數(shù)列與極限1-2ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1.1.割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2.2.截丈問題：截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”11;2X 第第一一天天截截下下的的杖杖長長為為;2

2、12122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1) 稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)列其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依

3、次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近意味著什么無限接近意味著什么?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻劃它刻劃它. 1nx

4、nnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,100011 nx有有定義定義1 設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ，假如，假如 時，時， 無限接近于無限接近于某個確定的常數(shù)某個確定的常數(shù) ，那么就稱數(shù)列，那么就稱數(shù)列 收斂，稱收斂，稱是數(shù)列是數(shù)列 的極限。或者稱數(shù)列的極限。或者稱數(shù)列 收斂于收斂于 ，記為，記為 nx nnxa nxa nx nxa naxaxnnn或或者者lim 如果

5、這樣的常數(shù)如果這樣的常數(shù) 不存在，就稱數(shù)列不存在，就稱數(shù)列 沒有極沒有極限，或者稱數(shù)列限，或者稱數(shù)列 發(fā)散，習慣上也常常表達為發(fā)散，習慣上也常常表達為不存在不存在a nx nxnnx lim例例1 給出數(shù)列的一般項如下，觀察它們的變化趨勢，給出數(shù)列的一般項如下，觀察它們的變化趨勢，判斷哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散；如果收斂，判斷哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散；如果收斂，指出其極限：指出其極限： ;111nnxnn ;212222nnnnxn ;11)3(1 nnx.)4(2nxn 解解 （1因為因為 ，而當而當 時，時， 無限接近于無限接近于0，從而，從而 無無限接近于限接近于1，所以，所以 nnn

6、xnnn11111 n nn 11 nx 11lim1 nnnn（2因為 nnnnnnnnnnxn2121121212122222 當 時， 無限接近于 。所以 nn2121;2121lim222 nnnnn（3因為數(shù)列是 2，0，2，0，, , 111 n在 時， 始終輪流地取得值2與0，并不接近于任何一個確定的常數(shù)，所以 nnx ;11lim1不存在不存在 nn（4） 因為當 時，這個數(shù)列的一般項 的值無限地增大，也不接近于任何一個確定的常數(shù)，所以 nnx.lim2不存在不存在nn 1.唯一性唯一性定理定理1 1 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

7、二、收斂數(shù)列的性質(zhì)2.有界性有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,1nnxn 數(shù)數(shù)列列2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對對應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點點nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界;無界無界.定理定理2 2 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .例例2.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx

8、證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.1,1,nx 而而無無休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取兩兩個個數(shù)數(shù)不可能同時位于長度為不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx3.收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性定理定理3收斂數(shù)列的保號性）收斂數(shù)列的保號性） 假如假如(或或 N，都有，都有0,lim aaxnn且且a0 nx 0 nx或或這個性質(zhì)的一個直接推論是：如果從某一項起數(shù)列這個性質(zhì)的一個直接推論是：如果從某一項起數(shù)列 的各項都非負或都非正），且的各項都非負或都非正），且 ，那，那么么