對數(shù)公式的運(yùn)算

1、 對數(shù)公式的運(yùn)用1對數(shù)的概念 如果a(a0，且a1)的b次冪等于N，即ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：logaN=b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù) 由定義知： 負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)； a0且a1，N0； loga1=0，logaa=1，alogaN=N(對數(shù)恒等式)，logaab=b。 特別地，以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)，記作log10N，簡記為lgN；以無理數(shù)e(e=2718 28)為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作logeN，簡記為lnN 2對數(shù)式與指數(shù)式的互化 式子名稱ab=N指數(shù)式ab=N(底數(shù))(指數(shù))(冪值)對數(shù)式logaN=b(底數(shù)) (真數(shù)) (對數(shù)) 3對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

2、 如果a0，a1，M0，N0，那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN (2)loga（M/N）=logaM-logaN (3)logaMn=nlogaM (nR) 問：公式中為什么要加條件a0，a1，M0，N0? logaan=? (nR) 對數(shù)式與指數(shù)式的比較(學(xué)生填表) 式子ab=N，logaN=b 名稱：a冪的底數(shù) b N a對數(shù)的底數(shù) b N 運(yùn)算性質(zhì)： aman=am+n aman= am-n (a0且a1，nR) logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn= (nR) (a0，a1，M0，N0) 難點(diǎn)疑點(diǎn)突破 對數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a0，且a

3、1? 理由如下： a0，則N的某些值不存在，例如log-28=? 若a=0，則N0時(shí)b不存在；N=0時(shí)b不惟一，可以為任何正數(shù)? 若a=1時(shí)，則N1時(shí)b不存在；N=1時(shí)b也不惟一，可以為任何正數(shù)? 為了避免上述各種情況，所以規(guī)定對數(shù)式的底是一個(gè)不等于1的正數(shù)? 解題方法技巧 1 (1)將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式： 54=625；26=64；3x=27；13m=573 (2)將下列對數(shù)式寫成指數(shù)式： log216=4； log2128=7； log327=x； lg001=-2； ln10=2303；lg=k 解析由對數(shù)定義：ab=N，logaN=b 解答(1)log5625=4log264=6 l

4、og327=xlog13573=m 解題方法 指數(shù)式與對數(shù)式的互化，必須并且只需緊緊抓住對數(shù)的定義：ab=N logaN=b (2)24=16，27=128，3x=27，10-2=001，e2303=10，10k= 2根據(jù)下列條件分別求x的值： (1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=33log32；(4)logx(2+3)= -1 解析(1)對數(shù)式化指數(shù)式，得：x=8-23=? (2)log5x=20=1 x=? (3)33log32=? 27=x? (4) 2+3=x-1=1/x x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=1/4

5、(2)log5x=20=1，x=51=5 (3)logx27=33log32=32=6， x6=27=33=(3)6，故x=3 (4) 2+3=x-1=1/x，x=1/(2+3)=2-3 解題技巧 轉(zhuǎn)化的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常進(jìn)行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化 熟練應(yīng)用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaan=n3已知logax=4，logay=5，求A=x5/12y -1/3的值 解析：思路一，已知對數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運(yùn)算求值； 思路二，對指數(shù)式的兩邊取同底的對數(shù)，再利用對

6、數(shù)式的運(yùn)算求值? 解答：解法一logax=4，logay=5， x=a4，y=a5， A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3a -5/3=a0=1 解法二對所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對數(shù)得 logaA=loga(x(5/12)y(-1/3) =(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)4-(1/3)5=0， A=1 解題技巧 有時(shí)對數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對數(shù)的方法，把指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)運(yùn)算4 設(shè)x，y均為正數(shù)，且xy1+lgx=1(x1/10)，求lg(xy)的取值范圍 解析一個(gè)等式中含兩個(gè)變量x、y，

7、對每一個(gè)確定的正數(shù)x由等式都有惟一的正數(shù)y與之對應(yīng)，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù)因此求lg(xy)的取值范圍實(shí)際上是一個(gè)求函數(shù)值域的問題，怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數(shù)? 解答x0，y0，xy1+lgx=1， 兩邊取對數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0 即lgy=-lgx/(1+lgx) (x1/10，lgx-1) 令lgx=t，則lgy=-t/(1+t) (t-1) lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t-1) (解題規(guī)律：對一個(gè)等式兩邊取對數(shù)是解決含有指數(shù)式和對數(shù)式問題的常用的有效方法；而變量替換可把較復(fù)雜問

8、題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題)設(shè)S=t2/(1+t)，得關(guān)于t的方程t2-St-S=0因?yàn)樗欢ㄓ袑?shí)數(shù)解 =S2+4S0，得S-4或S0， 故lg(xy)的取值范圍是(-，-40，+) 5 求值： (1)lg25+lg2lg50+(lg2)2； (2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53； (3)設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值； (4)求7lg20(1/2)lg0.7的值 解析：(1)25=52，50=510。都化成lg2與lg5的關(guān)系式 (2)轉(zhuǎn)化為log32的關(guān)系式 (3)所求log2a-log2b=log2(a/b)，由已知等式給出了

9、a，b之間的關(guān)系，能否從中求出a/b的值呢? (4)7lg20(1/2)lg0.7是兩個(gè)指數(shù)冪的乘積，且指數(shù)含常用對數(shù)，設(shè)x=7lg20(1/2)lg0.7能否先求出lgx，再求x? 解答(1)原式=lg52+lg2lg(105)+(lg2)2 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =lg5(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =（lg(10/2)）(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2 (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2l

10、og32-5log32+2+3log32-9 = -7 (3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0)， ab=(a-2b)2， 即a2-5ab+4b2=0 a/b=1或a/b=4，這里a0，b0 若a/b=1，則a-2b0，a1，c0，c1，N0)； (2)logablogbc=logac； (3)logab=1/logba(b0，b1)； (4)loganbm=(m/n)logab 解析:(1)設(shè)logaN=b得ab=N，兩邊取以c為底的對數(shù)求出b就可能得證 (2)中l(wèi)ogbc能否也換成以a為底的對數(shù) (3)應(yīng)用(1)將logab換成以b為底的對數(shù) (4)應(yīng)用(1)將loganb

11、m換成以a為底的對數(shù) 解答:(1)設(shè)logaN=b，則ab=N，兩邊取以c為底的對數(shù)得：blogca=logcN， b=logcN/logcalogaN=logcN/logca (2)由(1)logbc=logac/logab 所以 logablogbc=logablogac/logab=logac (3)由(1)logab=logbb/logba=1/logba 解題規(guī)律 (1)中l(wèi)ogaN=logcN/logca叫做對數(shù)換底公式，(2)(3)(4)是(1)的推論，它們在對數(shù)運(yùn)算和含對數(shù)的等式證明中經(jīng)常應(yīng)用 對于對數(shù)的換底公式，既要善于正用，也要善于逆用(4)由(1)loganbm=loga

12、bm/logaan=mlogab/nlogaa= (m/n)logab 7 已知log67=a，3b=4，求log127 解析依題意a，b是常數(shù)，求log127就是要用a，b表示log127，又3b=4即log34=b，能否將log127轉(zhuǎn)化為以6為底的對數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以3為底呢? 解答已知log67=a，log34=b， log127=log67/log612=a/(1+log62) 又log62=log32/log36=log32/(1+log32)， 由log34=b，得2log32=b log32=b/2，log62=(b/2)/(1+b/2)=b/(2+b) log127=a/(1+

13、b/(2+b)=a(2+b)/(2+2b) 解題技巧 利用已知條件求對數(shù)的值，一般運(yùn)用換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則，把對數(shù)用已知條件表示出來，這是常用的方法技巧。8已知x，y，zR+，且3x=4y=6z (1)求滿足2x=py的p值； (2)求與p最接近的整數(shù)值； (3)求證：(1/2)/y=1/z-1/x 解析：已知條件中給出了指數(shù)冪的連等式，能否引進(jìn)中間量m，再用m分別表示x，y，z?又想，對于指數(shù)式能否用對數(shù)的方法去解答? 解答：（1）解法一3x=4y，log33x=log34y，x=ylog34，2x=2ylog34=ylog316， p=log316 解法二設(shè)3x=4y=m，取對數(shù)得： x

14、lg3=lgm，ylg4=lgm， x=lgm/lg3，y=lgm/lg4，2x=2lgm/lg3，py=plgm/lg4 由2x=py， 得 2lgm/lg3=plgm/lg4， p=2lg4/lg3=lg42/lg3=log316 (2)2=log39， 3-p=log327-log316=log3(27/16)， p-2=log316-log39=log3(16/9)，而27/161真數(shù)大則對數(shù)大p-23-p， p2.5 與p最接近的整數(shù)是3 解題思想 提倡一題多解不同的思路，不同的方法，應(yīng)用了不同的知識或者是相同知識的靈活運(yùn)用，既發(fā)散了思維，又提高了分析問題和解決問題的能力，何樂而不為

15、呢? (2)中涉及比較兩個(gè)對數(shù)的大小這是同底的兩個(gè)對數(shù)比大小因?yàn)榈?1，所以真數(shù)大的對數(shù)就大，問題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)真數(shù)的大小，這里超前應(yīng)用了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以鼓勵(lì)學(xué)生超前學(xué)習(xí)，自覺學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性(3)解法一令3x=4y=6z=m，由于x，y，zR+， k1，則 x=lgm/lg3，y=lgm/lg4，z=lgm/lg6， 所以1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm，(1/2)/y=(1/2)lg4/lgm=lg2/lgm， 故(1/2)/y=1/z-1/x 解法二3x=4y=6z=m， 則有3=m1/x，4=m1/y，6=m1/z， /，得

16、m1/z-1/x=6/3=2=m(1/2)/y 1/z-1/x=(1/2)/y 9已知正數(shù)a，b滿足a2+b2=7ab求證：logm(a+b)/3=(1/2)(logma+logmb)(m0且m1) 解析：已知a0，b0，a2+b2=7ab求證式中真數(shù)都只含a，b的一次式，想：能否將真數(shù)中的一次式也轉(zhuǎn)化為二次，進(jìn)而應(yīng)用a2+b2=7ab；解題技巧 (a+b)/3向二次轉(zhuǎn)化以利于應(yīng)用a2+b2=7ab是技巧之一 應(yīng)用a2+b2=7ab將真數(shù)的和式轉(zhuǎn)化為ab的乘積式，以便于應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是技巧之二解答：logm(a+b)/3=logm(a+b)/3)2/2= (1/2)logm(a+b)/3)2

17、=(1/2)logm(a2+b2+2ab)/9 a2+b2=7ab， logm(a+b)/3=(1/2)logm(7ab+2ab)/9=(1/2)logmab=(1/2)(logma+logmb)， 即logm(a+b)/3=(1/2)(logma+logmb) 思維拓展發(fā)散 1數(shù)學(xué)興趣小組專門研究了科學(xué)記數(shù)法與常用對數(shù)間的關(guān)系設(shè)真數(shù)N=a10n。其中N0。1a10，nZ這就是用科學(xué)記數(shù)法表示真數(shù)N其科學(xué)性體現(xiàn)在哪里?我們只要研究數(shù)N的常用對數(shù)，就能揭示其中的奧秘。 解析：由已知，對N=a10n取常用對數(shù)得，lgN=n+lga真數(shù)與對數(shù)有何聯(lián)系? 解答lgN=lg(a10n)=n+lganZ，

18、1a10， lga(0，1) 我們把整數(shù)n叫做N的常用對數(shù)的首數(shù)，把lga叫做N的常用對數(shù)的尾數(shù)，它是正的純小數(shù)或0 小結(jié)：lgN的首數(shù)就是N中10n的指數(shù)，尾數(shù)就是lga，0lga0，lgN的首數(shù)和尾數(shù)與a10n有什么聯(lián)系？ 有效數(shù)字相同的不同正數(shù)其常用對數(shù)的什么相同？什么不同？ 2若lgx的首數(shù)比lg(1/x)的首數(shù)大9，lgx的尾數(shù)比lg(1/x)的尾數(shù)小0.380 4，且lg0.203 4=1.308 3，求lgx，x，lg(1/x)的值 解析lg0.203 4=1.308 3，即lg0203 4=1+0.308 3，1是對數(shù)的首數(shù)，0.308 3是對數(shù)的尾數(shù)，是正的純小數(shù)；若設(shè)lgx

19、=n+lga，則lg(1/x)也可表出 解答設(shè)lgx=n+lga，依題意lg(1/x)=(n-9)+(lga+0380 4) 又lg(1/x)= -lgx=-(n+lga)， (n-9)+(lga+0.380 4)= -n-lga，其中n-9是首數(shù)，lga+0.380 4是尾數(shù)，-n-lga=-(n+1)+(1-lga)，-(n+1)是首數(shù)1-lga是尾數(shù)，所以： n-9=-(n+1) ，lga+0.380 4=1-lga，n=4，lga=0.308 3 lgx=4+0.308 3=4.308 3， lg0.203 4=1.308 3，x=2.034104 lg(1/x)=-(4+0.308

20、3)=5.691 7 注：(10-4.3083=5.6917)解題規(guī)律 把lgx的首數(shù)和尾數(shù)，lg(1/x)的首數(shù)和尾數(shù)都看成未知數(shù)，根據(jù)題目的等量關(guān)系列方程再由同一對數(shù)的首數(shù)等于首數(shù)，尾數(shù)等于尾數(shù)，求出未知數(shù)的值，是解決這類問題的常用方法3計(jì)算： (1) log2-32+3+log6(2+3+2-3)； (2)2lg(lga100)/(2+lg(lga) 解析(1)中2+3與2-3有何關(guān)系?2+3+2-3雙重根號，如何化簡? (2)中分母已無法化簡，分子能化簡嗎? 解題方法 認(rèn)真審題、理解題意、抓住特點(diǎn)、找出明確的解題思路和方法，不要被表面的繁、難所嚇倒解答(1)原式= log2-3(2-3

21、)-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+2(2+3)(2-3)= -1+12log66 = -12 (2)原式=2lg(100lga)/(2+lg(lga)=2(lg100+lg(lga)/(2+lg(lga)=2(2+lg(lga)/(2+lg(lga)=2 4已知log2x=log3y=log5z0，比較x，3y，5z的大小 解析：已知是對數(shù)等式，要比較大小的是根式，根式能轉(zhuǎn)化成指數(shù)冪，所以，對數(shù)等式應(yīng)設(shè)法轉(zhuǎn)化為指數(shù)式 解答：設(shè)log2x=log3y=log5z=m0則 x=2m，y=3m，z=5m x=(2)m， 3y=(33)m，5z=(55)m 下面只需比較

22、2與33，55的大?。?(2)6=23=8，(33)6=32=9，所以25555233 又m0， 考查指數(shù)函數(shù)y=(2)x，y=(33)x，y=(55)x在第二象限的圖像，如圖： 解題規(guī)律 轉(zhuǎn)化的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對數(shù)與指數(shù)有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時(shí)要充分注意這種關(guān)系及對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化 比較指數(shù)相同，底不同的指數(shù)冪(底大于0)的大小，要應(yīng)用多個(gè)指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中第一象限(指數(shù)大于0)或第二象限(指數(shù)小于0)的性質(zhì)進(jìn)行比較? 是y=(55)x，是y=(2)x，是y=(33)x指數(shù)m0時(shí)，圖像在第二象限從下到上，底從大到小所以(33)m(2)m(55)m，故3y x0，b

23、0，M1)，且logMb=x，則logMa的值為( ) 7.若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9， 則x為( ) 8.若log5(log3(log2x)=0，則x=( ) 9. 8log87log76log65=( ) 10.如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的兩根為x1、x2，那么x1x2的值為( ) 11.生態(tài)學(xué)指出：生物系統(tǒng)中，每輸入一個(gè)營養(yǎng)級的能量，大約只有10%的能量流到下一個(gè)營養(yǎng)級H1H2H3H4H5H6這條生物鏈中 (Hn表示第n個(gè)營養(yǎng)級，n=1，2，3，4，5，6)已知對H1輸入了106千焦的能量，問第幾個(gè)營養(yǎng)級能獲得100千焦的

24、能量? 12.已知x，y，zR+且3x=4y=6z，比較3x，4y，6z的大小 13.已知a，b均為不等于1的正數(shù)，且axby=aybx=1，求證x2=y2 14.已知2a5b=2c5d=10，證明(a-1)/(d-1)=(b-1)/(c-1) 15.設(shè)集合M=x|lg(ax2-2(a+1)x-1)0，若M空集，M =x|x0且x+11；真數(shù)x+10 6A 點(diǎn)撥：對ab=M取以M為底的對數(shù) 7C 點(diǎn)撥：注意0.673 1+0.326 9=1，log6(1/x)=0.326 9， 所以log63+log6(1/x)=log63x=13x=6， x=2 8x=8 點(diǎn)撥：由外向內(nèi)log3(log2x

25、)=1， log2x=3， x=23 95 點(diǎn)撥：log87log76log65=log85， 8log85=5 101/6 點(diǎn)撥：關(guān)于lgx的一元二次方程的兩根是lgx1，lgx2 由lgx1= -lg2，lgx2= -lg3，得x1=1/2，x2=1/3x1x2= 1/611設(shè)第n個(gè)營養(yǎng)級能獲得100千焦的能量， 依題意:106(10/100)n-1=100， 化簡得:107-n=102，利用同底冪相等，得7-n=2， 或者兩邊取常用對數(shù)也得7-n=2 n=5，即第5個(gè)營養(yǎng)級能獲能量100千焦 12設(shè)3x=4y=6z=k，因?yàn)閤，y，zR+， 所以k1取以k為底的對數(shù)，得： x=1/logk3，y=1/logk4，z=1/logk6 3x=3/logk3=113logk3=1/logk33， 同理得：4y=1/logk44，6z=1/logk66 而33=1281， 44=1264，66 =1236， logk33logk44lo