數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案（課堂PPT）

1、汪曉勤汪曉勤華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例杭州杭州 2017-04-27數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例 如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)“立德樹人立德樹人”的根本任務(wù)，如何實(shí)的根本任務(wù)，如何實(shí)施數(shù)學(xué)學(xué)科德育，日益受到人們的關(guān)注。施數(shù)學(xué)學(xué)科德育，日益受到人們的關(guān)注。 國際上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識(shí)、能力、思維、情國際上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵涉及知識(shí)、能力、思維、情感，而國內(nèi)目前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學(xué)情感。感，而國內(nèi)目前的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架中并未涉及數(shù)學(xué)情感

2、。 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系（HPM）是今日數(shù)學(xué)教育）是今日數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱門課題。領(lǐng)域的熱門課題。 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的成效在實(shí)踐中得到了檢驗(yàn)，越來越數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的成效在實(shí)踐中得到了檢驗(yàn)，越來越多的中學(xué)一線教師對(duì)多的中學(xué)一線教師對(duì)HPM產(chǎn)生濃厚興趣。產(chǎn)生濃厚興趣。 如何設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)如何設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)HPM課例？課例？HPM視角下的數(shù)學(xué)教視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐是否可以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展？學(xué)實(shí)踐是否可以促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展？背背 景景 為什么要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)？融入什么？如何融入？為什么要將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)？融入什么？如何融入？背背 景景背背 景景教學(xué)

3、取向的數(shù)學(xué)知識(shí)（教學(xué)取向的數(shù)學(xué)知識(shí)（MKT）的構(gòu)成）的構(gòu)成背背 景景HPM課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例u教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)案例1 用字母表示數(shù)案例1 用字母表示數(shù)問題問題1：一個(gè)量，加上它的2/3，它的1/2和它的1/7，等于33。求該量。21133327xxxx案例1 用字母表示數(shù)問題問題2：已知兩數(shù)的和與差，你能求出這兩個(gè)數(shù)嗎？公元前1700年16世紀(jì)公元3世紀(jì)古巴比倫人古巴比倫人修辭代數(shù)：修辭代數(shù)：用文字來表達(dá)用文字來表達(dá)一個(gè)方程一個(gè)方程丟番圖丟番圖縮略代數(shù)：縮略代數(shù)：用字母表示未用字母表示未知數(shù)知數(shù)符號(hào)代

4、數(shù)符號(hào)代數(shù)用字母表示任用字母表示任意數(shù)意數(shù)韋韋 達(dá)達(dá)案例1 用字母表示數(shù)案例1 用字母表示數(shù)問題問題3：搭5個(gè)正方形，需要幾根火柴棍？搭任意多個(gè)正方形呢？44+134+234+33生：任意多個(gè)正方形所需火柴棍數(shù)：生：任意多個(gè)正方形所需火柴棍數(shù)：4+(正方形個(gè)數(shù)正方形個(gè)數(shù)-1) 3案例1 用字母表示數(shù) 知識(shí)之諧知識(shí)之諧經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母經(jīng)歷從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的自然過程表示任意數(shù)的自然過程 探究之樂探究之樂積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 文化之魅文化之魅字母表示數(shù)的歷史字母表示數(shù)的歷史 德育之效德育之效數(shù)學(xué)思想發(fā)展的曲折與艱辛數(shù)學(xué)思想發(fā)展的曲折與艱辛學(xué)學(xué) 生生教教 師師 內(nèi)

5、容與課程知識(shí)（內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC）字母表示數(shù)的歷史字母表示數(shù)的歷史 內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（KCS）從字母表示未知數(shù)到字母表從字母表示未知數(shù)到字母表示任意數(shù)的困難示任意數(shù)的困難 內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT）借鑒代數(shù)學(xué)的歷史來設(shè)計(jì)教借鑒代數(shù)學(xué)的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)學(xué)太上感應(yīng)篇太上感應(yīng)篇“入重入重出輕出輕”的的故事故事。案例2 反比例函數(shù) 引入引入案例2 反比例函數(shù)數(shù)據(jù)a(cm)n(g)b(cm)m(g)第1次8100450第2次810012150第3次810016200a和和n不變不變, b和和m之間的正比例關(guān)系之間的正比例關(guān)系 新課探究新課探究案例2 反比例函數(shù)a和和m不變不

6、變, b和和n之間的反比例關(guān)系之間的反比例關(guān)系數(shù)據(jù)a(cm)m(g)b(cm)n(g)第1次81001650第2次81008100第3次81004200總結(jié)：當(dāng)n增加時(shí)，b卻減少， b隨n的增加而減小。且滿足bn = am = 非零常數(shù)，b與n成反比例。案例2 反比例函數(shù)定義：設(shè)b = y，n = x，則y = k/x。形如y =k/x（k為常數(shù)，且k 0）的函數(shù)成為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。 概念形成概念形成辨析：（1）對(duì)“形如”怎樣理解？（2）怎樣理解“k為常數(shù)，且k 0”？（3）反比例函數(shù)與前面所學(xué)的什么知識(shí)有聯(lián)系？（4）為什么成為反比例函數(shù)？u教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)

7、設(shè)計(jì)案例 3 直角坐標(biāo)系從那天起，當(dāng)它們臆測(cè)從那天起，當(dāng)它們臆測(cè)又一個(gè)真理揭開了面容又一個(gè)真理揭開了面容在地獄般的圈欄在地獄般的圈欄暴發(fā)出一陣陣哀鳴暴發(fā)出一陣陣哀鳴案例 3 直角坐標(biāo)系繆斯女神把這光芒饋贈(zèng)繆斯女神把這光芒饋贈(zèng)畢達(dá)哥拉斯要把祭禮行畢達(dá)哥拉斯要把祭禮行百牛烤熟又切片百?？臼煊智衅y表心中感激之情難表心中感激之情難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行難阻真理發(fā)現(xiàn)者的暴行畢氏讓它們永不得安寧畢氏讓它們永不得安寧它們瑟瑟顫抖著它們瑟瑟顫抖著絕望地閉上了眼睛絕望地閉上了眼睛 復(fù)習(xí)舊知：數(shù)軸的三要素復(fù)習(xí)舊知：數(shù)軸的三要素； 笛卡兒的故事；笛卡兒的故事； 問題問題1：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬5cm，如何，如何表示

8、它的位置？表示它的位置？ 問題問題2：蒼蠅向左爬：蒼蠅向左爬5cm，如何，如何表示它的位置？表示它的位置？案例 3 直角坐標(biāo)系 問題問題3：蒼蠅向上爬：蒼蠅向上爬5cm，如何表示它的位置？如何表示它的位置？ 問題問題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上再向上5cm，如何表示它的，如何表示它的位置？位置？S：用：用+3表示。表示。T：那如果蒼蠅向上爬了：那如果蒼蠅向上爬了6cm，7cm，又如何表示它的位置，又如何表示它的位置呢？呢？S：還是：還是+3。T：可是，蒼蠅的位置明明：可是，蒼蠅的位置明明不同??？不同啊？案例 3 直角坐標(biāo)系 問題問題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上，再向上5

9、cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？案例 3 直角坐標(biāo)系S：用：用8來表示。來表示。T：那么如果蒼蠅先向右爬：那么如果蒼蠅先向右爬4cm，再向上爬再向上爬4cm，那你怎么表示？，那你怎么表示？S：還是：還是8。T：不同的位置，但是你卻用：不同的位置，但是你卻用同同一一個(gè)個(gè)數(shù)來表示，同學(xué)們覺得這樣數(shù)來表示，同學(xué)們覺得這樣可行嗎？可行嗎？S：不可行。：不可行。 問題問題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？案例 3 直角坐標(biāo)系S：用：用“5垂直于垂直于3”表示。表示。T：那如果蒼蠅向左爬了：那如果蒼蠅向左爬了3cm，再向上爬了，再向上

10、爬了5cm呢？呢？S：“5垂直于垂直于-3”。T：這位同學(xué)很棒，用兩個(gè)數(shù)來表示點(diǎn)的位置，那么這位同學(xué)很棒，用兩個(gè)數(shù)來表示點(diǎn)的位置，那么能不能再簡(jiǎn)練一點(diǎn)呢？能不能再簡(jiǎn)練一點(diǎn)呢？S：5 3。S：5.3。S：5/3。 問題問題4：蒼蠅向右爬：蒼蠅向右爬3cm，再向上，再向上5cm，如何表示它的位置？，如何表示它的位置？T：還有其他表示方法嗎？：還有其他表示方法嗎？有兩組學(xué)生開始用量角器與直尺有兩組學(xué)生開始用量角器與直尺S7：北偏東北偏東50 。T：T：我們將：我們將5垂直于垂直于3表示為（表示為（3, 5）。）。案例 3 直角坐標(biāo)系案例 3 直角坐標(biāo)系 知識(shí)之諧知識(shí)之諧經(jīng)歷坐標(biāo)概念的自然發(fā)生過程經(jīng)歷

11、坐標(biāo)概念的自然發(fā)生過程 探究之樂探究之樂體驗(yàn)成功的快樂、積累數(shù)學(xué)活體驗(yàn)成功的快樂、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 文化之魅文化之魅數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系 德育之效德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學(xué)興趣、自信心、親近數(shù)學(xué)學(xué)學(xué) 生生教教 師師 內(nèi)容與課程知識(shí)（內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC）直角坐標(biāo)系的歷史直角坐標(biāo)系的歷史 內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（KCS）從一維到二維的困境從一維到二維的困境 內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT）借鑒坐標(biāo)概念的歷史來設(shè)計(jì)借鑒坐標(biāo)概念的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)教學(xué) 水平內(nèi)容知識(shí)（水平內(nèi)容知識(shí)（HCK）直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的聯(lián)系直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的聯(lián)系案例4 函數(shù)的概

12、念 函數(shù)概念的歷史函數(shù)概念的歷史總之有自變量、因總之有自變量、因變量且一變量且一個(gè)個(gè) x 有且有且僅有一個(gè)僅有一個(gè) y 的值與的值與其對(duì)應(yīng)的式子其對(duì)應(yīng)的式子案例4 函數(shù)的概念師師：關(guān)于函數(shù)概念，同學(xué)們并不陌生?，F(xiàn)在，請(qǐng)大家回憶一下，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)是怎么定義的？ 引入引入L. Euler (1707 1783)案例4 函數(shù)的概念 歐拉的函數(shù)定義歐拉的函數(shù)定義( (1748) )：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何方式和一些數(shù)或常量以任何方式組成的解析式。組成的解析式。 無窮分析引論無窮分析引論 德摩根代數(shù)學(xué)德摩根代數(shù)學(xué)的定義的定義(1837)：A. de Mo

13、rgan (1806-1871)案例4 函數(shù)的概念A(yù)ny expression which contains x in any way is called a function of x.李善蘭李善蘭的譯文：的譯文：“凡式中含天，凡式中含天，為天之為天之函數(shù)函數(shù)?！边@便是中文這便是中文“函數(shù)函數(shù)”名稱的由來。名稱的由來。案例4 函數(shù)的概念例例1(課本課本)：表表1列出了列出了男子一百米欄項(xiàng)目男子一百米欄項(xiàng)目從從1900年開始年開始的世界紀(jì)錄的世界紀(jì)錄創(chuàng)立的時(shí)間和成就，創(chuàng)立的時(shí)間和成就，請(qǐng)請(qǐng)思考：思考：（1）統(tǒng)計(jì)表中有統(tǒng)計(jì)表中有哪哪幾個(gè)變量？是什么？幾個(gè)變量？是什么？（2）當(dāng)時(shí)間年份確定時(shí)，相應(yīng)

14、的世界紀(jì)錄成績(jī)是否確定？能寫出當(dāng)時(shí)間年份確定時(shí)，相應(yīng)的世界紀(jì)錄成績(jī)是否確定？能寫出成績(jī)隨時(shí)間變化的關(guān)系式嗎？成績(jī)隨時(shí)間變化的關(guān)系式嗎？年份年份19001908192019361959197319932006成績(jī)成績(jī)15.41514.814.213.213.112.9112.88男子男子100米欄世界紀(jì)錄統(tǒng)計(jì)表米欄世界紀(jì)錄統(tǒng)計(jì)表案例4 函數(shù)的概念 概念生成概念生成 從從“解析式解析式”到到“變量依賴關(guān)系變量依賴關(guān)系”案例4 函數(shù)的概念問題問題：下圖為某天滬深300指數(shù)隨時(shí)刻變化的圖像。該圖像體現(xiàn)了指數(shù)和時(shí)刻之間的關(guān)系，那么這兩個(gè)變量之間的關(guān)系能否用一個(gè)解析式來刻畫呢？ 如果某個(gè)量依賴于另一個(gè)量，

15、如果某個(gè)量依賴于另一個(gè)量，當(dāng)后面這個(gè)量變化時(shí)，前面這當(dāng)后面這個(gè)量變化時(shí)，前面這個(gè)量也隨之變化，則前面這個(gè)個(gè)量也隨之變化，則前面這個(gè)量稱為后面這個(gè)量的函數(shù)。量稱為后面這個(gè)量的函數(shù)。 微分學(xué)基礎(chǔ)微分學(xué)基礎(chǔ)L. Euler (1707 1783)案例4 函數(shù)的概念 歐拉歐拉的新定義（的新定義（1755）：）：案例4 函數(shù)的概念例例2：y = 0 ( x R ) 是不是一個(gè)函數(shù)？說明理由。是不是一個(gè)函數(shù)？說明理由。師師：初中階段我們學(xué)習(xí)了具體的一次、二次函數(shù)等，初中階段我們學(xué)習(xí)了具體的一次、二次函數(shù)等，在這些函數(shù)中，變量在這些函數(shù)中，變量 y 與與 x 之間就有明確的依賴關(guān)系。之間就有明確的依賴關(guān)系。

16、但是，利用但是，利用“依賴關(guān)系依賴關(guān)系”來刻畫函數(shù)，是否盡善盡美來刻畫函數(shù)，是否盡善盡美了呢？了呢？ 從從“變量依賴關(guān)系變量依賴關(guān)系”到到“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”課前的問卷調(diào)查表明：課前的問卷調(diào)查表明：161人中有人中有65人認(rèn)為它不是函數(shù)關(guān)系，占比人認(rèn)為它不是函數(shù)關(guān)系，占比40.37%。理由是：。理由是： y 不隨不隨 x 的變化而變化；的變化而變化； 沒有沒有 y 與與 x 的關(guān)系式；的關(guān)系式； x 與與 y 之間沒有關(guān)系；之間沒有關(guān)系； y沒有依賴沒有依賴 x 的變化而改變，的變化而改變， 案例4 函數(shù)的概念例例2：y = 0 ( x R ) 是不是一個(gè)函數(shù)？說明理由。是不是一個(gè)函數(shù)

17、？說明理由。師師：那我們?cè)撛鯓用枋鲞@兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢？重新審視函數(shù) y = 0 ( x R ) ，無論 怎樣變化， 的值都是以不變應(yīng)萬變，此處的關(guān)鍵詞“應(yīng)”即為“對(duì)應(yīng)”之意，也就是對(duì)每一個(gè) 的值，都有 的值0與之對(duì)應(yīng)。我們能否從這樣一個(gè)新的視角來理解前面遇到的例子呢？生生：男子100米欄世界紀(jì)錄表中，對(duì)于每一個(gè)出現(xiàn)的年份，都能找到一個(gè)世界紀(jì)錄與之對(duì)應(yīng)；而在滬深指數(shù)圖像中，每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)確定的股票指數(shù)與之對(duì)應(yīng)。案例4 函數(shù)的概念師師：理解得很到位，那么對(duì)于我們熟悉的函數(shù)y=2x2 呢？生生：對(duì)每一個(gè)x的值，都有y的值與之對(duì)應(yīng)。師師：我們還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于變量x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)

18、，說明我們同樣可以從對(duì)應(yīng)的角度來理解曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)。通過以上實(shí)例的分析，同學(xué)們能否提煉并概括一下這些關(guān)系的共同特征？生生：以上函數(shù)關(guān)系中，對(duì)變量 x 的每一個(gè)值，變量 y 都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)。案例4 函數(shù)的概念師師：那么，能不能用集合的語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系來描述初中所學(xué)的函數(shù)概念呢？生生：如果在某個(gè)變化的過程中有兩個(gè)變量 x 和 y，對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)集合 D 內(nèi)的每一個(gè)確定的 x， y 都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么 y 就是 x 的函數(shù)，x 叫做自變量，x 的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和 x 對(duì)應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值。師師：非常好！這正是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷于1837年提出的函數(shù)定義。案例4

19、函數(shù)的概念 狄利克雷的現(xiàn)代定義（狄利克雷的現(xiàn)代定義（1837）：）：設(shè)設(shè) a、b 是兩個(gè)確定的值，是兩個(gè)確定的值，x 是可取是可取 a、b 之間一切值的之間一切值的變量。如果對(duì)于每一個(gè)變量。如果對(duì)于每一個(gè) x，有唯一有限的有唯一有限的 y 值與它對(duì)應(yīng)值與它對(duì)應(yīng),當(dāng)當(dāng)x連續(xù)變化時(shí)，連續(xù)變化時(shí)，y 也隨之變也隨之變化那么化那么 y 叫做叫做 x 的函數(shù)。的函數(shù)。L. Dirichlet（1805-1859）案例4 函數(shù)的概念案例4 函數(shù)的概念師師：反觀剛才分析過的這些函數(shù)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)圖表、一個(gè)圖像或者一個(gè)解析式來呈現(xiàn)，我們把它統(tǒng)稱為“對(duì)應(yīng)法則”。例如表1中，14.2與1936對(duì)應(yīng)，197

20、3有唯一的13.1與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)表表格格就是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則。那么同學(xué)們能否從這個(gè)角度來分析其他例子的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢?生生：圖2的滬指變化圖圖像像就是一種對(duì)應(yīng)法則。生生：函數(shù) y = 2x2，這個(gè)解析式解析式就是一種對(duì)應(yīng)法則。案例4 函數(shù)的概念 3 4096 32768案例5 對(duì)數(shù)的概念計(jì)算：計(jì)算： 1 16 256 2 256 4096案例5 對(duì)數(shù)的概念x1234567891024816326412825651210242xx11121314151617182048409681921638432768655361310722621442xx192021222324524288104857620971

21、5241943048388608167772162xx252627282933554432671088641342177282684354565368709122xx3031323310737418242147483648429496729685899345922xmnm + nMN=MN案例5 對(duì)數(shù)的概念299792.45831536000+ 光在真空中的速度光在真空中的速度 （千米（千米/ /秒秒) )一年的秒數(shù)一年的秒數(shù)= 1光年光年一個(gè)天文單位一個(gè)天文單位29979245831536 179875474889937737414989622902997924588993773749454

22、254955488案例案例5 對(duì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)的概念計(jì)算：計(jì)算：案例5 對(duì)數(shù)的概念x11121314151617182048409681921638432768655361310722621442xx252627282933554432671088641342177282684354565368709122x31536299792458案例5 對(duì)數(shù)的概念x1416384.00014.930573.62514.9431433.16614.94431520.43814.944531531.36414.9445931533.33114.9450031537.7031532768.0002x2log 3

23、1536我們需要?jiǎng)?chuàng)造新數(shù)！我們需要?jiǎng)?chuàng)造新數(shù)！31536.000幾何原本幾何原本卷卷11之棱柱定義之棱柱定義 一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對(duì)的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。案例 6 棱柱的概念Wentworth & Smith(1913)之棱柱之棱柱定義：定義： 有兩個(gè)面為平行平面上的全等多邊形、其他面均為平行四邊形的多邊形叫棱柱。案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念歷史上的棱柱定義分布?xì)v史上的棱柱定義分布案例 6 棱柱的概念棱柱定義的演進(jìn)棱柱定義的演進(jìn) Schuyler(1876)最早最早對(duì)歐對(duì)歐氏定義進(jìn)行改進(jìn)。氏定義進(jìn)行改進(jìn)。棱

24、柱是一個(gè)多面體，它有棱柱是一個(gè)多面體，它有兩個(gè)面為全等、平行的多兩個(gè)面為全等、平行的多邊形且對(duì)應(yīng)邊平行，其余邊形且對(duì)應(yīng)邊平行，其余各面均為以全等多邊形對(duì)各面均為以全等多邊形對(duì)應(yīng)邊為底的平行四邊形。應(yīng)邊為底的平行四邊形。 案例 6 棱柱的概念Stone & Millis (1916)的定義：棱柱是這樣的多面體，它的兩棱柱是這樣的多面體，它的兩個(gè)面為平行平面上的全等多邊個(gè)面為平行平面上的全等多邊形，其余各面均為平行四邊形、形，其余各面均為平行四邊形、且有一組對(duì)邊分別為這兩個(gè)全且有一組對(duì)邊分別為這兩個(gè)全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊。等多邊形的對(duì)應(yīng)邊。案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念 嘗試對(duì)空間幾

25、何體進(jìn)行歸類嘗試對(duì)空間幾何體進(jìn)行歸類案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念師師：我們身邊有各種各樣的空間幾何體，下面請(qǐng)大家將下列幾何體按照一定的特征進(jìn)行分類。生生：根據(jù)有沒有曲面，、和為一類，、和為一類。案例 6 棱柱的概念師師：很好，像、和這些幾何體，是由什么圖形圍成的？生生：平面多邊形。師師：這些幾何體就叫做多面體。師師：像、和這些幾何體可以由一個(gè)平面圖形繞其平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)而圍成，它們叫做旋轉(zhuǎn)體。師師：如果將、和這些多面體再細(xì)分的話，應(yīng)該怎么分呢？生生：我根據(jù)上下兩頭的大小，認(rèn)為、為一類，、為一類，是一類，是一類。 案例 6 棱柱的概念師師：很好，大家都同意他的意見嗎？生生：我認(rèn)為

26、與、是同一類，因?yàn)樗鼈兌疾皇羌獾?。（猶豫一下）但是好像又不能歸為一類，畢竟上下不一樣大，側(cè)面是梯形。師師：很好，其實(shí)、就是棱柱，、是棱錐，是棱臺(tái)，而這三類幾何體是多面體中最基本、最簡(jiǎn)單的幾何體。下面，我們逐個(gè)對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)進(jìn)行研究。首先，我們來研究棱柱的結(jié)構(gòu)特征。案例 6 棱柱的概念 棱柱定義的初步構(gòu)建棱柱定義的初步構(gòu)建讓學(xué)生用自己的語言，以小組為單位嘗試給棱柱下一給棱柱下一個(gè)定義個(gè)定義。教師強(qiáng)調(diào)：定義必須真正刻畫出棱柱這一類幾何體，而不會(huì)產(chǎn)生意外。經(jīng)過5分鐘的討論，學(xué)生逐漸提交成果，筆者將學(xué)生的定義分成7類，分別用D1、D2、D7表來示，見下表。案例 6 棱柱的概念類別定義屬性D1上下面

27、相同且平行的多面體叫棱柱。底面特征D2兩個(gè)底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四兩個(gè)底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。邊形。底面、側(cè)面特征底面、側(cè)面特征D3側(cè)面的棱要平行且長度相等，上底和下底一樣的多面體。底面、側(cè)棱特征D4有互相平行的兩個(gè)面，且兩個(gè)面之間的連線相互平行的幾何體叫棱柱。底面、側(cè)棱特征D5至少有兩個(gè)面互相平行，由多個(gè)四邊形組成，且相鄰的邊互相平行。底面、側(cè)面、側(cè)棱特征D6上下有兩個(gè)平行并相等的多邊形，并由相對(duì)不平行的線段將上下各點(diǎn)平行相連的柱體。動(dòng)態(tài)生成D7由一個(gè)多邊形向一個(gè)固定的方向，掃過所形成的空間幾何立體圖形。動(dòng)態(tài)生成案例 6 棱柱的概念 棱柱定義的不斷完善棱柱定

28、義的不斷完善師師：滿足條件D1的多面體是棱柱嗎？生生：不是，就是反例。師師：看來只規(guī)定上下兩個(gè)面的屬性是不夠的，那如何完善呢？生生：側(cè)面都是平行四邊形。師師：很好，這就是D2（屏幕投影D2），我們來看看，滿足條件 D2 的幾何體是不是棱柱呢？D1：上、下面相同且平行的多面體叫棱柱。D2：兩個(gè)底面是平行且相等的多邊形，側(cè)面是平行四邊形。案例 6 棱柱的概念教師逐一將“棱柱類”實(shí)物進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)側(cè)面都是平行四邊形，絕大多數(shù)學(xué)生也開始相信 D2 是正確的。生生：將兩個(gè)像這樣的棱柱疊在一起，讓它們“扭”一下，也許是個(gè)反例。師師：你能利用現(xiàn)有的教具將反例構(gòu)造出來嗎？學(xué)生用斜棱柱拼接形成一個(gè)反例學(xué)生用斜棱

29、柱拼接形成一個(gè)反例案例 6 棱柱的概念生生：這個(gè)不算反例，因?yàn)樗举|(zhì)上是兩個(gè)棱柱。師師：很好，看來有同學(xué)對(duì)這個(gè)反例不滿意，畢竟它是可以分解成兩個(gè)棱柱。師師：其實(shí)，D2與歷史上偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得的定義是一致的。幾何原本幾何原本卷卷11之棱柱定義之棱柱定義 一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是有一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對(duì)的、相等的、相似且平行的，其他各面都是平行四邊形。PPT放映歐幾里得的畫像、生平以及幾何原本中的棱柱定義。案例 6 棱柱的概念生生：哇，好神奇！它符合D2，但一點(diǎn)棱柱的影子都沒有。師師：是的，但是它可以分解成4個(gè)棱柱。學(xué)生們用期待的眼神看著教師，迫切想見證奇跡的發(fā)生。教師用事先制

30、作好的模型現(xiàn)場(chǎng)分解（如下圖），學(xué)生驚呆了。教師用8個(gè)菱形、4個(gè)正方形磁力片現(xiàn)場(chǎng)拼出這個(gè)反例，如圖4。案例 6 棱柱的概念案例 6 棱柱的概念生生：（驚嘆）竟然是4個(gè)棱柱！師師：對(duì)，這就是立體幾何的奇妙之處?？磥戆牙庵?dāng)成最基礎(chǔ)、最簡(jiǎn)單的幾何體來研究是非常有必要。師師：既然 D2 規(guī)定了底面的特征以及側(cè)面是平行四邊形還不夠，那么如何修改呢？生生：加上“側(cè)棱都平行”這個(gè)條件。師師：很好，如果加上“側(cè)棱都平行”這個(gè)條件，棱柱的定義就完整了。但我們?cè)僮屑?xì)剖析一下，如果有了“側(cè)棱都平行”這個(gè)條件，那么側(cè)面一定會(huì)是平行四邊形嗎？生生：會(huì)的。案例 6 棱柱的概念師：所以，我們這時(shí)把“側(cè)面都是平行四邊形”弱化

31、成“側(cè)面都是四邊形”可不可以？生：可以。師：很好，這就是D5，也是教材上對(duì)棱柱的定義，下面請(qǐng)大家一起看教材。師：其實(shí)D3、D4都關(guān)注到了側(cè)棱的特征，而D6、D7是從棱柱生成的角度定義了棱柱。歷史上都有類似的定義（PPT上放映），有興趣的同學(xué)課后自己去查閱資料。D5：至少有兩個(gè)面互相平行，由多個(gè)四邊形組成，且相鄰的邊互相平行。D3：側(cè)面的棱要平行且長度相等，上底和下底一樣的多面體。D4：互相平行的兩個(gè)面，且兩個(gè)面之間的連線相互平行的幾何體叫棱柱。D7：一個(gè)多邊形向一個(gè)固定的方向，掃過所形成的空間幾何立體圖形。數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例案例案例8 三角形內(nèi)

32、角和三角形內(nèi)角和從泰勒斯的故事引入泰勒斯的發(fā)現(xiàn)。 三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和的發(fā)現(xiàn)案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和師師：請(qǐng)同學(xué)們以小組為單位，分別用六個(gè)同樣的等腰三角形（黃色）和六個(gè)同樣的不等邊三角形（紅色）來拼圖，感受泰勒斯當(dāng)年的探究和發(fā)現(xiàn)過程。案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和 等腰三角形拼圖方案等腰三角形拼圖方案案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和 不等邊三角形拼圖方案不等邊三角形拼圖方案案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和教師讓學(xué)生在圖中鎖定某一個(gè)三角形，通過添加輔助線來說理。按位置，六個(gè)三角形分別稱為上左、上中、上右、下左、下中和下右三角

33、形。各小組經(jīng)過討論之后，產(chǎn)生了多種方案。 三角形內(nèi)角和的說理三角形內(nèi)角和的說理案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和第第 1 組的方案組的方案：鎖定下中三角形。與畢達(dá)哥拉斯的證明相同 案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和第第2組的方案組的方案：鎖定下中三角形。與19世紀(jì)末美國教科書上的證明相同 案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和第第 3 組的方案組的方案：鎖定下中三角形。與克萊羅的證明相同 案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和第第 4 組的方案組的方案：鎖定下中三角形。與歐幾里得的證明相同 案例案例8 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和 方法之美方法之美三角形內(nèi)角和定理的不同證明三角形內(nèi)角和定理的不同證

34、明 探究之樂探究之樂積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)成功積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)成功快樂快樂 文化之魅文化之魅三角形內(nèi)角和定理的歷史三角形內(nèi)角和定理的歷史 德育之效德育之效興趣、自信心、親近數(shù)學(xué)興趣、自信心、親近數(shù)學(xué)學(xué)學(xué) 生生教教 師師 內(nèi)容與課程知識(shí)（內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC）三角形內(nèi)角和定理的歷史材三角形內(nèi)角和定理的歷史材料料 專門內(nèi)容知識(shí)（專門內(nèi)容知識(shí)（SCK）三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)與三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)與各種證明各種證明 內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT）借鑒定理的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)借鑒定理的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)案例9 正弦定理同學(xué)們有沒有想過，流星離我們有多遠(yuǎn)呢？像星星那樣遠(yuǎn)嗎？比月亮離得近嗎？圖5

35、是某次測(cè)量的示意圖，其中O是地球的球心，A、B是兩個(gè)觀測(cè)者所在的位置，相距500 km（球面距離）。AD、BD表示地平線，相交于點(diǎn)D。兩人觀測(cè)到同一顆流星C時(shí)的仰角分別為 = 23.2， = 44.3。問題是：流星距離兩位觀測(cè)者分別有多遠(yuǎn)呢？ 引入引入案例9 正弦定理 定理探究定理探究u直角三角形中的邊角關(guān)系sinsinsinsinsinsinaAcbabcBcABCcCc，sinsinsinsinCDAAabCDBbBau 斜三角形中有同樣結(jié)果嗎？案例9 正弦定理 定理定理新證新證u 17世紀(jì)，中國清代數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家梅文鼎在平三角舉要給出了另一種精彩的證明。sin:sin:CDEFABCD

36、 EFACBEBC BEBC ACa b梅文鼎梅文鼎(1633-1721)u韋達(dá)韋達(dá) (1571) 的證明的證明案例9 正弦定理22sin2sinaBDBODA22sin2sinbAEAOEB22sin2sincAFAOFC:sin:sin:sinaAbBcC，故得 定理定理拓展拓展F. Viete（1540-1603) 案例9 正弦定理 歷史概說歷史概說雷格蒙塔努斯梅文鼎納綏爾丁韋達(dá)案例9 正弦定理 一個(gè)定理一個(gè)定理 ：正弦定理 兩種方法兩種方法；納綏爾丁同徑法和韋達(dá)的外接圓方法； 三類應(yīng)用三類應(yīng)用： 角邊角、角角邊、邊邊角（一般含兩個(gè)解）。 四則啟示四則啟示：（1）數(shù)學(xué)源于實(shí)際問題；（2）

37、數(shù)學(xué)發(fā)展逐漸完善；（3）數(shù)學(xué)方法豐富靈動(dòng)；（4）多元文化精彩紛呈。 課堂小結(jié)課堂小結(jié)數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與案例案例10 全等三角形的應(yīng)用 Thales (624 B.C. ? - 547? B.C.)泰勒斯泰勒斯出生于米利都，希臘七賢之一。青年時(shí)代曾游歷埃及，利用竿影測(cè)量過金字塔的高度，利用全等三角形計(jì)算過輪船到海岸的距離。創(chuàng)立愛奧尼亞學(xué)派愛奧尼亞學(xué)派。最早將最早將幾何學(xué)引入希臘，并將其變幾何學(xué)引入希臘，并將其變?yōu)檠堇[科學(xué)。被譽(yù)為為演繹科學(xué)。被譽(yù)為“幾何幾何學(xué)鼻祖學(xué)鼻祖”。u幾何鼻祖泰勒斯幾何鼻祖泰勒斯案例10 全等三角形的應(yīng)用 對(duì)頂角相等； 圓為直徑

38、所平分； 三角形內(nèi)角和定理；三角形內(nèi)角和定理； 等腰三角形底角相等； 角邊角定理角邊角定理； 半圓上的圓周角為直角； 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例u泰勒斯發(fā)現(xiàn)的幾何命題泰勒斯發(fā)現(xiàn)的幾何命題案例10 全等三角形的應(yīng)用普羅克拉斯（普羅克拉斯（Proclus, 5世紀(jì)）世紀(jì)）說：說：“歐得姆斯在其歐得姆斯在其幾何史幾何史中將該定理歸于泰勒斯。因?yàn)橹袑⒃摱ɡ須w于泰勒斯。因?yàn)樗f，他說，泰勒斯證明了如何求出泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離海上輪船到海岸的距離，其方，其方法中必須用到該定理。法中必須用到該定理?！?Thalesu泰勒斯與角邊角定理泰勒斯與角邊角定理案例10 全等三角

39、形的應(yīng)用 直竿直竿 EF 垂直于地面，垂直于地面，在其上有一固定釘子在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞另一橫桿可以繞 A 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以固定在任一位置但可以固定在任一位置上。將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到指上。將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動(dòng)向船的位置，然后轉(zhuǎn)動(dòng)EF（保持與底面垂直），（保持與底面垂直），將細(xì)竿對(duì)準(zhǔn)岸上的某一將細(xì)竿對(duì)準(zhǔn)岸上的某一點(diǎn)點(diǎn)C。則根據(jù)。則根據(jù)ASA定理，定理，DC = DB。 u泰勒斯的測(cè)量方法泰勒斯的測(cè)量方法案例10 全等三角形的應(yīng)用 16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家貝里（世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家貝里（S. Belli, ?1575）出版于）出版于1565年的測(cè)年的測(cè)量著作中的插圖，圖中所示的

40、方法與泰勒斯所用方法相同。量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師河流所阻，一名隨軍工程師用運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測(cè)用運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測(cè)得河流的寬度，因而受到拿得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎(jiǎng)。因此，從古希破侖的嘉獎(jiǎng)。因此，從古希臘開始，角邊角定理在測(cè)量臘開始，角邊角定理在測(cè)量中一直扮演者重要角色。中一直扮演者重要角色。案例10 全等三角形的應(yīng)用u 戰(zhàn)爭(zhēng)中的泰勒斯方法戰(zhàn)爭(zhēng)中的泰勒斯方法案例10 全等三角形的應(yīng)用在抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)中，一名志在抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)中，一名志愿軍戰(zhàn)士利用愿軍戰(zhàn)士利用泰勒斯的方法泰勒斯的方法測(cè)

41、量敵營的距離。測(cè)量敵營的距離。u 戰(zhàn)爭(zhēng)中的泰勒斯方法戰(zhàn)爭(zhēng)中的泰勒斯方法案例10 全等三角形的應(yīng)用 鞏固兩個(gè)三角形全等的基本判定方法；鞏固兩個(gè)三角形全等的基本判定方法； 經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、合作能力和表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、合作能力和表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心；生學(xué)習(xí)的積極性和自信心； 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系。切聯(lián)系。 感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。u 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)案例10 全等三角形的應(yīng)用 鞏固兩個(gè)三角形全

42、等的基本判定方法；鞏固兩個(gè)三角形全等的基本判定方法； 經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)經(jīng)歷構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、合作能力和表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、合作能力和表達(dá)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心；生學(xué)習(xí)的積極性和自信心； 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的密切聯(lián)系。切聯(lián)系。 感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。感悟數(shù)學(xué)背后的人文精神。u 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)案例10 全等三角形的應(yīng)用探究之樂探究之樂 體驗(yàn)成功的快樂、積累數(shù)學(xué)體驗(yàn)成功的快樂、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)文化之魅文化之魅 角邊角定理的悠久歷史；角邊角定理的悠久歷史； 數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系德育之效德育之效 人文精神與意志品質(zhì)；人文精神與意志品質(zhì)； 傾聽、合作、交流、包容傾聽、合作、交流、包容學(xué)學(xué) 生生教教 師師內(nèi)容與課程知識(shí)（內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC） 全等三角形的歷史全等三角形的歷史內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT） 借鑒全等三角形的歷史來設(shè)借鑒全等三角形的歷史來設(shè)計(jì)教學(xué)計(jì)教學(xué)水平內(nèi)容知識(shí)（水平內(nèi)容知識(shí)（HCK）