高等數(shù)學(xué)中求極限的方法小結(jié)

1、 高等數(shù)學(xué)中求極限的方法小結(jié)2.求極限的常用方法2.1 利用等價(jià)無窮小求極限這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)有限個(gè)無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(3)非零無窮小與無窮大互為倒數(shù).(4)等價(jià)無窮小代換(當(dāng)求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無窮小代替).3設(shè)、且；則：與是等價(jià)無窮小的充分必要條件為：常用等價(jià)無窮?。寒?dāng)變量時(shí)，例1 求解 ， 故，原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ，故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 試確定常數(shù)與，使得當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無窮小解 而左邊，故 即 2.2 利用洛必達(dá)法則求極限利用這一法則的前提是：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在

2、；為0比0型或者型等未定式類型.洛必達(dá)法則分為3種情況：（1）0比0，無窮比無窮的時(shí)候直接用.（2）0乘以無窮，無窮減去無窮（無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系時(shí)）通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式,通項(xiàng)之后，就能變成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方，對(duì)于（指數(shù),冪函數(shù)）形式的方法主要是取指數(shù)的方法，這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了.洛必達(dá)法則中還有一個(gè)定理：當(dāng)時(shí)，函數(shù)及都趨于0；在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，的導(dǎo)數(shù)都存在且的導(dǎo)數(shù)不等于0；存在，那么 . 1求極限有很多種方法如洛必達(dá)法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強(qiáng)行代入，先定型后定法. 3例6 求.分析

3、秘訣強(qiáng)行代入，先定型后定法.（此為強(qiáng)行代入以定型）.可能是比高階的無窮小，倘若不這樣，或 或. 解 ，由洛必達(dá)法則的.例7 求.解 .例8 求.解 原式.（二次使用洛必達(dá)法則）.例9 求.解 原式.例10 求.解 原式原式=.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式“”型：例14 求.解 原式.“”型：例15 求 .解 ，故原式.“”型：例16 求.解 原式.“”型：例17 求.解 原式. “”型：例18 求.解 原式，而，因此：原式=1.2.3 泰勒公式（含有的次方的時(shí)候，尤其是含有正、余弦的加減的時(shí)候要特別注意）泰勒中值定理定理：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到

4、階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一，有+(-)+(-)+(-)+()其中，這里是與之間的某個(gè)值. 1例19 利用帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限.解 由于公式的分母，我們只需將分子中的代入計(jì)算，于是 ，對(duì)上式做運(yùn)算時(shí)，把兩個(gè)高階的無窮小的代數(shù)和還是記作.例20 ， ， .2.4 無窮小與有界函數(shù)的處理方法 面對(duì)復(fù)雜函數(shù)，尤其是正、余弦的復(fù)雜函數(shù)與其它函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法.3 例21 求 .解 原式.2.5 夾逼定理主要介紹的是如何用之求數(shù)列極限，這個(gè)主要是看見極限中的通項(xiàng)是方式和的形式，對(duì)之放縮或擴(kuò)大.1例22 求.解 ， ，根據(jù)夾逼定理 .2.6 等比等差數(shù)列公式（的絕對(duì)值要小于） 1例

5、23 設(shè)，證等比數(shù)列1，的極限為0.證 任取，為使，而，使，即，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，即，即，由定義知.因此,很顯然有:.2.7 各項(xiàng)以拆分相加3將待求的和式子的各項(xiàng)拆分相加來消除中間的大多數(shù)，主要應(yīng)用于數(shù)列極限,可以使用待定系數(shù)來拆分簡化函數(shù).例24 求.解 原式 =.2.8 求左右極限的方式例25 求函數(shù)，求時(shí)，的極限.解 ，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，的極限不存在.例26 .解 ，因?yàn)?，所?原式=0.2.9 應(yīng)用兩個(gè)重要極限，例27 求.解 記 ，則原式= .例28 求.解 原式=.例29 求.解 原式=.2.10 根據(jù)增長速度 例30 求.解 原式=.例31 求.解 .同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，的

6、次方快于（的階乘）快于指數(shù)函數(shù)，快于冪函數(shù)，快于對(duì)數(shù)函數(shù).所以增長速度： .故以后上述結(jié)論可直接在極限計(jì)算中運(yùn)用.2.11 換元法例32 .解 令，則原式=2.12 利用極限的運(yùn)算法則1利用如下的極限運(yùn)算法則來求極限：(1) 如果那么若又有，則（2）如果存在，而為常數(shù)，則（3）如果存在，而為正整數(shù)，則（4）如果，而，則（5）設(shè)有數(shù)列和，如果那么，當(dāng)且時(shí)，2.13 求數(shù)列極限的時(shí)候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分1例33 已知 ,在區(qū)間上求（其中將分為個(gè)小區(qū)間,，為中的最大值）.解 由已知得: .（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分,求函數(shù)在區(qū)間上的面積）.在有的極限的計(jì)算中，需要利用

7、到如下的一些結(jié)論、概念和方法：（1）定積分中值定理：如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則在上至少有一個(gè)點(diǎn)，使下列公式成立： ；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限 存在，則稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，即；設(shè)在區(qū)間上連續(xù)且，求以曲線為曲線，底為的曲邊梯形的面積，把這個(gè)面積表示為定積分： 的步驟是：首先，用任意一組的點(diǎn)把區(qū)間分成長度為的個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地把曲線梯形分成個(gè)窄曲邊梯形，第個(gè)窄曲邊梯形的面積設(shè)為，于是有；其次，計(jì)算的近似值 ；然后，求和，得的近似值 ；最后，求極限，得.例34 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限 .解 =，.例35 計(jì)算反常積分: .解 =.2.14 利用函數(shù)有界原理證明極限

8、的存在性，利用數(shù)列的逆推求極限（1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限；（2）單調(diào)遞增且有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減且有下界的數(shù)列必有極限.3例36 數(shù)列:，極限存在嗎？解 由已知可得單調(diào)遞增且有界，由單調(diào)有界原理，知 存在又，記，即可證，得到 .2.15 直接使用求導(dǎo)的定義求極限當(dāng)題目中告訴你時(shí)，的導(dǎo)數(shù)等于0的時(shí)候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義：（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量；如果與之比時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作，即 ；（2）在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.例36 ，求.解 .例37 若函數(shù)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且， 則 .A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 解 .所以，答案為D.例38 若，求.解 .2.16 利用連續(xù)性求極限1例39 設(shè)在處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，求.