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1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本公式第一部分 概率論基本公式1、 2、對(duì)偶率:3、概率性率:4、古典概型5、條件概率例:有三個(gè)罐子,1號(hào)裝有2紅1黑共3個(gè)球,2號(hào)裝有3紅1黑4個(gè)球,3號(hào)裝有2紅2黑4個(gè)球,某人隨機(jī)從其中一罐,再?gòu)脑摴拗腥稳∫粋€(gè)球,(1)求取得紅球的概率;(2)如果取得是紅球,那么是從第一個(gè)罐中取出的概率為多少?6、獨(dú)立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)A、B獨(dú)立。(2)伯努利概型如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果:事件A發(fā)生或事件A不發(fā)生,則稱(chēng)為伯努利試驗(yàn),即:P(A)=p, (0<p<1,p+q=1)相同條件獨(dú)立重復(fù)n次,稱(chēng)之為n重伯努利試驗(yàn),簡(jiǎn)稱(chēng)伯努利概型。伯努利定
2、理: (k=0,1,2) 事件A首次發(fā)生概率為:例:設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3,當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí),指示燈發(fā)出信號(hào),(1)進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率;(2)進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。第二章7、常用離散型分布(1)兩點(diǎn)分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值,且其分布為: (0<p<1)則稱(chēng)X服從處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。其中期望E(X)=p,D(X)=p(1-p)(2)二項(xiàng)分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布由 (k=0,1,2)給出,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為:Xb(n,p)(或B(n,p)其中,當(dāng)n=1時(shí)為01分布。
3、其期望E(X)=np,方差D(X)=np(1-p)(3)泊松分布:若一個(gè)隨機(jī)變量X概率分布為:則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布,記為:,其中.泊松定理:在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為,如果時(shí),則對(duì)任意給定的k,有,這表明,當(dāng)n很大時(shí),p接近0或1時(shí),有()。 N20,p0.05時(shí)用泊松分布。其期望方差相等,即:E(X)=D(X)= 。8、常用連續(xù)型分布(1)均勻分布:若連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度為則稱(chēng)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為XU(a,b)。其中,分布函數(shù)為:其期望E(X)=,方差D(X)=。(2)指數(shù)分布:若隨機(jī)變量的概率為,則稱(chēng)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,簡(jiǎn)記為Xe()
4、.其分布函數(shù):其期望E(X)=,方差D(X)=.(3)正態(tài)分布:若隨機(jī)變量X的概率密度為,則稱(chēng)X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布,記為XN(, ),其中和(>0)都是常數(shù)。分布函數(shù)為:。當(dāng)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,概率密度函數(shù)為:分布函數(shù)為:定理:設(shè)其期望E(X)= ,D(X)= 。9、隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布一般方法:先根據(jù)自變量X的所有可能取值確定因變量Y的所有可能值,然后通過(guò)Y的每一個(gè)可能的取值(i=1,2,)來(lái)確定Y的概率分布。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布方法:設(shè)已知X的分布函數(shù)或者概率密度,則隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù),其中,進(jìn)而可通過(guò)Y的分布函數(shù),求出Y的密度函數(shù)。例
5、:設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,求隨機(jī)變量10、設(shè)隨機(jī)變量XN(,Y=也服從正態(tài)分布.即。11、聯(lián)合概率分布(1)離散型聯(lián)合分布:XY PX=p PY= 1(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布:例:設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)求,D(X+Y).解:當(dāng)0x2時(shí)由,得:,當(dāng)x<0或x>2時(shí),由,所以,同理可求得:; E(X)=,由對(duì)稱(chēng)性同理可求得,E(Y)=7/6。因?yàn)镋(XY)= 所以,cov(X,Y)= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y)=,所以,=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、條件分布:若13、隨機(jī)變量的獨(dú)立性:
6、由條件分布設(shè)A=Yy,且PYy>0,則:,設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布概率為F(x,y),邊緣分布概率為,若對(duì)于任意x、y有:,即:,則稱(chēng)X和Y獨(dú)立。14、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù):設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為,邊緣概率密度函數(shù)為,則對(duì)于一切使>0的x,定義在X=x的條件下Y的條件密度函數(shù)為:,同理得到定義在Y=y條件下X的條件概率密度函數(shù)為:,若=幾乎處處成立,則稱(chēng)X,Y相互獨(dú)立。例:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)為:,求(1)確定常數(shù)c;(2)X,Y的邊緣概率密度函數(shù);(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)PYX;(5)條件概率密度函數(shù);(6)PX&
7、lt;2|Y<115、數(shù)學(xué)期望:(1)離散型:(2)連續(xù)型:,因?yàn)椴⒉皇敲恳粋€(gè)函數(shù)都能積分,所以并非所有隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì): E(CX)=CE(X) 設(shè)X,Y獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y).例:10個(gè)人隨機(jī)進(jìn)入15個(gè)房間,每個(gè)房間容納的人數(shù)不限,設(shè)X表示有人的房間數(shù),求E(X)(設(shè)每個(gè)人進(jìn)入房間是等可能的,且各人是否進(jìn)入房間相互獨(dú)立)附:二項(xiàng)分布b(n,p)和兩點(diǎn)分布b(1,p)的另一個(gè)關(guān)系,仍設(shè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果:,且P(A)=p,現(xiàn)在將試驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行n次,記為n次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù),則,若記其中:16、方差:(1)(2)方差性質(zhì):D(CX)=CD(X);若
8、X.Y相互獨(dú)立,則:17、協(xié)方差:(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特別,X,Y獨(dú)立時(shí),有:cov(X,Y)=0.(2)協(xié)方差性質(zhì):cov(X,X)=D(X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(C,Y)=0;cov(,Y)=隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系.(3)相關(guān)系數(shù),性質(zhì):;若X和Y相互獨(dú)立,則=0,即X和Y不相關(guān)。若D(X)>0,D(Y)>0,則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a,b(),使:附注:設(shè)e=EY-(,稱(chēng)為用來(lái)近似Y的均方差,則:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,有:使均方誤差達(dá)到最小。18、切比雪夫不等式:設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=,方差D(X)=,則對(duì)于給定任意正數(shù),有:19、大數(shù)定理:設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立,且具有相同的期望和方差:,i=1,2,3,則對(duì)于任意>0,有:20、中心極限定理;(1)設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立,服從同一分布,且, i=1,2,3,則:(2)棣莫佛拉普拉斯定理:設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立,并且都服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有:第二部分 數(shù)理統(tǒng)計(jì)24、點(diǎn)估計(jì)常用方法(1)矩估計(jì)法:先求E(X)
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