高等數(shù)學 上下冊1_6 函數(shù)的連續(xù)性和間斷點ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的延續(xù)性與延續(xù)點函數(shù)的延續(xù)性與延續(xù)點 一、函數(shù)的延續(xù)性一、函數(shù)的延續(xù)性 函數(shù)的延續(xù)性是與函數(shù)極限親密相關的一個重要概函數(shù)的延續(xù)性是與函數(shù)極限親密相關的一個重要概念，延續(xù)性概念的建立是進一步討論函數(shù)的微分和積分念，延續(xù)性概念的建立是進一步討論函數(shù)的微分和積分的根底的根底.自然界中有許多現(xiàn)象， 如氣溫的變化、 河水的流動、自然界中有許多現(xiàn)象， 如氣溫的變化、 河水的流動、植物的生長等等， 都是連續(xù)變化的植物的生長等等， 都是連續(xù)變化的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關系這種現(xiàn)象在函數(shù)關系上的反映， 就是函數(shù)的連續(xù)性， 下面先引入增量的概念，上的反映， 就是函數(shù)的連續(xù)性， 下面先引入增量的概念，然

2、后來描述連續(xù)性，并給出連續(xù)性的定義然后來描述連續(xù)性，并給出連續(xù)性的定義. 0 x0 xxxy( )yf xOyx圖圖1-29例如，函數(shù)例如，函數(shù)2yx，當，當 x 從從0 x變到變到0 xx時，求函數(shù)的時，求函數(shù)的增量增量.22200000()()()2yf xxf xxxxxxx . 2. 函數(shù)在一點處的連續(xù)定義函數(shù)在一點處的連續(xù)定義 函數(shù)函數(shù)( )yf x在點在點0 x處連續(xù)，從幾何直觀上看它的圖處連續(xù)，從幾何直觀上看它的圖形在形在0 x的附近是連綿不斷的曲線，當自變量在的附近是連綿不斷的曲線，當自變量在0 x的附近變的附近變化很微小時，對應的函數(shù)的變化也極其微小化很微小時，對應的函數(shù)的變

3、化也極其微小. 函數(shù)在點函數(shù)在點0 x處連續(xù)的定義有以下三種不同的敘述方處連續(xù)的定義有以下三種不同的敘述方式：式： 定定義義 1 1 設設函函數(shù)數(shù)( )yf x在在0()U x內(nèi)內(nèi)有有定定義義， 如如果果當當自自變變量量 的的 增增 量量0 xxx 趨趨 于于 零零 時時 ， 對對 應應 的的 函函 數(shù)數(shù) 增增 量量00()()yf xxf x 也也趨趨于于零零，即即0lim0 xy ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)( )yf x在在點點0 x連連續(xù)續(xù). 在定義在定義 1 中，設中，設0 xxx，且，且0 x ，即，即0 xx，又因為又因為 000()()( )()yf xxf xf xf x 0( )()

4、f xf xy 可見可見0y ，即為，即為0( )()f xf x，因此，因此 000lim0lim( )()xxxyf xf x . 這樣可得這樣可得( )yf x在點在點 0 x處連續(xù)的又一種方式定處連續(xù)的又一種方式定義：義： 定義定義 2 2 設函數(shù)設函數(shù)( )yf x在在0()U x內(nèi)有定義，如果內(nèi)有定義，如果( )f x當當0 xx時的極限存在，且等于它在時的極限存在，且等于它在 0 x處的函數(shù)值處的函數(shù)值0()f x，即，即 00lim( )()xxf xf x，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)( )f x在點在點 0 x連續(xù)連續(xù). 例例 1 1 證證明明函函數(shù)數(shù)3yx在在點點0 x連連續(xù)續(xù).

5、證證 當當自自變變量量 x 的的增增量量為為x時時， 函函數(shù)數(shù)3yx對對應應的的增增量量為為 333230000()33yxxxxxxxx 又又 2230000limlim(33)0 xxyxxxxx 所所以以3yx在在點點0 x連連續(xù)續(xù)，這這是是對對定定義義 1 給給出出的的證證明明. 例例 2 2 討討論論函函數(shù)數(shù) 3,0,( )2,0,4cos ,0 xxf xxx x 在在0 x 處處的的連連續(xù)續(xù)性性. 解解 因因為為00lim( )lim(3)3xxf xx， 00lim( )lim(4cos )3xxf xx， 又又 (0)2f，雖雖0lim( )3xf x 但但0lim( )(0

6、)xf xf 故故( )f x在在0 x 處處不不連連續(xù)續(xù). 3 3區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) （1）在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在開區(qū)間開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，或稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，或稱函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連內(nèi)連續(xù)續(xù). （2）若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，且在左端內(nèi)連續(xù)，且在左端 a 處右處右連續(xù)，在右端點連續(xù)，在右端點 b 處左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間處左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間a，b上上連續(xù)連續(xù). 由連續(xù)函數(shù)定義可知，基本初等函數(shù)在其各自定義域由連續(xù)函數(shù)定義可知，基本初等函數(shù)在其各自定義域內(nèi)連續(xù)，有理

7、分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)，有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù). 例例 3 3 討論函數(shù)討論函數(shù) 21,101,( )arccos,11xxf xxx 在其定義域內(nèi)的連續(xù)性在其定義域內(nèi)的連續(xù)性. 解解 顯然在顯然在( 10, 1)( 1,1內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)( )f x連續(xù)連續(xù). 21( 1 )lim10 xfx ， 1( 1 )lim (arccos)0 xfx， 又，又，( 1)0f ，則，則( )f x在在1x 處連續(xù)處連續(xù). 綜上綜上，( )f x在在其定義域其定義域( 10,1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 根根據(jù)據(jù)函函數(shù)數(shù)在在點點0 x處處連連續(xù)續(xù)的的定定義義，如如果果當當( )f x在在點點0 x的

8、的某某個個去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義或或00lim( )()xxf xf x或或0lim( )xxf x不不存存在在,則則點點0 x為為函函數(shù)數(shù)( )f x的的不不連連續(xù)續(xù)點點,即即點點0 x為為函函數(shù)數(shù)( )f x的的間間斷斷點點. 例例如如,1( )f xx在在0 x 處處沒沒有有定定義義,即即知知0 x 為為1( )y xx的的間間斷斷點點. 又又如如1sin,0( )0,0 xf xxx 當當0 x 時時,函函數(shù)數(shù)值值在在-1 與與 1 之之間間變變動動無無限限多多次次,即即極極限限001lim( )limsinxxf xx不不存存在在,故故0 x 是是( )f x的的間間斷斷點點. 二、函數(shù)的延續(xù)點及其分類二、函數(shù)的延續(xù)點及其分類 函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點點可可分分為為第第一一類類間間斷斷點點和和第第二二類類間間斷斷點點. 從從上上述述兩兩例例可可知知,第第一一類類間間斷斷點點包包含含可可去去間間斷斷點點和和跳跳躍躍間間斷斷點點兩兩種種.簡簡言言之之,當當0000()()(),f xf xf xx為為可可去去間間斷斷點點;當當00()()f xf x時時,0 x為為跳跳躍