反比例函數(shù)講義Word版

1、反比例函數(shù)1、反比例函數(shù)的概念及三種表達(dá)形式.一般地如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示為（k是常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。（反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。）2、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖象 y O x y O x性質(zhì)

2、x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小。x的取值范圍是x0， y的取值范圍是y0；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定反比例函數(shù)解析式的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義1 / 15過反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P（x,y）作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足分別是M、N，則所得的矩形PM

3、ON的面積S=PMPN=。6、反比例函數(shù)中常用考點(diǎn)(1)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組的解.(2) 反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.(3) 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)所組成三角形面積的求法.7. 經(jīng)典題解【例1】如圖所示，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= (k0）的圖象交于M、N兩點(diǎn) 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； 根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍【例2】（2011山東聊城，24，10分）如圖，已知一次函數(shù)ykxb的圖象交反比例函數(shù)（x>0）圖象于點(diǎn)A、B，交x軸于點(diǎn)C（1）求m的取值范圍；（2）若點(diǎn)A

4、的坐標(biāo)是（2，4），且，求m的值和一次函數(shù)的解析式；【答案】（1）因反比例函數(shù)的圖象在第四象限，所以42m0，解得m2；（2）因點(diǎn)A(2，4)在反比例函數(shù)圖象上，所以4，解得m6，過點(diǎn)A、B分別作AMOC于點(diǎn)M，BNOC于點(diǎn)N，所以BNCAMC90°，又因?yàn)锽CNAMC，所以BCNACM，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锳M4，所以BN1，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，因?yàn)辄c(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，所以當(dāng)y1時(shí)，x8，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，1），因?yàn)橐淮魏瘮?shù)ykxb的圖象過點(diǎn)A(2，4)，B(8，1)，所以，解得，所以一次函數(shù)的解析式為yx5【例3】. （2011四川成都，19,10分） 如圖，已

5、知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，8），直線經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q(4，) (1)求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式； (2)設(shè)該直線與軸、軸分別相交于A 、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連結(jié)0P、OQ，求OPQ的面積【例4】. （2011四川廣安，24，8分）如圖6所示，直線l1的方程為y=x+l，直線l2的方程為y=x+5，且兩直線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P的雙曲線與直線l1的另一交點(diǎn)為Q（3M）. （1）求雙曲線的解析式 （2）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+l的解集_x_y_Q_p_o_l2_l1圖6【例5】. （2011四川內(nèi)江，21，10分）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A、B點(diǎn)

6、，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，n），BDx軸于點(diǎn)D，且SBDO=4。過點(diǎn)A的一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于另一點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)E（5，0）。（1）求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合圖像，求出當(dāng)時(shí)x的取值范圍。xyOABCD一、選擇題 1. （2011甘肅蘭州，15，4分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），則k的值為A1B3C4D1或32. （2011湖南懷化，5，3分）函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖像是 3. （2011貴州貴陽，10，3分）如圖，反比例函數(shù)y1=和正比例函數(shù)y2=k2x

7、的圖象交于A（-1，-3）、B（1，3）兩點(diǎn)，若k2x，則x的取值范圍是（第10題圖） （A）-1x0 （B）-1x1 （C）x-1或0x1 （D）-1x0或x1 【答案】C4. （2011山東東營，10，3分）如圖,直線和雙曲線交于A、B亮點(diǎn),P是線段AB上的點(diǎn)（不與A、B重合）,過點(diǎn)A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設(shè)AOC面積是S1、BOD面積是S2、POE面積是S3、則（ ）A. S1S2S3 B. S1>S2>S3 C. S1=S2>S3 D. S1=S2<S35. （2011江蘇揚(yáng)州，6,3分）某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

8、-1,6），則下列各點(diǎn)中，此函數(shù)圖象也經(jīng)過的點(diǎn)是（ ） A. （-3,2） B. （3,2） C. （2，3） D. （6,1）6. （2011四川南充市，7，3分） 小明乘車從南充到成都，行車的平均速度y(km/h)和行車時(shí)間x(h)之間的函數(shù)圖像是（ ） A B C D7. （2011浙江杭州，6，3）如圖，函數(shù)和函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)M(2，m)，N(-1，n)，若，則x的取值范圍是（ ）A BC D8. （2011浙江臺(tái)州，9,4分）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M，N，已點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程=的解為（ ）A. 3,1 B.

9、3,3 C. 1,1 D.3，-19. （2011湖北宜昌，15，3分）如圖，直線y=+2與雙曲線y=在第二象限有兩個(gè)交點(diǎn)，那么m的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ） （第15題圖）二、填空題1. （2011山東濱州，18，4分）若點(diǎn)A(m，2)在反比例函數(shù)的圖像上，則當(dāng)函數(shù)值y2時(shí)，自變量x的取值范圍是_.【答案】x-2或x>02. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小若該反比例函數(shù)的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)P，且，則實(shí)數(shù)k=_.【答案】.3. （2011上海，11，4分）如果反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1，2)，那么這個(gè)函

10、數(shù)的解析式是_【答案】4. （2011湖北黃石，15，3分）若一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ?！敬鸢浮縦<-5. （2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，17，4分）函數(shù) , 的圖象如圖所示，則結(jié)論： 兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3 ,3 ) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， BC = 8 當(dāng) 逐漸增大時(shí)，隨著的增大而增大，隨著 的增大而減小其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .yy1xy2x第17題圖【答案】6. （2010湖北孝感，15，3分） 如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且ABx軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD的面積為矩形，則它的面積為 .【答案】27. （2

11、011湖北荊州，16，4分）如圖，雙曲線經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，ABC90°，OC平分OA與軸正半軸的夾角，AB軸，將ABC沿AC翻折后得到ABC，B點(diǎn)落在OA上，則四邊形OABC的面積是.【答案】2三、解答題1. （2011安徽，21，12分）如圖，函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）（1）求函數(shù)的表達(dá)式和B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）觀察圖象，比較當(dāng)時(shí)，與的大小.ABOCxy當(dāng)0x1或x2時(shí)，y1y22. （2011浙江省，18，8分）若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（a,2）(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)

12、當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)，求自變量x的取值范圍BOA3. （2011浙江義烏，22，10分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 已知反比例函數(shù)y= （k>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2，m)，過點(diǎn)A作ABx軸于點(diǎn)B，且AOB的面積為 .（1）求k和m的值；（2）點(diǎn)C（x，y）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，求當(dāng)1x3時(shí)函數(shù)值y的取值范圍；（3）過原點(diǎn)O的直線l與反比例函數(shù)y= 的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，試根據(jù)圖象直接寫出線段PQ長度的最小值. 4. （2011四川宜賓,21,7分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（x0）的圖象相交于A點(diǎn)，與y軸、x軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且C（2，0），當(dāng)x

13、1時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，當(dāng)x1時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)（x0）的圖象與（x0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在（x0）的圖象上取一點(diǎn)P（P點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2），過P點(diǎn)作PQx軸，垂足是Q，若四邊形BCQP的面積等于2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)（21題圖）ABPCQyxO【答案】解：時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值A(chǔ)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1，A（-1,3）設(shè)一次函數(shù)解析式為，因直線過A、C則 解得一次函數(shù)的解析式為的圖象與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B點(diǎn)是直線與y軸的交點(diǎn)，B（0,2）設(shè)P(n，)，S四邊形BCQP=S梯形BOQP-SBOC=2，P（

14、，）5(2011重慶綦江，23，10分)如圖，已知A（4，a），B（2，4）是一次函數(shù)ykxb的圖象和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn).(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)求AOB的面積.6. （2011山東臨沂，24，10分)如圖，一次函數(shù)ykxb與反比例函數(shù)y的圖象交于A（2，3），B（3，n）兩點(diǎn)（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)所給條件，請(qǐng)直接寫出不等式kxb的解集_；（3）過點(diǎn)B作BCx軸，垂足為C，求SABC 7. （2011廣東肇慶，23，8分）如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（，0），且與反比例函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象在第一象限交于點(diǎn)（1，）求：（1）一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的取值范圍yOABx 8. （2011重慶市潼南,23,10分）如圖, 在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)(k0)的圖象與反比例函數(shù)(m0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)求：（1）根據(jù)圖象寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)并分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2