用為(6x26x6001.5×400x)元，購(gòu)買一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用為y(6x26x600)1.5×4006x594.y2594714.當(dāng)且僅當(dāng)6x，即x10時(shí)取得等號(hào)該廠10天購(gòu)買一次原材料可以使平均每天支付的總費(fèi)用y最少，最少總費(fèi)用為714元【例3】解：(1)1年后該城市人口總數(shù)為y100100×1.2%100×(11.2%)2年后該城

17、市人口總數(shù)為y100×(11.2%)100×(11.2%)×1.2%100×(11.2%)2.3年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)2100×(11.2%)2×1.2%100×(11.2%)3.x年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)x.所以該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系是y100×(11.2%)x.(2)10年后人口總數(shù)為100×(11.2%)10112.7(萬(wàn))所以10年后該城市人口總數(shù)約為112.7萬(wàn)(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人，即10

18、0(11.2%)x120，于是1.012x，xlog1.012log1.0121.215.315(年)大約15年后該城市人口總數(shù)將達(dá)到120萬(wàn)人演練鞏固提升1C解析：設(shè)利潤(rùn)為f(x)(萬(wàn)元)，則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 0000，又xN*，x150.2B解析：不妨設(shè)第一年8月份的產(chǎn)值為b，則9月份的產(chǎn)值為b(1a),10月份的產(chǎn)值為b(1a)2，依次類推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12個(gè)月，即一個(gè)時(shí)間間隔是1個(gè)月，這里跨過(guò)了12個(gè)月，故第二年8月份產(chǎn)值是b(1a)12.又由增長(zhǎng)率的概念知，這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長(zhǎng)率為：(1a)121.3y(108x)2(x100)解析：將11,12,13,14,15對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別寫成，分母成等差數(shù)列，由此可知分母an97(n11)(1)97n11108n.所以x和y可能滿足的一個(gè)關(guān)系式是y(108x)2(x100)45解析