數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上第十三章132　畫軸對(duì)稱圖形

1、13.2畫軸對(duì)稱圖形1軸對(duì)稱的性質(zhì)(1)由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l成軸對(duì)稱的圖形，所得圖形與原圖形全等(2)新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)(3)連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分理解：軸對(duì)稱變換的過程是一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的過程，在這個(gè)過程中，對(duì)稱軸變化時(shí)得到的圖形的方向和位置也會(huì)發(fā)生變化，正是因?yàn)閷?duì)稱軸的不斷變化，才形成了絢麗多姿的、美麗的軸對(duì)稱圖案談重點(diǎn) 軸對(duì)稱的性質(zhì)的理解軸對(duì)稱和平移一樣，是圖形變換中的一種，它也可以看成一個(gè)圖形沿某條直線翻折180°得到的圖形；成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作是另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的；一個(gè)軸對(duì)稱

2、圖形也可以看作以其中一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)過軸對(duì)稱擴(kuò)展變化而成的，隨著對(duì)稱軸的變化，圖形也在變化，根據(jù)不同需要，不斷變換對(duì)稱軸，就可以設(shè)計(jì)出精美的軸對(duì)稱圖案【例1】 在由四個(gè)相同的小正方形組成的“7”字形圖中，請(qǐng)你添畫一個(gè)小正方形，使它成為軸對(duì)稱圖形，并用虛線畫出所得軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸要求在圖中畫出三種不同的設(shè)計(jì)方案分析：本題是一道關(guān)于添圖補(bǔ)成軸對(duì)稱圖形的題目，根據(jù)圖形的特征，可以從上下對(duì)折、左右對(duì)折以及斜著對(duì)折三個(gè)方面思考補(bǔ)圖的方法解：如圖，下面給出三種不同方法2畫已知圖形的軸對(duì)稱圖形(1)依據(jù)：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，據(jù)此我們通過作出已知點(diǎn)

3、的對(duì)稱點(diǎn)的方法作出已知圖形的軸對(duì)稱圖形(2)方法：選擇一些特殊的點(diǎn)；過這些點(diǎn)分別作已知直線(對(duì)稱軸)的垂線，并在垂線上找到一些點(diǎn)(截取)，使得這些點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別相等，從而得到已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；順次連接這些對(duì)稱點(diǎn)得到的圖形，即為已知圖形的軸對(duì)稱圖形解技巧 作幾何圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形由于幾何圖形都可以看作由若干點(diǎn)組成的，所以只要作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，如：三角形、平行四邊形、梯形等，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、三角形的頂點(diǎn)等)的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形【例2

4、】 如圖所示，已知ABC和直線MN.求作：A1B1C1使A1B1C1和ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱分析：三點(diǎn)確定一個(gè)三角形，只要確定ABC的頂點(diǎn)A、B、C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，即可作出A1B1C1，其中C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是它本身解：如圖所示作法：(1)過A作MN的垂線，垂足為O，在垂線上截取A1OAO，點(diǎn)A1就是A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；(2)同樣做出B點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B1，C的對(duì)稱點(diǎn)C1是它本身；(3)連接A1、B1、C1，A1B1C1即為所求3關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，即橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的

5、坐標(biāo)為(x，y)，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同解技巧 關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)可以簡單記為“關(guān)于誰對(duì)稱誰不變”，理解為關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)x的值不變，關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)y的值不變【例3】 (1)點(diǎn)(2,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_；(2)如果A(a1,3)，A(4，b2)關(guān)于x軸對(duì)稱，則a_，b_.解析：(1)直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，變換縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)的值得出(2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以a14，b23，解得a5，b1.答案：(1)(2，4)(2,4

6、)(2)514平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(1)意義：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，可以作出一個(gè)圖形關(guān)于x、y軸的對(duì)稱圖形(2)方法：先求出已知圖形中一些特殊點(diǎn)關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)，并順次連接，就可得到這個(gè)圖形關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱圖形【例4】 如圖，寫出ABC的各頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的A1B1C1，寫出A1B1C1各點(diǎn)坐標(biāo)分析：寫出ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，分別求出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)，并順次連接，即可得到A1B1C1.解：(1)由圖可知，ABC各頂點(diǎn)的坐

7、標(biāo)為A(3,2)，B(4，3)，C(1，1)；(2)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)分別是(3,2)，(4，3)，(1，1)在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)A1，B1，C1，并順次連接，如圖所示，A1B1C1即為所求5軸對(duì)稱圖形的畫法應(yīng)用已知一個(gè)圖形和一條直線，可以作出這個(gè)圖形關(guān)于這條直線的對(duì)稱圖形，關(guān)鍵在于選擇特殊的點(diǎn)，作出這些點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，順次連接即可得到已知圖形的軸對(duì)稱圖形，由于幾何圖形是由點(diǎn)組成的，選擇的點(diǎn)越多，圖形越準(zhǔn)確隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的推廣，用幾何畫板、畫圖板、粘貼等手段能畫出更準(zhǔn)確的軸對(duì)稱圖形6平面直角坐標(biāo)系中軸對(duì)稱的應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱應(yīng)用主要有三種情況：由給定的點(diǎn)的坐標(biāo)求

8、這點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)；已知兩點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱，求坐標(biāo)或坐標(biāo)中未知數(shù)的值；已知坐標(biāo)系中的一個(gè)圖形，畫出此圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱的圖形析規(guī)律 作一個(gè)圖形關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的圖形關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是解決這三類問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，根據(jù)“關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同”求出坐標(biāo)、描點(diǎn)、畫出圖形或列出相關(guān)式子解決問題【例5】 如圖1是由一個(gè)圓、一個(gè)半圓和一個(gè)三角形組成的圖形，請(qǐng)你以直線AB為對(duì)稱軸，把原圖補(bǔ)成軸對(duì)稱圖形分析：半圓的對(duì)稱圖形還是半圓，三角形的對(duì)稱點(diǎn)有兩點(diǎn)在對(duì)稱軸上，只要找到P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)Q即可解

9、：(1)以O(shè)為圓心，以O(shè)C的長為半徑畫半圓；(2)過P作AB的垂線，垂足為D，在垂線上截取QDPD，連接CQ，如圖2所示即為所求【例61】 已知M(a2，b1)與N(b3，a2)關(guān)于x軸對(duì)稱，求ab的值分析：由關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，先列方程組求出a，b的值，再計(jì)算ab的值解：由題意，得解得所以ab3.點(diǎn)撥：也可由b1(a2)直接得ab3.【例62】 已知點(diǎn)P(2m3,3m)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在第二象限，試確定整數(shù)m的值分析：本例并非直接利用坐標(biāo)的變化規(guī)律來解題，而是考查對(duì)稱點(diǎn)的位置，根據(jù)點(diǎn)所在的象限列不等式組去求解解：由于點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在第二象限，則點(diǎn)P在第一象限，所以解得m3，因?yàn)?/p>

10、m為整數(shù)，所以m2.7軸對(duì)稱圖形設(shè)計(jì)日常生活中有很多圖形是軸對(duì)稱圖形，這些圖形給我們以美的視覺享受，使我們的生活變得更加絢麗多彩，實(shí)際上這許許多多精美的圖案很多是由一些簡單的圖形通過軸對(duì)稱變化得到的，一個(gè)簡單的圖形，通過不斷的軸對(duì)稱變換，就會(huì)變得豐富多彩，絢麗多姿，就像我們的民間剪紙藝術(shù)，也是通過折疊、剪裁、展開得到美麗圖案的對(duì)稱軸不同，變化的方向和位置就不同，從而變化出各種圖案隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的推廣，我們可以通過復(fù)制、粘貼、翻折等方法制作出更復(fù)雜、美麗的軸對(duì)稱圖形，甚至讓它們動(dòng)起來8軸對(duì)稱中的剪紙問題剪紙藝術(shù)是我國最美麗的民間藝術(shù)之一，而剪紙中的軸對(duì)稱問題也是近幾年中考的熱點(diǎn)，它重點(diǎn)考查同學(xué)們

11、動(dòng)手操作能力、空間想象能力，同時(shí)也考查對(duì)軸對(duì)稱圖形有關(guān)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)此類題目大多是將長方形或正方形紙片通過折疊、剪裁，觀察展開后得到的圖形此類題目往往經(jīng)過多次軸對(duì)稱變換，展開后變化較大，因而要注意觀察，抓住主要特點(diǎn)識(shí)別9點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線xm，直線yn對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)軸對(duì)稱是關(guān)于某條直線的對(duì)稱，在平面直角坐標(biāo)系中，除了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱外，圖形還能關(guān)于平行于x軸、y軸的任意一條直線軸對(duì)稱，并且坐標(biāo)變化規(guī)律也不盡相同但不論關(guān)于任何一條直線軸對(duì)稱，它們都是軸對(duì)稱，都具備軸對(duì)稱性質(zhì)，我們?nèi)匀荒芨鶕?jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，畫出軸對(duì)稱圖形，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)析規(guī)律 關(guān)于直線xm的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系點(diǎn)(x，y

12、)關(guān)于直線xm對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系是：兩對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于2m，即所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)x12mx，縱坐標(biāo)不變；關(guān)于直線yn對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系是：橫坐標(biāo)不變，兩對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)之和等于2n，即所求點(diǎn)的縱坐標(biāo)y12ny.【例7】 (方案設(shè)計(jì)題)如圖，在網(wǎng)格中有兩個(gè)全等的圖形(陰影部分)，你能用這兩個(gè)圖形拼成軸對(duì)稱圖形嗎，試分別在給出的圖(1)、圖(2)中畫出兩種不同的拼法分析：由于對(duì)稱軸不同、圖形位置不同，得到的軸對(duì)稱圖形也不同，我們可以用不同的網(wǎng)格線作為對(duì)稱軸，來構(gòu)造不同的軸對(duì)稱圖案這是一道開放題，答案不唯一，同學(xué)們可以開動(dòng)腦筋發(fā)揮你的想象力，繪制出不同的圖案解：下面提供部分答案，僅供參考，不同的畫法例舉如下(如圖所示)：【例8】 (操作題)如圖，將正方形紙片按圖中(1)、(2)的方式依次對(duì)折后，再沿(3)中的虛線裁剪，最后將(4)中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是下面圖案中的()解析：方法一：觀察圖形，是將正方形紙片折疊兩次，因此是兩次軸對(duì)稱，并且裁剪部位在折疊的最中間，展開后中間應(yīng)是個(gè)小正方形，另一剪裁部位在最上邊沿，展開后應(yīng)是原正方形上下邊沿的獨(dú)立缺口，所以只有B選項(xiàng)適合方法二：將所給四個(gè)選項(xiàng)分別先豎后橫依次折疊，再結(jié)合最后的剪裁綜合分析，A的剪裁既有上下，也有左右，也