不等式證明之放縮法ppt課件

1、 不等式證明不等式證明 - -放縮法放縮法一一. .復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1.1.直接證明的兩種基本證法：直接證明的兩種基本證法： 綜合法和分析法綜合法和分析法2.2.這兩種基本證法的推證過程和特點：這兩種基本證法的推證過程和特點：綜綜合合法法: :分分已已知知條條件件結(jié)結(jié)論論結(jié)結(jié)析析法法: :論論已已知知條條件件由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麍?zhí)果索因執(zhí)果索因3 3、在實際解題時，兩種方法如何運(yùn)用？、在實際解題時，兩種方法如何運(yùn)用？（1 1）通常用分析法提供思路，再由綜合法寫過程）通常用分析法提供思路，再由綜合法寫過程（2 2）“兩邊湊兩邊湊”綜合分析法綜合分析法 反證法：反證法： 假設(shè)假設(shè)命題命題結(jié)論結(jié)論的的反面成立反

2、面成立，經(jīng)過正確的，經(jīng)過正確的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此說明，因此說明假設(shè)錯誤假設(shè)錯誤, ,從而從而間接間接證明證明原命題成立原命題成立, ,這樣的的證明方法這樣的的證明方法叫叫反證法反證法。反證法的思維方法：反證法的思維方法：正難則反正難則反反證法的證明過程：反證法的證明過程： 否定結(jié)論否定結(jié)論推出矛盾推出矛盾肯定結(jié)論，肯定結(jié)論， 即分三個步驟：即分三個步驟：反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬存真存真反設(shè)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，假設(shè)命題的結(jié)論不成立， 即假設(shè)原結(jié)論的反面為真即假設(shè)原結(jié)論的反面為真.歸謬歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，從反設(shè)和已知條件出發(fā)， 經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，經(jīng)過一系列正確的邏輯推

3、理， 得出矛盾結(jié)果得出矛盾結(jié)果.存真存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真， 從而肯定原結(jié)論成立從而肯定原結(jié)論成立.放縮法放縮法放縮法放縮法1、一般從不等式的一般從不等式的結(jié)構(gòu)形式結(jié)構(gòu)形式可觀可觀察出放縮的可能性。察出放縮的可能性。2、放縮時應(yīng)放縮時應(yīng)放縮適度放縮適度3、放縮的一般方法：放縮的一般方法：(2)(2)放縮法的注意事項放縮法的注意事項舍去或加上一些項，如舍去或加上一些項，如: :將分子或分母放大將分子或分母放大( (縮小縮小) )，如，如: : 22131(a)(a) ;242211,kk k12111212,(kN*,k1)kk k1kkk1kkk1特別注意：放大

4、或縮小時注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)特別注意：放大或縮小時注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小。過小。幾個常用的一些放縮結(jié)論幾個常用的一些放縮結(jié)論：20012312111111212122121,(.)()()aam bbmab mbbm aamnnnnnnn nnn nnnnnnnnnnnn 21, 3 caddbdccacbbdbaaRdcba求證求證已知已知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 證明證明baa bab dcc dcd 21 . caddabccac

5、bbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四個不等式相加把以上四個不等式相加2.111abab例 已知a,b是實數(shù)，求證:a+bab 法法： bbaababa111證明：在時，顯然成立.0ba當(dāng)時，左邊 0ba111ba1|11111abbaabababab.11bbaa1abab.11bbaa法：法：0,a bab 1 111111111|abababababab |11baabab法：函數(shù)的方法法：函數(shù)的方法*2.)3.:2(n n n 求證：111（ n+1-1）1+3n例2*1222(1),21kkkNkkkk1111232( 10)(

6、21)( 32)(1)2.nnnn cbacacababa 2222222222222233()()2424()()22aabbaaccaabacaaabcabc例例4:巳知：巳知：a、b、c，求證：，求證：R略解略解【例】設(shè)【例】設(shè) 求證：求證：【證明】【證明】na1 22 33 4n n1 .(nN )2nn n1n1a.22 n2n2n1nn n12352n1123na21 352n1,2n n1n1a.22 2212n1n n1nn, n(n1)n22 ()練習(xí)書練習(xí)書2929頁頁2 2題題補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題:mccmbbmaamcbaABC :,. 1求求證證為為正正數(shù)數(shù)且且的的三三邊

7、邊長長是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在易易知知設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證明明)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求證證不不全全為為零零已已知知實實數(shù)數(shù)22 )2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx： 證明證明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所以三式相加得所以三式

8、相加得式取不到等號式取不到等號故上述三式中至少有一故上述三式中至少有一不全為零不全為零由于由于【練習(xí)】【練習(xí)】已知已知a a0,b0,b0,c0,c0,a+b0,a+bc.c.求證：求證：【分析】【分析】本題若通分去分母，運(yùn)算量較大，考本題若通分去分母，運(yùn)算量較大，考慮到慮到a a0,b0,b0 0可先試試分式的放縮可先試試分式的放縮. .abc.1a1b1c【證明】【證明】aa0,b0,b0,0,只需證：只需證：而函數(shù)而函數(shù) 在在(0,+)(0,+)上遞增，上遞增，且且a+ba+bc,f(a+b)c,f(a+b)f(c).f(c).即即原不等式成立原不等式成立. .aabb,1a1ab 1b1ababab,1a1b1ababc.1ab1c x1f x11x1x abc,1ab1c練習(xí)練習(xí)：設(shè)：設(shè)x x0,y0,y0,0,若若 則則A A、B B的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_._.【解析】【解析】xx0,y0,y0, 0, 答案：答案：A AB BxyxyA,B,xy2x2y2xyxyxyAB.xy2xy2xy2x2y2練習(xí)：練習(xí)：設(shè)設(shè) 則則(