排列組合典型例題

1、典型例例1用0到9這10個數(shù)字.可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字得四位偶數(shù)？解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下得九個數(shù)字中任選3個來排 列，故有個；當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下得八個非零數(shù)字中任選一個, 百位，十位上再從余下得八個數(shù)字中任選兩個來排,按乘法原理有(個)沒有重復(fù)數(shù)字得四位偶數(shù)有個.典型例題二例2三個女生與五個男生排成一排如果女生必須全排在一起，可有多少種不同得排法？(2) 如果女生必須全分開，可有多少種不同得排法？(3) 如果兩端都不能排女生，可有多少種不同得排法？(4) 如果兩端不能都排女生，可有多少種不同得排法？解：(1)(捆綁法

2、)因?yàn)槿齻€女生必須排在一起，所以可以先把她們瞧成一個整體，這樣同五 個男生合一起共有六個元素，然成一排有種不同排法.對于其中得每一種排法,三個女生之間 又都有對種不同得排法，因此共有種不同得排法.(2) (插空法)要保證女生全分開，可先把五個男生排好,每兩個相鄰得男生之間留出一個空 檔這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)得兩個位置,共有六個位置，再把三個女生插入 這六個位置中，只要保證每個位垃至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰由于 五個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法,從上述六個位置中選出三個來讓三 個女生插入都有種方法，因此共有種不同得排法.(3) 解法1:(位置

3、分析法)因?yàn)閮啥瞬荒芘排詢啥酥荒芴暨x5個男生中得2個，有種 不同得排法，對于其中得任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有種不同得排法.(4) 解法1:因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，則未位就不再受條件限 制了，這樣可有種不同得排法;如果首位排女生，有種排法，這時末位就只能排男生，有種排法，首 末兩端任意排左一種情況后，其余6位都有種不同得排法，這樣可有種不同排法.因此共有種不 同得排法.解法2:3個女生與5個男生排成一排有種排法，從中扣去兩端都就是女生排法種.就能得 到兩端不都就是女生得排法種數(shù).因此共有種不同得排法.典型例題三例3排一張有5個歌唱節(jié)目與4個舞蹈節(jié)目

4、得演出節(jié)目單。(1 )任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰得排法有多少種？(2) 歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列得方法有多少種？解:先排歌唱節(jié)目有種,歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目, 共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：=43200.先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目 放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列得排法有：=2880種方法。典型例題四例4某一天得課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體冇、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一 節(jié)不排體冇，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同得排課程表得方法.分析與解法1：6六門課總得排法就是，其中不符合要求得可

5、分為:體冇排在第一書有種排 法,如圖中I澈學(xué)排在最后一節(jié)有種排法,如圖中II ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù) 學(xué)排在最后一節(jié),如圖中III,這種情況有種排法，因此符合條件得排法應(yīng)就是：(種).典型例題五例5現(xiàn)有倆公交車、位司機(jī)與位售票員，每輛車上需配位司機(jī)與位售票員.問車輛、司 機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析:可以把輛車II成排了順序得三個空:,然后把名司機(jī)與需售票員分別填入因此可認(rèn) 為事件分兩步完成，每一步都就是一個排列問題.解:分兩步完成.第一步，耙名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法;第二步把乞售票員安排到 輛車中，有種安排方法故搭配方案共有種.典型例題六例6下就是表就是高考第

6、一批錄取得一份志愿表.如果有所重點(diǎn)院校，每所院校有個專 業(yè)就是您較為滿意得選擇若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校得專業(yè)也沒有重復(fù)得話, 您將有多少種不同得填表方法？學(xué)校專業(yè)112212312解:填表過程可分兩步第一步.確定填報學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列，共 有種不同得排法;第二步，從每所院校得個專業(yè)中選岀個專業(yè)并確龍其順序，其中又包含三小 步,因此總得排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計(jì)數(shù)原理得不同得填表方法有:種.典型例題七例5名同學(xué)排隊(duì)照相.(1) 若分成兩排照，前排人,后排人，有多少種不同得排法？(2) 若排成兩排照，前排人,后排人，但其中甲必須在前排,乙必須在后排，有多少

7、種不同得排 法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同得排法？(4) 若排成一排照,人中有需男生，拿女生,女生不能相鄰，有多少種不而得排法？ 解:種.(2) 第一步安排甲，有種排法;第二步安排乙，有種排法;第三步余下得人排在剩下得個位置 上，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理得，符合要求得排法共有種.(3) 第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即瞧成個元素得全排列問 題，有種排法;第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種排法.(4) 第一步，名男生全排列，有種排法;第二步，女生插空,即將名女生插入名男生之間得個空 位，這樣可保證女生不相鄰

8、，易知有種插入方法由分步計(jì)數(shù)原理得，符合條件得排法共有:種.典型例題八例8從五個數(shù)字中每次取出三個不同得數(shù)字組成三位數(shù),求所有三位數(shù)得與.解:形如得數(shù)共有個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“”產(chǎn)生得與就是;形如得數(shù)也有個，當(dāng)這些數(shù)相 加時，由“”產(chǎn)生得與就是;形如得數(shù)也有個.當(dāng)這些數(shù)相加時，由"”產(chǎn)生得與應(yīng)就是這樣在 所有三位數(shù)得與中，由“”產(chǎn)生得與就是同理由產(chǎn)生得與分別就是,，“因此所有三位數(shù)得與就 是.典型例題九例9計(jì)算下列各題：(1)；(2)；(3);(4)(5)解:;；(3) 原式;(4) 原式;,本題計(jì)算中靈活地用到下列各式：;使問題解得簡單、快捷.典型例題十例10六人排一列縱隊(duì)，限定

9、要排在得前而(與可以相鄰，也可以不相鄰)，求共有幾種排法. 對這個題目,、四位同學(xué)各自給出了一種算式:得算式就是;得算式就是;得算式就是； 得算式就是.上而四個算式就是否正確，正確得加以解釋,不正確得說明理由.解:中很顯然，“在前得六人縱隊(duì)”得排隊(duì)數(shù)目與''在前得六人縱隊(duì)”排隊(duì)數(shù)目相等，而''六 人縱隊(duì)”得排法數(shù)目應(yīng)就是這二者數(shù)目之與這表明:得算式正確.中把六人排隊(duì)這件事劃分為占位，占位，其她四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總 數(shù)，注意到占位得狀況決泄了占位得方法數(shù)，第一階段,當(dāng)占據(jù)第一個位置時，占位方法數(shù)就是； 當(dāng)占據(jù)第2個位宜時,占位得方法數(shù)就是;；當(dāng)占

10、據(jù)第5個位置時，占位得方法數(shù)就是，當(dāng)，占 位后，再排其她四人,她們有種排法，可見得算式就是正確得.中可理解為從6個位置中選4個位宜讓占據(jù)，這時，剩下得兩個位置依前后順序應(yīng)就是得. 因此得算式也正確.中把6個位置先圈定兩個位置得方法數(shù)，這兩個位這讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個圈泄得位置 得方法只有一種(要在得前面)，這時，再排其余四人，又有種排法，可見得算式就是對得.說明:下一節(jié)組合學(xué)完后，可回過頭來學(xué)習(xí)得解法.典型例題十一例11八個人分兩排坐，每排四人,限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排,共有多 少種安排辦法？解法1：可分為"乙、丙坐在前排，甲坐在前排得八人坐法”與"乙、丙

11、在后排，甲坐在前 排得八人坐法”兩類情況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”； “其她五人坐下”三個步驟，又要用到分步計(jì)數(shù)原理,這樣可有如下算法：(種)解法2:采取“總方法數(shù)減去不命題意得所有方法數(shù)”得算法把“甲坐在第一排得八人 坐法數(shù)”瞧成“總方法數(shù)”,這個數(shù)目就是在這種前提下，不合題意得方法就是“甲坐第一排, 且乙、丙坐兩排得八人坐法這個數(shù)目就是其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排得方法數(shù), 表示從乙、丙中任選出一人得辦法數(shù)，表示把選岀得這個人安排在第一排得方法數(shù)，下一個則 表示乙、丙中沿未安排得那個人坐在第二排得方法數(shù),就就是英她五人得坐法數(shù)，于就是總得 方法數(shù)為（種）

12、說明:解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí).典型例題十二例12計(jì)劃在某畫廊展出10幅不同得畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一 行陳列，要求同一品種得畫必須連在一起，并且不彩畫不放在兩端,那么不同陳列方式有 （）A. B. C. D.解:將同一品種得畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5 幅國畫本身還有排列順序要求所以共有種陳列方式.應(yīng)選D.說明:關(guān)于“若干個元素相鄰”得排列問題，一般使用“捆綁”法，也就就是將相鄰得若干 個元素“擁綁”在一起，瞧作一個大元素,與其她得元素進(jìn)行全排列;然后，再“松綁”，將被“捆 綁”得若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就就是一個典型得

13、用“捆綁”法來解答得問題.典型例題十三例13由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字得六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)得個數(shù)共有（）. A.210B.300C.464D.600解法1:（直接法）:分別用作十萬位得排列數(shù),共有種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字得這 樣得六位數(shù)有個.解法2:（間接法）:取個數(shù)字排列有，而作為十萬位得排列有，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù) 字得這樣得六位數(shù)有（個）.應(yīng)選B.說明：（1）直接法、間接法就是解決有關(guān)排列應(yīng)用題得兩種基本方法，何時使用直接法或間 接法要視問題而左，有得問題如果使用直接法解決比較困難或者比較麻煩，這時應(yīng)考慮能否用 間接法來解.（2） “個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)

14、字大于十位數(shù)字”具有對稱性,這兩類得六位 數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)得一半,同類問題還有6個人排隊(duì)照像時，甲必須站在乙得左 側(cè)，共有多少種排法.典型例題十四例14用，這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字得三位數(shù)，苴中偶數(shù)共有（）.A.24 個 B.30 個 C.40 個 D.60 個分析:本題就是帶有附加條件得排列問題，可以有多種思考方法，可分類,可分步，可利用概 率,也可利用本題所提供得選擇項(xiàng)分析判斷.解法1：分類計(jì)算.將符合條件得偶數(shù)分為兩類一類就是2作個位數(shù),共有個，另一類就是4作個位數(shù)，也有個. 因此符合條件得偶數(shù)共有個.解法2:分步計(jì)算.先排個位數(shù)字，有種排法,再排十位與百位數(shù)字，有種排

15、法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng) 有個.解法3:按概率算.用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字得三位數(shù)共有個，英中偶點(diǎn)英中得.因此三位偶數(shù)共有 個.解法4:利用選擇項(xiàng)判斷.用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字得三位數(shù)共有個英中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)得個數(shù) 應(yīng)少于個,四個選擇項(xiàng)所提供得答案中，只有符合條件.應(yīng)選.典型例題十五例15 (1)計(jì)算.(2)求()得個位數(shù)字.分析:本題如果宜接用排列數(shù)公式計(jì)算，在運(yùn)算上比較困難，現(xiàn)在我們可以從與式中項(xiàng)得 特點(diǎn)以及排列數(shù)公式得特點(diǎn)兩方而考慮在(1)中，項(xiàng)可抽象為,(2)中，項(xiàng)為，當(dāng)時，乘積中岀現(xiàn)5 與2,積得個位數(shù)為0,在加法運(yùn)算中可不考慮.解:由原式.(2)當(dāng)時，得

16、個位數(shù)為0.()得個位數(shù)字與得個位數(shù)字相同.而,得個位數(shù)字為3.說明:對排列數(shù)公式特點(diǎn)得分析就是我們解決此類問題得關(guān)鍵，比如:求證：，我們首先可抓等式右邊得左邊右邊.典型例題十六例16用共六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字得自然數(shù),(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字得位偶 數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被整除得三位數(shù)？分析:位偶數(shù)要求個位就是偶數(shù)且首位數(shù)字不能就是，由于個位用或者不用數(shù)字，對確定 首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用或者用進(jìn)行分類.一個自然數(shù)能被整除得條件就是所 有數(shù)字之與就是得倍數(shù)，本題可以先確左用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列,但要注意就用與不用 數(shù)字進(jìn)行分類.解:就個位用還就是用分成兩

17、類，個位用,其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個)，個位用 或，再確泄首位，最后確定十位，共有(個)，所有位偶數(shù)得總數(shù)為：(個).(2)從中取出與為得倍數(shù)得三個數(shù)，分別有下列取法:前四組中有，后四組中沒有,用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個)，如果用后四組，共有(個)，所有被整除得三位數(shù)得總 數(shù)為(個).典型例題十七例17 一條長椅上有個座位，人坐，要求個空位中,有個空位相鄰，另一個空位與個相鄰空 位不相鄰，共有幾種坐法？分析:對于空位,我們可以當(dāng)成特殊元素對待，設(shè)空座梯形依次編號為先選定兩個空位，可 以在號位，也可以在號位共有六種可能，再安排另一空位，此時需瞧到，如果空位在號,則另一 空位可以在號位，有種可能，相鄰空位在號位，亦如此如果相鄰空位在號位，另一空位可以在號 位，只有種可能，相鄰空位在號，號，號亦如此，所以必須就兩相鄰空位得位置進(jìn)行分類本題得另 一考慮就是，對于兩相鄰空位可以用合并法瞧成一個元素與另一空位插入已坐人得個座位之 間，用插空法處理它們得不相鄰.解答一