數(shù)學(xué)分析曲面積分18-1ppt課件

1、第十八章第十八章 曲面積分曲面積分2019052418.1 18.1 第一型曲面積分第一型曲面積分顯顯式式方方程程 . 1一、曲面的表示一、曲面的表示.),( ),(Dyxyxzz ; :易易計計算算曲曲面面上上的的點點比比較較容容優(yōu)優(yōu)點點. : 不能表達封閉的曲面不能表達封閉的曲面缺點缺點隱隱式式方方程程 . 2.),( , 0),(VzyxzyxF .,上上連連續(xù)續(xù)在在通通常常會會假假設(shè)設(shè)VFFFFzyx),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 的的法法向向量量為為曲曲面面在在點點),(000zyx特殊地：特殊地：),(yxzz ),(),( yxzzzyxF

2、令令的法向量為的法向量為曲面在點曲面在點),(,(0000yxzyx) 1 , ,(yxzz ) 1 , ,( yxzz上法向量上法向量.2 軸軸正正向向夾夾角角不不超超過過與與z下法向量下法向量參參數(shù)數(shù)方方程程 . 3則則稱稱平平面面上上的的一一個個區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè) , uv ,為曲面的向量方程為曲面的向量方程 ,),( ),( : vuvurr.),( 3Rvur 其中其中),( zyxr 如如記記)1(又可表示成又可表示成則則 )1( .),( ),(),(),( vuvuzzvuyyvuxx)2(.稱為曲面的參數(shù)方程稱為曲面的參數(shù)方程 ,)( : rr的的映映射射的的參參數(shù)數(shù)方方程程看

3、看成成是是如如下下可可以以把把曲曲面面 , 0vv 令令得出得出并將之代入?yún)?shù)方程并將之代入?yún)?shù)方程 (2),),(),(),(000vuzzvuyyvuxx ,上的一段曲線上的一段曲線對應(yīng)著對應(yīng)著 . 曲線曲線上的上的稱為稱為u , 0uu 令令),(),(),(000vuzzvuyyvuxx 曲曲線線上上的的得得v ,類類似似的的. , 曲曲線線均均可可覆覆蓋蓋住住曲曲面面曲曲線線 vu偏導(dǎo)向量偏導(dǎo)向量),(),(),(),(0000vuuzvuuyvuuxvuur 的的切切向向量量，曲曲線線的的是是曲曲面面0 vvu ),(),(),(),(0000vuvzvuvyvuvxvuvr .

4、0的切向量的切向量曲線曲線的的是曲面是曲面uuv ,類類似似的的特別的，特別的，),( ),(0000vuvrvuur 上上分別是曲面分別是曲面 . ),(000的切向量的切向量曲線曲線曲線和曲線和處的處的對應(yīng)的點對應(yīng)的點vuPvu中的一段曲線，中的一段曲線，是是設(shè)設(shè) )(),( tvvtuu 并并設(shè)設(shè) , )(),( 000000tvvtuu , 作作用用下下這這段段曲曲線線在在 r,上的一條曲線上的一條曲線對應(yīng)著對應(yīng)著 .0P且曲線過點且曲線過點它的向它的向量方程是量方程是),(),( tvturr 則則),( )( tvvrtuurdtdr , 0代代入入將將tt ),( ),( )(

5、),(0000000tvvuvrtuvuurdtdrtt ,0的任一條曲線的任一條曲線上過點上過點P :表明表明,0的切向量的切向量它在它在P),( ),(0000vuvrvuur 都都是是.的的線線性性組組合合在在同同一一的的任任一一條條曲曲線線的的切切線線都都上上過過點點0P .平面上平面上.0的切平面的切平面在點在點P ),( ),(0000vuvrvuur 而向量而向量.0的法向量的法向量在點在點是是P ),(00 ),(),( ,),(),( ,),(),( vuvuyxvuxzvuzy :也可寫成也可寫成 ),(),( ,),(),( ,),(),( vuyxvuxzvuzy對應(yīng)的

6、點處的法向量為對應(yīng)的點處的法向量為在一般的在一般的),(vu 計計算算2222)(vuvuvurrrrrr . , , :22222222vvvvvuvuvuvuuuuuzyxrGzzyyxxrrFzyxrE 記記. ,的的第第一一基基本本量量稱稱為為曲曲面面 GFE2FEG 的的單單位位法法向向量量從從而而得得到到 ),(),( ,),(),( ,),(),( 12vuyxvuxzvuzyFEGn,vuvurrrr ,),(00 vu設(shè)設(shè)0),(00 vuvurr若若,為為則稱則稱 ),( 00vur,上的正則點上的正則點曲面曲面 .否否則則稱稱為為奇奇點點.,稱稱之之為為正正則則曲曲面面上

7、上的的點點全全部部為為正正則則點點時時曲曲面面 ,面和法向量面和法向量正則曲面處處存在切平正則曲面處處存在切平.數(shù)的選擇無關(guān)數(shù)的選擇無關(guān)而且法向量的方向和參而且法向量的方向和參, 有有參參數(shù)數(shù)向向量量方方程程正正則則曲曲面面設(shè)設(shè) ,),( ),( vuvurr: 的面積為的面積為則曲面則曲面 dudvvuyxvuxzvuzy2/1222),(),(),(),( ),(),( dudvFEG2 dudvrrvu)(特殊地：特殊地：),(yxzz .),( ,Dyx ),(,yxzzyyxx .),( ,Dyx , 1),(),( ,),(),( ,),(),( yxyxzyxxzzyxzyyx.

8、1)(22 Dyxdxdyzz oxyz一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)一、第一型曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形物質(zhì)具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形物質(zhì)具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkk),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者). 二、第一型曲面積分二、第一型曲面積分定義定義 . 1),( iii 和和), 2 , 1(ni ,的取法無關(guān)的取法無關(guān)則則稱稱此此上的上的在在極限為極限為 ),( zyxf.第一型曲面積分第一

9、型曲面積分 dSzyxf),(iiiniiTSf ),(lim10| ,),( dSzyxf記記為為,),(lim 10|存存在在若若極極限限iiiniiTSf T且與分割且與分割則第一型曲面積分存在. 對積分域的可加性.,21SS則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSSzyxgkzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 S上連續(xù), 第一型曲面積分與第一型曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 假設(shè) S 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yx

10、Dyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(yxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計算法二、對面積的曲面積分的計算法 則曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(),(yxzkSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyx

11、fyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達式 , 也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分. 計計算算 . 2它它的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為是是正正則則曲曲面面設(shè)設(shè) , ,),( ),( vuvurr, ),(上連續(xù)上連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) zyxf則有則有 dudvrrrfdSzyxfvu|),(特殊地：特殊地：),(yxzz .),( ,Dyx .,

12、 ,上上連連續(xù)續(xù)在在平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域Dzzyx是有面積的是有面積的D則則;1),(,(22dxdyzzyxzyxfDyx dSzyxf),(;1),(,(22dxdzyyzzxyxfDzx .1),),(22dydzxxzyzyxfDzy 類似的類似的),(zxyy ),(zyxx :基基本本步步驟驟計計算算第第一一型型曲曲面面積積分分的的計算面元計算面元 )2(計算二重積分計算二重積分 )3(),( , )1(yxzzr 或者顯表示或者顯表示的參數(shù)表示的參數(shù)表示求出求出 ; D或或定出它們的定義域定出它們的定義域 dudvrrdSvu| 或者或者;122dxdyzzdSyx dudvrr

13、rfvu|或或.1),(,(22dxdyzzyxzyxfDyx 解解1.例例dxdyzzdSyx221 ,2dxdy dSzyx)(故故 Ddxdyyyx)5(2.2125 2.例例解解,8 ,1 利用對稱性利用對稱性dxdyzzdSyx221 dxdy3 dxdyyxayxD 3)(8222原原積積分分.324a yxD例例3. 計算曲面積分計算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa2

14、22dd22022dhararr2aoxzyha考慮考慮:假設(shè) 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa那么hhoxzy例例4. 計算計算,dSzyx其中 是由平面坐標面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)設(shè)上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 xozy例例5. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計算.d),(SzyxfI解解: 錐面錐面22yx

15、z的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當22yxz當與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域為1yxD那么 1d)(22SyxI1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD考慮考慮: 若例若例3 中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當22yxz當計算結(jié)果如何 ? zzd例例6. 計算計算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后

16、若將曲面分為前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素取曲面面積元素兩片, 則計算較繁. oyxzL例例7. 求橢圓柱面求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz那么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式簡化計算的技巧. 設(shè))