人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型

1、人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型摘要本文主要研究人力資源調(diào)度的最優(yōu)化問題。人力資源調(diào)度問題中所要處理的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是比較繁瑣的，所以如何有效地設(shè)置決策變量，找出相互關(guān)系是我們建立模型的突破口。上述模型屬于多元函數(shù)的條件極值問題的范圍，然而許多實際問題歸結(jié)出的這種形式的優(yōu)化模型，起決策變量個數(shù)n和約束條件m一般比較大，并且最優(yōu)解往往在可行域的邊界上取到，這樣就不能簡單地用微分法求解，數(shù)學(xué)規(guī)劃是解決這類問題的有效方法。根據(jù)所給的“PE公司”技術(shù)人員結(jié)構(gòu)及工資情況表、不同項目和各種人員的收費標(biāo)準(zhǔn)表格，為了在滿足客戶對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)要求的前提下，使“PE公司”每天的直接收益最大，我們首先對不同項目的不同技術(shù)

2、人員的分配個數(shù)進行假設(shè)，從而得到了“PE公司”每天總收入I和每天總支出，所以每天的直接收益，這就是公司每天直接收益的目標(biāo)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上我們建立了基于Matlab軟件上的線性規(guī)劃方法一和基于Lindo6.0軟件上的整數(shù)線性規(guī)劃方法二來求解這個模型。首先我們Matlab軟件運行這個函數(shù)，得到求得的值恰好是整數(shù)，滿足題意，在題目的約束條件下得到的最大公司效益是27150元，此時的人員分布如下表所示： 項目技術(shù)人員 ABCD高級工程師1521工程師6362助理工程師2521技術(shù)員1310因為對題中的數(shù)據(jù)稍做改動時得出的答案就會出現(xiàn)小數(shù)的現(xiàn)象，為了更好的解決該問題，我們又引入了一個很好地能處理整數(shù)的軟

3、件Lindo6.0，得到了各個有效的數(shù)據(jù)。并在模型擴展中運用已建立的程序?qū)λ玫慕Y(jié)果進行靈敏度分析，即討論在收費標(biāo)準(zhǔn)不變的情況下技術(shù)人員結(jié)構(gòu)對公司收益的影響以及在技術(shù)人員結(jié)構(gòu)不變的情況下收費標(biāo)準(zhǔn)對公司收益的影響，并且進一步分析在怎樣的范圍內(nèi)最優(yōu)解保持不變，并聯(lián)系社會實際進行了一定的分析。最后在適當(dāng)簡化模型的同時，對模型進行了改進和推廣，預(yù)示了高素質(zhì)人才在現(xiàn)代社會中將發(fā)揮著越來越重要的作用。關(guān)鍵詞：人力資源調(diào)度；決策變量；可行域；靈敏度分析；博弈論 一.問題重述：“PE公司”是一家從事電力工程技術(shù)的中美合資公司，現(xiàn)有41個專業(yè)技術(shù)人員，其結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的工資水平分布如表1所示。表1 公司的人員結(jié)構(gòu)及

4、工資情況高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員人 數(shù)日工資（元）925017200101705110目前，公司承接有4個工程項目，其中2項是現(xiàn)場施工監(jiān)理，分別在A地和B地，主要工作在現(xiàn)場完成；另外2項是工程設(shè)計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完成。由于4 個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項目的合同對有關(guān)技術(shù)人員的收費標(biāo)準(zhǔn)不同，具體情況如表2所示。表2 不同項目和各種人員的收費標(biāo)準(zhǔn)高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員收費（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500為了保證工程質(zhì)量，各項目中必須保證專業(yè)人

5、員結(jié)構(gòu)符合客戶的要求，具體情況如表3 所示：表3：各項目對專業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求ABCD高級工程師工程師助理工程師技術(shù)員總計1322110252231622211112281-18說明：l 表中“13”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“”符號的同理；l 項目D，由于技術(shù)要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術(shù)員不能參加；l 高級工程師相對稀缺，而且是質(zhì)量保證的關(guān)鍵，因此，各項目客戶對高級工程師的配備有不能少于一定數(shù)目的限制。各項目對其他專業(yè)人員也有不同的限制或要求；l 各項目客戶對總?cè)藬?shù)都有限制；l 由于C、D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有50元的管理費開支。由于收費是按人工計

6、算的，而且4個項目總共同時最多需要的人數(shù)是10+16+11+18=55，多于公司現(xiàn)有人數(shù)41。因此需解決的問題是：如何合理的分配現(xiàn)有的技術(shù)力量，使公司每天的直接收益最大？并寫出相應(yīng)的論證報告。 二.模型假設(shè)和符號說明:1.模型假設(shè)根據(jù)問題的要求，并為了達到將問題進一步明確抽象的目的，在我們的模型中有如下的假設(shè)：1） PE公司是在同一時間接手A、B、C、D四個工程項目。2） PE公司的各種技術(shù)人員分工相當(dāng)明確，如高級工程師不能兼職工程師的工作。3） PE公司的專業(yè)技術(shù)人員在接手工程期間不存在著請假，缺席的現(xiàn)象。4） 在PE公司接手這四個工程的間段，市場物價穩(wěn)定。各級技術(shù)人員的收費標(biāo)準(zhǔn)分別在如下的

7、范圍內(nèi)： 高級工程師的收費最低不低于800元，最高不超過1600元； 工程師的收費最低不低于500元，最高不超過1200元； 助理工程師的收費最低不低于300元，最高不超過900 元； 技術(shù)員的收費最低不低于150元，最高不超過600元。5） 假設(shè)A，B，C，是如下四個矩陣： 2.符號說明分別代表的是在A、B、C、D項目中高級工程師的人數(shù)安排分別代表的是在A、B、C、D項目中工程師的人數(shù)安排分別代表的是在A、B、C、D項目中助理工程師的人數(shù)安排分別代表的是在A、B、C、D項目中技術(shù)員的人數(shù)安排分別代表的是高級工程師在A、B、C、D項目中的每天收費標(biāo)準(zhǔn)分別代表的是工程師在A、B、C、D項目中的每

8、天收費標(biāo)準(zhǔn)分別代表的是助理工程師在A、B、C、D項目中的每天收費標(biāo)準(zhǔn)分別代表的是技術(shù)員在A、B、C、D項目中的每天收費標(biāo)準(zhǔn)分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的高級工程師每天所支付的費用分別代表的是PE公司在A、B、C、D項目中的工程師每天所支付的費用分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的助理工程師每天所支付的費用分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的技術(shù)員每天所支付的費用注： PE公司支出費用包括技術(shù)人員的工資和C、D項目中每個人員每天的50元管理費。三.模型的建立：模型：基于Matlab的線性規(guī)劃方法根據(jù)題意以及上面的符號說明可以得到下列A，B，C的值A(chǔ)=1000 150

9、0 1300 1000 800 800 900 800 600 700 700 700 500 600 400 500B=250 250 300 300 200 200 250 250 170 170 220 220 110 110 160 160C=AB=750 1250 1000 700 600 600 650 550 430 530 480 480 390 490 240 340 于是得到目標(biāo)函數(shù)：我們首先來觀察表1和表3，因為A、B、C、D四個工程需要的技術(shù)員最低限分別是1、3、1、0，而PE公司的技術(shù)員恰好只有5人，所以關(guān)于技術(shù)員的調(diào)度就已經(jīng)確定，A工程1人，B程3人，工程1人，工程

10、0人。即： 。又有C工程中高級工程師的數(shù)量已定，因此其實只有11個決策變量在影響最終公司效益。用Matlab 6.5軟件中的函數(shù)x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解,具體程序看附錄1：得出數(shù)據(jù)X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMax Z=CX=27150通過對高級工程師的人數(shù)變化時(其他因素全都不變),分析其對最大公司效益的影響,分別取高級工程師的人數(shù)是9,10,11,12的情況: 得出結(jié)果如下表所示:高級工程師人數(shù)x11x12x13x14.91.00005.00002.00001.0000101.70205.00002

11、.00001.2980112.56485.00002.00001.4352123.00005.00002.00002.0000x21x22x23x24,96.00003.00006.00002.0000105.29803.10866.00002.5933114.43523.85066.00002.7143124.00004.01876.00002.9813高級工程師人數(shù)x31x32x33x3492.00005.00002.00001.0000102.00004.89142.00001.1086112.00004.14942.00001.8506122.00003.98132.00002.018

12、7高級工程師人數(shù)x41x42x43x4491.00003.00001.00000.0000101.00003.00001.00000.0000111.00003.00001.00000.0000121.00003.00001.00000.0000上述表格缺陷在于人員分配個數(shù)出現(xiàn)了小數(shù),這跟實際問題相違背。分析其原因主要在于：我們用這個Matlab6.5軟件做出來的就是基于用單純形法引入松弛變量而得出來的。因為松弛問題是作為一個線形規(guī)劃問題，其可行解的集合是一個凸集，任意兩個可行解的凸集組合仍為可行解。由于整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定也是松弛問題的可行解（反之則不一定），所以前者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不

13、會優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。在一般情況下，松弛問題的最優(yōu)解不會剛好滿足變量的整數(shù)約束條件，因而不是整數(shù)規(guī)劃的可行解，自然就不是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。我們用Matlab 6.5中函數(shù)x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)求解出來的當(dāng)高級工程師人數(shù)變化時出現(xiàn)了小數(shù)現(xiàn)象，就是上述所述的問題。此時，若對松弛問題的這個最優(yōu)解中不符合整數(shù)要求的分量簡單的取整，所得到的解不一定是整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解，甚至也不一定是整數(shù)規(guī)劃問題的可行解?；谶@個問題我們引入了解這個模型的第二種方法。模型:基于LinDo6.0的整數(shù)規(guī)劃方法：對于該問題我們有同于4.1的目標(biāo)函數(shù)及約束條件,即用

14、Lindo6.0求解問題,程序具體見附錄2:得出數(shù)據(jù)X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMaxZ=CX=27150結(jié)果跟方法一的相同，從而也驗證了結(jié)果的正確性。下面著重通過人數(shù)變化（其他因素都不變）對公司最大效益的影響進行分析，得出下列數(shù)據(jù)：高級工程師人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值(單位為元)94127150104227850114328550124429250134529250工程師人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值(單位為元)17412715018422770019432825020442880021452935022462990023473045024483100

15、0254931550265032100275132150285232150助理工程師的人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值(單位為元)104127150114227630124328110134428590144529070154629550164730030174830510184930990195031470205131950215232430225332910235433390245533870技術(shù)員人數(shù)的變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值(單位為元)541271506422759074328030844284709452891010462925011472959012482993013493027014

16、5030410155130410四.模型分析：主要采用靈敏度分析法:上面表格中除了告訴我們問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值以外，還能挖掘出許多隱含著的有用信息：1.（在允許范圍內(nèi)）每增加一個高級工程師使得公司效益增加700元，如高級工程師的人數(shù)從9個增加到10個公司效益就增大了700元。增加一個工程師使得公司效益增加550元，增加一個助理工程師使得公司效益增加480元，增加一個技術(shù)員使得公司效益增加440元，上面公司效益的增加可以看作人數(shù)的潛在價值稱為“影子價格”，即高級工程師的影子價格是700元，工程師的影子價格是550元，助理工程師的影子價格是480元，技術(shù)員的影子價格是440元。2.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)

17、發(fā)生變化時（假定約束條件不變），最優(yōu)解會改變嗎？帶著這個問題，我們又用Lindo6.0軟件進行了單個系數(shù)變化的處理.即在最初的最優(yōu)解不變的情況下，求出各系數(shù)允許的變化范圍（以其他系數(shù)不變作為前提，求出一個目標(biāo)系數(shù)變化的范圍）。D公司不需要技術(shù)員，C公司對高級工程師的人數(shù)是常數(shù)2，所以他們不會對最終公司效益產(chǎn)生影響，這里就只分析其他的自變量前的系數(shù)的變化。列出表格如下：此變量前的系數(shù)X11X12X13X14X21X22X23X24允許的變化范圍0-1249751- +0- +0-1249551- +551-650551- +0-599公司效益變化幅度15216362此變量前的系數(shù)X31X32X3

18、3X34X41X42X43允許的變化范圍0-529480- +0-5800-5300- +0- +0- +公司效益變化幅度2521131說明：表格的第一行表示列出的各變量xij前系數(shù)（表格中就用變量代替表示）。第二行表示在最優(yōu)解不變的情況下其系數(shù)的變化范圍。如0-1249是指其前面的系數(shù)從0變化到1249元，最優(yōu)解都是不會變化的。第三行表示當(dāng)變量前面的系數(shù)在這個范圍變化時，雖然最優(yōu)解不發(fā)生變化，但是最優(yōu)值將發(fā)生變化，目標(biāo)系數(shù)變化一個單位時，最優(yōu)值以表格中列的數(shù)值為幅度變化。而還可以發(fā)現(xiàn)這個幅度就是得出的最優(yōu)解里的相應(yīng)項目中具體人員分布的人數(shù)，我們得出的最優(yōu)解是X=1,5,2,1,6,3,6,2

19、,2,5,2,1,1,3,1。由上述表格還可以畫出最大公司效益與目標(biāo)系數(shù)的關(guān)系圖，這里只列舉x11，x12,x13，x22前面目標(biāo)系數(shù)變化時，最大公司效益和目標(biāo)系數(shù)的變化關(guān)系。同理其他的都可以歸結(jié)為這四類中的一類。如下圖：紅線表示的就是上面表格中列的最優(yōu)解保持不變時，系數(shù)變動對最優(yōu)值的影響區(qū)域。Max z F 27150 B 26400O 750 c11Max z 27150 B 25150O 1000 c13Max z B F2 F1O 1250 c12對上面圖形說明：各個圖中的黑點（即折線的交點）表示最優(yōu)解發(fā)生變化的臨界點。用這個分析結(jié)果很容易看到，若某一個工程項目只增加其中一種技術(shù)人員的

20、收費標(biāo)準(zhǔn)時（該工程中其他技術(shù)人員的收費標(biāo)準(zhǔn)和其它項目中人員的收費標(biāo)準(zhǔn)，人數(shù)需求均保持不變），可以使公司的最大效益增加，但是人力資源調(diào)度不變。這樣公司可以根據(jù)這個標(biāo)準(zhǔn)跟對方商談價格，在一定的人數(shù)范圍內(nèi)，公司的領(lǐng)導(dǎo)階層可以盡可能地提高收費標(biāo)準(zhǔn)，為公司獲得最大的效益；同時對需求方來說他則要出低一點的收費標(biāo)準(zhǔn)來得到項目需求的人數(shù)，這樣需求方可以使支出大大減小。這個盡可能低的工資從理論上來說有的甚至可以達到零值，但是這是不符合實際情況的。主要原因是我們算出來的是理論值，從理論上來說是可以的。我們不能說只根據(jù)理論而去采取使高級工程師的工資為250元（固定工資），而技術(shù)員的工資還是500元這樣的收費標(biāo)準(zhǔn)，即

21、使是人員分配還是符合項目的要求。這就要求公司和需求方共同商議來達到一個較好的值，所以模型要跟實際聯(lián)系起來才能得到更好的實際意義。3.對上面的第1點的人員分配做進一步的分析：(1).對于高級工程師來說，隨著高級工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以700元的幅度遞增。但是當(dāng)人數(shù)增加到12人時，最大公司效益卻不再增加。此時在達到這個最大公司效益的上限值時，對應(yīng)著一個總?cè)藬?shù)是44（<55）。為什么會出現(xiàn)這個現(xiàn)象呢？按照正常的想法應(yīng)該是高級工程師越多越好。但在此題中對此很好解釋，因為高級工程師的人數(shù)都有一個上限，即他不能像我們想象的那樣可以無限增加直到55。又由于實際中高級工程師相對稀缺，而且是質(zhì)

22、量保證的關(guān)鍵。因此各個項目客戶對高級工程師的配備有不能少于一定數(shù)目的限制是需要的。(2).對于工程師來說，同樣隨著工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以550元的幅度遞增。當(dāng)人數(shù)達到27人時，最大公司效益也不再增加，而是保持在27150元這個值不變。此時的總?cè)藬?shù)是51（<55），又出現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象。顯然這里并不是純粹的如上面的原因，仔細觀察上面的數(shù)據(jù)圖可以看到此時A、B、C三個項目都已經(jīng)達到了最大的約束項限制，而在D地卻沒有達到，從這里就可以得出主要原因是在D地，同樣的在D地對工程師的人數(shù)需求是28，又是上面提到的存在上限的問題。(3).對于助理工程師來說，隨著助理工程師單位人數(shù)的增加，最

23、大公司效益以小一點的值480元的幅度遞增。當(dāng)人數(shù)達到24人時，已經(jīng)達到了使最大公司效益不變的值，此時最大值33870元，此時總?cè)藬?shù)剛好達到題目限制的最大值55人，得到了較好的人數(shù)分配，使得每個工程項目都能有足夠的人力資源來進行工作。(4).對于技術(shù)員來說，相對于技術(shù)員單位人數(shù)的增加，最大公司效益也是以幅度440元來遞增。雖然技術(shù)員并沒有像上面所說有上限的限制，但是在最大公司效益不再改變時，技術(shù)員有14人，此時總?cè)藬?shù)是50人，并不能達到55人。此時最大公司效益已經(jīng)達到了30410元。這里雖然沒有像上面所說的上限約束的限制，可是人數(shù)還是不能達到最大分配。這里還是要從題目表格里仔細觀察發(fā)現(xiàn)：D地由于

24、技術(shù)要求較高，技術(shù)員不能參加。這里就給了人數(shù)一個很大的限制，所以技術(shù)員在是A，B，C三地達到最大滿足后不能再增加了。這個分析結(jié)果對實際應(yīng)用很有價值。像這里A，B，C，D四個項目共需要55個人，當(dāng)公司有足夠的人員來分配給他們時，如果它不加考慮的就分配這樣會出現(xiàn)人員浪費。比如就拿技術(shù)員來說，他達到14人時公司效益不再增加。公司如果分配了18人給需求方，這樣這四個技術(shù)員就好似沒有得到任何利潤，就存在著這種浪費現(xiàn)象。實際中公司接手的項目往往有很多個，這里人員分配就顯得更加重要，否則很可能會出現(xiàn)分配了這里而在那里得不到滿足。可見考慮這個問題是非常必須的。用這個模型可以很方便的解決這些問題。五.模型的改進

25、與推廣：（1）以上的模型還沒有講到各級技術(shù)人員分別對公司效益的產(chǎn)生影響。實際情況中，不同級別的技術(shù)人員對公司的效益都是不同的，下面我們就以問題為代表來討論高級工程師、工程師、助理工程師、技術(shù)員在整體上和人均上每天為公司所創(chuàng)的效益。（注：在這里我們假設(shè)在C、D兩個項目中每人每天不需要50元的管理開支費。）那么，在整體上：9個高級工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為： 17個工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：10個助理工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：5個技術(shù)員每天為公司所創(chuàng)的純收入為：在人均上： 每個高級工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入：每個工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入： 每個助理工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入

26、： 每個技術(shù)員每天為公司所創(chuàng)的純收入：從上面表1中可以看出高級工程師和工程師在公司中所起的作用是舉足輕重的，由此可見一個公司若沒有高技術(shù)人員的加盟，它的效益就不會高，在激烈的競爭中就很難立足，有可能就會面臨破產(chǎn)的悲劇。從表2 中可以看出高級工程師每天人均為公司所創(chuàng)的純收入是十分可觀的，正因為如此現(xiàn)在無論各個行業(yè)各個部門都希望高素質(zhì)人才加盟自己的隊伍，而國際上也把科學(xué)技術(shù)作為衡量一個國家綜合國力的重要標(biāo)志，這也印證了“科學(xué)技術(shù)是生產(chǎn)力”的道理，符合當(dāng)今社會現(xiàn)實潮流。六.模型評價：模型的優(yōu)點如下：1） 模型的主體采取L軟件處理數(shù)據(jù)和對其進行靈敏度分析，準(zhǔn)確性高，容量大，邏輯性嚴(yán)格，計算速度快，具有

27、較強的說服力和適應(yīng)能力。2） 動態(tài)的分析了各種人員人數(shù)變化對公司效益的影響和各種人員收費標(biāo)準(zhǔn)變化對公司效益的影響。3） 從單純的問題分析中，預(yù)見到了現(xiàn)今社會對高技術(shù)人才的需求程度。模型的缺點如下：1) 我們在靈敏度分析中，對模型中最優(yōu)值的影響因素只是從單個方面的變化考慮。不是十分的全面。參考文獻1.胡運權(quán)，郭耀煌. 運籌學(xué)教程. 清華大學(xué)出版社. 19982.姜啟源, 謝金星, 葉俊.數(shù)學(xué)模型. 高等教育出版社. 20033. 趙靜 , 但琦. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗(第二版). 高等教育出版社 2003附錄1: A=1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1