淺議Ramsey定價

1、淺議Ramsey定價1、Ramsey定價的主人在當今的各種定價策略和定價模型中，我們很常聽到的一個名詞就是Ramsey Prici ng。它可以說是定價研究的基石，無論是在簡單的單一企業(yè)多產(chǎn)品 輸出的社會效益最優(yōu)的定價原則下，還是在復雜的多競爭市場社會效益最優(yōu)的定 價原則下，甚至是在當今流行的非線性定價原則下都有著本質上的體現(xiàn)。我們可以想象這樣一種場景，當你在復雜的約束條件下費盡心思構架出合理的最優(yōu)方 程，經(jīng)過數(shù)學計算一步步化簡，結果展現(xiàn)在你面前的公式仍舊繞不開Ramsey定價方程的影子時，你會作何感想？會不會覺得總有個巨大的力量在牽拽著你，一步步走向問題的本質。我想這就是一個完美的數(shù)學模型所

2、蘊含的魔力，它就像一粒種子在不斷的生長，也會開出多彩的花兒。我想，在挖掘種子、欣賞花朵之前 我們有必要了解這粒種子的主人：弗蘭克拉姆齊（Frank Plumpton Ramsey,1903.2.22 - 1930.1.19。弗蘭克拉姆齊是維特根斯坦和羅素的在抽象思維方面無可匹敵的朋友，是 獲得了凱恩斯和哈羅德極大尊重的經(jīng)濟學家，是一位被認為是在哥德爾之前對數(shù) 學基礎和數(shù)理邏輯有著卓而不群思考的數(shù)學家， 是一位為求解一道難題而發(fā)明了 至今仍吸引著數(shù)學家們熱情研究的拉姆齊理論”但那道難題本身卻被后來的數(shù)學家證明是不可能求解的數(shù)學家。當這位天才人物死去的時候，另一位公認的天 才，哥德爾，在1931年

3、，以所謂 不完全性定理”改寫了全部數(shù)學基礎，以致今 天學者們紛紛推測假如拉姆齊多活哪怕兩年，數(shù)學會不會還是今天這個樣子?？梢哉f在他短促的一生中在許多領域都做出了開拓性的貢獻。 在哲學方面提 出了 “真理的多余理論”，在組合數(shù)學方面提出了“拉姆齊定理”，而在經(jīng)濟學方 面則提出了 “拉姆齊定價”。他的一生只度過短短的27個春秋，僅發(fā)表了三篇論 文，但他卻是劍橋大學永恒的驕傲。他的三篇文章是：關于不確定條件下效用的衡量問題的論文（1926）;對 稅收理論的貢獻（1927）;儲蓄的數(shù)學理論（1928）?？蓜e小看這三篇論文，他的貢獻可不遜于獲得諾貝爾獎的經(jīng)濟學家的貢獻。第一篇文章的價值是馮.諾依曼和摩根

4、斯坦在40年代發(fā)現(xiàn)的，并作為附錄被 收錄在他們出版的博弈理論與經(jīng)濟行為一書中，此文可謂是現(xiàn)代博弈論的開 山之作。第二篇和第三篇論文分別聯(lián)結著1996和1995年兩座諾貝爾經(jīng)濟學獎得 獎杯。甚至于薩繆爾森將他的名字與全知萬能的上帝并列。在了解了這位非同一般的偉大的主人后，我們再來挖掘那顆種子“RamseyPricing”，你就會徹底的折服于它的美妙，這是一種混雜著科學和藝術的美妙。2、拉姆齊定價(Ramsey Pricing )和最優(yōu)稅收(optimal tax )相對于邊際成本定價所導致的社會總福利最大的“最優(yōu)”(first best)定價規(guī)則而言，盈虧平衡條件下最大化社會總福利的定價規(guī)則被稱

5、為“次優(yōu)”定價(seco nd best)，這一工作最早由拉姆齊做出(Ramsey, 1927)。他原本考慮的是 最優(yōu)商品稅(optimal commodity tax)問題，即如何制定價格在達到一個最低稅 收收入的前提下最小化社會總福利損失。由此歸納出拉塞姆法則：為了最小化稅 收帶來的超額負擔，稅率應設定在使每種商品需求量減少比例(由于稅收帶來的) 相等的水平上。顯然，當最低稅收收入等于固定成本時， 這兩個問題是等價的。最優(yōu)稅收理 論后來被Mirrlees (1971, 1976)發(fā)展，他進一步考慮了不同消費者的類型 (type) 問題，商品之間的替代與互補問題，信息不對稱下消費者的激勵相容

6、和自我選擇 問題等等，他的結論為最優(yōu)稅率應當是非線性的，對于最大消費者的稅率應當為0,即“在最高處沒有扭曲”。這一結論同非線性定價極為類似，因此他的研究對 于非線性定價有著最為直接的關系。在早期的公用事業(yè)定價和壟斷規(guī)制領域，拉姆齊定價并未受到理論界應有的重視，后來被法國經(jīng)濟學家博伊塔克(Boiteux, 1971 )重新發(fā)掘，因此又被稱為 拉姆齊一博伊塔克反彈性規(guī)則(Ramsey-Boiteux in verse elasticity rule)。拉姆齊定價的含義為價格在邊際成本上的加成同價格需求彈性的倒數(shù)成比例，即入 17y ，其中，口為服務i的價格，mc為邊際成本，8為價格彈pi性，入是拉

7、格朗日乘子，F(xiàn)被稱為拉姆齊數(shù)Ramsey number)。根據(jù)這一規(guī)1+入 &則，價格彈性較低的小客戶將被收取較高的價格，因此為固定成本的補償做出更 多的貢獻。拉姆齊定價是價格歧視以及非線性定價的理論基礎，在實踐中也得到日益廣泛的應用。美國的州際貿(mào)易委員會在1983年放棄了 FDC定價，開始采用Ramsey 定價對鐵路運輸?shù)膬r格進行規(guī)制（Baumol, 1989）。學界認為，對于公共事業(yè)定 價而言，20世紀70年代是拉姆齊定價的時代，80年代則是非線性定價的時代。3、拉姆齊定價的簡單舉例和適用原則適用于受管制的企業(yè)（如公用事業(yè)，其利潤最高額是受限制的）和非盈利企 業(yè)（期望能補償成本）。

8、假定有一家企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，X和丫。產(chǎn)品X的需 求彈性比產(chǎn)品丫大，即EX>EY，他們的邊際成本都是常數(shù)，MCX和MCY。 如果X和丫都按邊際成本定價（分別為 PX和PY），則X的需求量為QX，丫 為QY。但由于企業(yè)的固定成本未包括在邊際成本中，TRvTC。為了使企業(yè)的總成本得到補償，至少有一種產(chǎn)品的定價要高于邊際成本。拉姆齊定價的條件是， 產(chǎn)品價格偏離MC的距離與其需求彈性成反比，且滿足零利潤條件，即總收入=總成本。與最優(yōu)定價（first-best pricing，即按邊際成本定價）相比，拉姆齊定價 是一種次最優(yōu)定價（sec on d-best pric ing），即在對資源配置的消極影

9、響最小的同 時，允許企業(yè)至少不虧不盈。對需求彈性大的產(chǎn)品（如 X），價格應定得與邊際 成本較近；反之，對需求彈性相對較小的產(chǎn)品（如丫），價格應定得離邊際成本較遠。更加簡單的說就是在邊際成本基礎上的合理加價（mark-up）。拉姆塞定價實際上是一種將相同的商品或服務分割在不同的市場中并收取 不同價格的三級價格歧視。但它與獲得壟斷利潤最大化為目的的三級價格歧視不 同,其價格的差別是以回收成本為目的，因此是一種管制上容許的價格歧視。針對公用事業(yè)的拉姆塞定價，有關文獻提出了可允許的價格歧視的 4個原 則:允許公用事業(yè)企業(yè)的收費彌補全部成本但不能超過成本 ；所有消費群的支 出應少于單一價格時的總支出；不

10、得有消費者在邊際成本以下獲得服務；生產(chǎn) 應在邊際成本等于支付意愿時停止。4、運輸經(jīng)濟中在不同背景、策略下各最優(yōu)定價中拉姆齊定價的體現(xiàn)在運輸企業(yè)中為尋求最優(yōu)價格，我們往往需要首先給出所追求的目標， 這個 合理目標的選定要依據(jù)政府的相關政策，服務群體的特征，企業(yè)自身的財務狀況、 運輸方式的特性、以及發(fā)展規(guī)模與發(fā)展前景。只有在給定了一些限定條件的前提 下，我們?nèi)ふ业膬r格才可以稱作最優(yōu)。一般而言，在運輸經(jīng)濟中，我們最想看 到的是在企業(yè)收回成本的情況下社會效益能達到最大化，那么可以想見滿足企業(yè) 不虧而追求資源配置的消極影響最小的拉姆齊定價一定是最合適的。那么到底是如何體現(xiàn)它的價值的呢？下面我們由簡到繁

11、的設定一些條件，看看優(yōu)化后的最佳定價是個什么形式。1) 多產(chǎn)品下單一企業(yè)，社會效益最大化首先我們給出條件下的n種產(chǎn)品的需求函數(shù)和成本函數(shù)，如下：yi=Di(R)( 4.01)n(4.02)C(yi,y2 ,yn)= F + ? mi%i= 1這里mi是關于產(chǎn)品i的邊際成本，F(xiàn)為企業(yè)的固定成本 正如在單產(chǎn)品的情況下，為了獲得社會效益最大化，我們可以拓展的得到Pi=mi， 錯誤！未找到引用源。然而，收入與利潤分別是：nn(4.03)(4.04)問題會被重新加載到預算R=邋 Ryi =m yin = R- C = - Fi=1i=1因此，企業(yè)成本并沒有被收回，為了滿足企業(yè)的運營, 約束中去，如下所示

12、：nyiMax SB =n+ DMCS = WP- C =<<<邋 bRdyi-F-mi yii= 1(4.05)nnSubject to邋Ryi ? Fmiy(4.06)=1i= 1其中SB為社會總效益，n為企業(yè)利潤，DMCS為消費者剩余，WP為用戶的支 付意愿，C為企業(yè)總成本。拉格朗日方程為：nRyi- F- m w 壬i=1(4.07)n ynL =邋 bRdyi- F - my +i=1 0i=1錯誤！未找到引用源。是拉格朗日關于預算約束的因子。然后,?y(mi- R) (1 + “二砂然后得出:(R- mi)R"i 1； , nFOC 為：(4.08)(4

13、.09)(4.10)-6 -# -其中我們看到了 Ramsey定價方程的出現(xiàn)或者我們稱作逆彈性法則表示價格需求彈性系數(shù)。并且注意到，如果 錯誤！未找到引用源。為零，那么 Ri=mi，這是一個必然的結果，因為 錯誤！未找到引用源。意味著預算約束是無 效的。2) 收回成本的前提下競爭市場中社會效益最大化如果有幾種運輸方式在單一的 0-D對中競爭乘客，這是個更實際的情況，為達 到收回成本并使得社會效益最大，我們該怎么辦呢？這里令k為一種運輸方式,與其他n-1種方式競爭，每一種方式會有一個成本函數(shù) C(yj)并且有一個費用R 我們能控制的變量是模式k的費用，Pk,構建優(yōu)化方程為：RkMax SB=-邋

14、 byjdPj +Ryj- Cj (yj)(4.11)Pkj R0jj(4.Subject to Rkyk 3 Ck (yk)拉格朗日方程為:Pk(4.13)L=-邇 byjdR+Ryj-Cj（yj）+ ?（Fkyk- Ck（yk）j Pk0jj這里的入是與公式（4.12）相關聯(lián)的拉格朗日乘子。然后，對Pk求一階導并滿足如下條件:抖邋心-扌：；Pk+桫抖Pkyk + yk- 抖;： P蓬 0(4.14)-7 -# -經(jīng)過一些代數(shù)的計算工作我們可以得到(R - mk) _入 11+1 + x| nyk (1 + ?)|Pk亍？®"）專Pk(4.15)-# -# -對于這個表達

15、式我們可以從兩方面來解讀它從而獲得有價值的信息。一方面，如 果所有其他的運輸方式（除了 k這種方式）的票價都等于其邊際成本，那么公式（4.15）就變成標準的拉姆齊定價方程，意思是運輸方式k的票價設定將不用考慮其他方式的干預。這個結論是有趣的，但并不出人意料，因為其結果反映出一 個事實，其余的運輸模式在市場上富有競爭力： 整個社會的效益將會升高直到運 輸方式k的財政約束所允許的程度。另一方面，在不幸的情況下當所有的Pj都比其相應的mj要大時，也就是說，當其他所有的運輸方式的定價都大于（或者 小于）社會效率時，那么公式（4.15）得到的就是一個比拉姆齊價值大（或者小） 的價值，因為所有的價格衍生品

16、都有利于運輸方式間的競爭。這同樣很有趣，因為運輸方式k的定價所要做的正是試圖糾正市場的效率問題?？傊?，公式（4.15）可以被理解為一個包含了反應市場中其他運輸方式效率情況修正項的拉姆齊定 價方程。當然我們也應當考慮財政約束失效或是被忽視的情況，也就是當 心0時，公式（4.15）就退化為公式（4.16）的簡單表達。Pkyknn?k(pj- mj)籍(4.16)這時所表達的僅僅是在考慮了其他競爭運輸方式下的邊際成本定價。他將不 能保證成本的回收3）引入Logit模型確定方式分擔率并且收回成本的社會效益 最大化（次優(yōu)選擇）延續(xù)前面的目標條件，進一步討論在多0-D對的競爭市場中，運輸方式k在0-D 對

17、i中的最優(yōu)定價。考慮到各個0-D對中n種運輸方式的競爭，其中每個0-D對中各有Ni個使用者。令Yk二M 為運輸方式k的客流量，Ski為運輸方式k在第i個0-D對中的分擔 比例。成本函數(shù)用Ck Yk來表示，同時將由運輸經(jīng)營者控制的決策變量定義為運 輸方式k總票價R = 9烏這個矢量。這里假設（拎ki Pkj）= 0" i j也就是說運輸 方式k在任意一個0-D對j中的票價變動不會影響其在 0-D對i中的需求量。我們這里用最常見的Logit模型來描述每個市場中的需求量，如下：S kiexp (Vki )(4.17)n? exp (VH )l = 1同時還要考慮這個間接效用函數(shù)中的一個線性

18、關系：Vli = a + ? oji qiji + B Ri（4 18）式中aii, Sji和卩都是常量，q|ji是運輸方式k在0-D對i中的運輸特征量，例如行程時間或是等待時間。而 B則反映了需求對價格的敏感程度(4.19)(4.20)這樣就得到選定的運輸方式k的客流量為yki二NiSki，并有下面一系列的推導式:m?yki = Ni 佝(仁Ski)? Rki?Pki = - Ni zni=3 P (1 - S ) k i(4.21)(4.22)接著要做的其實和前面的單一 0-D對時分析方法一樣，那么我們直接利用已得Pki = mki + -(1 +m ii ) Sii(4.23)公式(4.

19、15)，代入由Logit模型構建的相關推導式，得到最優(yōu) R如下:-9 -# -這樣我們就將在上一種情況中難于探尋的工 這個表征在同一競爭市場中一種 運輸方式票價的變化對其他競爭者的需求量的影響值具體化了。我們還可以發(fā) 現(xiàn)，一般來說在一個用戶對于票價高度敏感的市場中最優(yōu)定價將接近于邊際成 本，這個敏感程度就是用丨3來表示。另一方面，如果同一市場中的其他運輸方式的票價都和他們的邊際成本相同，也就是Ri- mii =0，那么公式(4.23)就轉變?yōu)椋篜ki =mki +3 (1- Ski)(4.24)其中B二入V入，最后的這個公式是一個符合前面描述過的逆彈性法則的公式,這表明，價格偏離邊際成本的比例

20、應該與其需求的價格彈性成反比。如果入0, B介于0,1之間，這就表明最優(yōu)定價介于邊際成本和利潤最大化票價之間5、拉姆齊定價在非線性定價中的體現(xiàn)非線性定價是將每一個消費增量視為不同的商品并收取不同的價格，因而被視為二級價格歧視(Varian, 1989; Armstrong, 1992; Tirole, 1988)。但非線性定價 同傳統(tǒng)意義上的價格歧視還是存在極大不同，它將對消費者的區(qū)分從性別、年齡、 身份等人身特征轉移到數(shù)量特征上來，使得任何消費者從理論上都可以享受到較 低價格的服務，只要他消費地足夠多，因此，相對于一般意義上的價格歧視而言， 非線性定價更為公平，在一定程度上避免了價格歧視的合

21、法性糾葛。非線性定價的可行性在于消費者的異質性(heteroge neity among con sumer)目前有兩種描述消費者異質性的非線性定價模型，一是消費者類型參數(shù)，二是需求檔案函數(shù)。前者主要用來對非線性定價方案及其福利狀況進行規(guī)范的理論分 析，后者更便于企業(yè)進行非線性定價實踐。前面我也說過拉姆齊定價（Ramsey Prici ng）非線性定價的基礎。在實踐中 對上面兩種模型的分析，從結果上我們可以發(fā)現(xiàn)它們的最優(yōu)非線性價格方案非常 類似于拉姆齊定價（具體分析過程這里就不贅述了） 我只要認識到它的本質原因 就會非常明白了。那就是非線性定價將每一個增量市場都視為不同的產(chǎn)品市場， 因此每一個

22、消費增量都應當服從拉姆齊定價。6、拉姆齊定價的一個變形應用：高峰負荷定價法在諸如城市輕軌這樣存在著“自然壟斷”的屬性的定價中，由于巨額的固定 成本，導致其平均成本要比邊際成本高很多。因此如果采用邊際成本定價的話， 企業(yè)會出現(xiàn)巨額虧損，且會導致軌道交通的過于擁擠（降低舒適性）和誘發(fā)事故； 相反如果采用盈虧平衡定價的話，又會超出普通居民的承受能力，不利于達到承 擔交通分擔率的目標。所以政府一般會選擇一個介于邊際成本和盈虧平衡之間的 票價水平，目的為了緩解城市交通的壓力，充分發(fā)揮軌道交通作為城市交通主干 道的作用。而這個介于邊際成本和盈虧平衡之間的最優(yōu)票價水平恰好可以由拉姆 齊定價模型確定。拉姆齊模型的一般表達式為：P-MCa（6.1