三輪復習專題10圓錐曲線及其應用

1、數(shù)學專題十圓錐曲線及其應用【考點精要】2 2 考點一 橢圓、雙曲線、拋物線的離心率。女口：設雙曲線篤 爲1 （a>a b0,b > 0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于（）A. 、3B. 2C. 5D. .62考點二.圓錐曲線的第一或第二定義。女口：已知橢圓c： y i的右焦點2uur uuu為F ,右準線為I，點A I，線段AF交C于點B，若FA 3FB ,則uuuru|AF|=（）A. JB. 2C. 3D. 3考點三.圓錐曲線的漸近線的方程和離心率等概念之間的關系。直線與圓錐曲線的位置關系，考查學生對基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：設2 2雙

2、曲線篤 每1（a 0,b 0）的虛軸長為2,焦距為2.3，則雙曲線的漸近線方a br程為（）A. y 2x B. y 2x C. y - x D.21y x2考點四.圓錐曲線的的定義、線段長、焦半徑。將圓錐曲線的相關知識與向 量等知識相結合，考查圓錐曲線的的定義、線段長、焦半徑等知識。考點五.圓錐曲線中有關角、線段、面積。以圓錐曲線為依托，借助點與線 的關系，考查圓錐曲線中有關角、線段、面積等知識，考查綜合運算能力。如： 設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M（、3，0）的直線與拋物線相交于 A, B兩點,S與拋物線的準線相交于C, I BF =2,貝U BCF與 ACF的面積之比亠吐=（）S

3、ACFA.B.C. 4D.考點六.圓錐曲線中有關的距離最短、距離之和最小。利用圓錐曲線與直線的特殊關系，研究有關的距離最短、距離之和最小等，考查學生分析問題、解決 問題以及數(shù)形結合的能力。如：已知直線 l1：4x 3y 6 0和J：x 1，拋物線 y2 4x上一動點P到li和12的距離之和的最小值是（）1137A.2B.3C.D.516考點七待定系數(shù)法求曲線方程。能用待定系數(shù)法求曲線方程，處理直線與 圓錐曲線的相關問題以及有關對稱問題。 此類問題多屬于中檔或高檔題。女口：過 點（1，0）的直線I與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為手的橢圓C相交于 A、B兩點，直線y=】x過線段AB的中點，同時

4、橢圓C上存在一點與右焦點關于2直線I對稱，試求直線I與橢圓C的方程考點八.求圓錐曲線方程的方法。能運用多種方法（如：直接法、定義法、 幾何法、代入法、參數(shù)法、交規(guī)法等）求圓錐曲線的方程，求動點軌跡時應注意 它的完備性和純粹性。巧點妙撥1. 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討 論和數(shù)形結合的思想方法2. 當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求， 將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化.同時還應

5、充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍3. 求圓錐曲線中的最值問題解決方法一般有兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來做非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用均值不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值。【典題對應】例1.(2009 山東)設m R,在平面直角坐標系中,已知向量a (mx, y 1),向量b (x, y 1), a b,動點M(x, y)的軌跡為E.(1) 求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀；1(2) 已知m 22 4k 1 4k,證明：存在圓心在原點的圓，使得

6、該圓的任意一條切線與軌4跡E恒有兩個交點A,B,且OA OB(O為坐標原點),并求出該圓的方程；1(3) 已知m ,設直線I與圓C:x2 y2 R2(1<R<2)相切于A,且I與軌跡E4只有一個公共點B,當R為何值時,|A啟|取得最大值？并求最大值.命題意圖：本題主要考查直線與圓的方程和位置關系，以及直線與橢圓的位 置關系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題，有幾個交點的問題。r r rrr r o o解析：(1)因為 a b, a (mx, y 1), b (x, y 1),所以 a b mx y 10,的是圓；當m 線.(1(2)當 mkx t丄時，軌跡E的方程為-4'

7、;1,設圓心在原點的圓的一條切線為解方程y2 x4kxx2 4(kx t)22 2 24k )x 8ktx 4t 40,即mx2 y2 1.當m=0時，方程表示兩直線，方程為y 1;當m 1時，方程表示 0且m 1時，方程表示的是橢圓；當 m 0時，方程表示的是雙曲要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,則使 =64k2t216(12 24k )(t21) 16(4 kt21)0,x1x2即 4 k2 t210,即t2 4k21,8 kt1 4k2 4t241 4k2t)(kx2t)k2x1x2kt(NX2) t2k2 (4t24) 8k2t21 4k21 4k2t24k24k2uuuOAuuuO

8、BX1X2y1 y24t2 41 4k20,t2 4k2 5t2 4k24恒成立.所以又因為直線kx t為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為r t ,P1 k2t2rnk24-(1 k )5 1 k4,所求的圓為x2 y25存在時，切線為y 1 交于點(一叮5, 5)或(丁'5, 丁'5)5555也滿足OA 0B.綜上，存在圓心在原點的圓使得該圓的任意一條切線與橢圓 E恒有兩個交點uuuA,B,且 OAuuu OB.(3)當 m1-時,軌跡42E的方程為-41,設直線I的方程為y kx t,因為直線I與圓C:R2 (1<R<2)相切于Ai,由(2)知 Rt1

9、k2t22 2R (1 k )因為I與軌跡E只有一個公共點Bi,由(2)知y2 x4kxt曠曰 2得x14(kx t)2即(1 4k2)x2則厶=64k2t2t2由得k2x1x2x1x28ktx 4t2 40 有唯一解.2 2 2 216(1 4k )(t1)16(4k t3R24 R2R2 14 R2此時A,B重合為8kt1 4k 中 xX2,所以,x24t 44k2Xi1)2 24k t 1B(xi,y i)點,4t2 416R2 162 21 4k 3RB1(x 1 ,y 1)點在橢圓上，所以y121 24X14 j ,所以3R2224|OB11 人 y 52 ,R在直角三角形0AB1中

10、，|AB1|2 |0即2|0A|24R2為R2 4當且僅當R 匹(1,2)時取等號，所以IABR當R .2 (1,2)時|A1B1|取得最大值，最大值為1.R25 Gr2 R）因4 1,即b,則有 xm yn 0。名師坐堂：對于兩個向量垂直，a (x, y),b (m, n),若a求圓錐曲線的軌跡方程時一定要注意檢驗，所求方程中含有參數(shù)是要注意討論。 研究直線時應注意斜率不存在的情況。2 2例 2. （ 2011 山東 22）已知動直線I與橢圓C : L 1交于32P X1,y1 ,Q X2, y2兩不同點，且 OPQ的面積S opq 6，其中O為坐標原點.2(i) 證明：xj X22和y12

11、 y均為定值；(n)設線段PQ的中點為M，求|OM| |PQ的最大值；(E)橢圓C上是否存在三點D,E,G，使得Sode Sodg Soeg2若存在，判斷 DEG的形狀；若不存在，請說明理由.命題意圖：本題主要考查直線方程、橢圓的標準方程、面積公式、一元二次 方程的根與系數(shù)的關系、求最值的方法以及分類討論的思想，考查學生解析幾何 的基本思想方法，考查邏輯推理、運算能力.解析：(I )當直線I的斜率不存在時，P,Q兩點關于x軸對稱，則為X2,%y2，由P “1在橢圓上，22則 x1711 ,而 SoPQ32x1y1乎，則X1恵1y,y11于是x/2X2c23，y12y22 .2當直線I的斜率存在

12、，設直線I為y kx m ,代入32x2 3(kx m)26 ,即(2 3k2)x2 6km 3m20 ,即 3k22 m2X1X26km2 3k2，XiX23m262 3k2PQJik2X X2Ji k2/ x2)2 4x2 Ji k2dmS POQiPQi26j3k22 m2冃-d22m2 3k22m2，滿足02則 3k222 6.3k222 m2 3k22Xi2X2(xi x2)2 2xix26 km )22)3k3(m22)3k23 ,2Yi2Y2綜上可知f (3 xi2)彳(32 2 2XiX23 , YiX22)4討22X22y2（U）當直線I的斜率不存在時,(I)知OM Xi P

13、Q當直線I的斜率存在時,由（I）%x223k2m ,YiY22k（寧）m3k22momXiXo 2Y2)29 k24m2i(3PQ(122、24(3k2 mk )2)OMPQ(3當且僅當32 2(2 3k )2(2 m22m1)i2(2 )m大值為5。m?)(2m257,2時等號成立，綜上可知OM PQ的最3 ,yD, yE,yG只能從1中選取,一個過原點，這與S ODES ODGS OEG2yD2y2,2 2yEyc22, yG2yD2.解得2Xd2Xe23Xg22,yD2yEyG21，由（I）知 Xd2 Xe2 3,Xe2 Xg2 3,Xg2因此Xd，Xe，Xg只能從y中選取,因此D,E,

14、G只能從（6, 1）中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線必有故橢圓上不存在三點D,E,G，使得SoDE S ODG SoEG2名師坐堂：求解定值問題可先考慮能否用特殊點或特殊值求出定值，再推廣到一般結論。在求解圓錐曲線的最值問題時，可考慮用重要不等式、二次函數(shù)、 三角函數(shù)以及函數(shù)的單調性?！臼谥詽O】方法點撥：求圓錐曲線中的最值問題應注意以下幾點：（1） 圓錐曲線本身存在最值問題，如橢圓上兩點最大距離為2a （長 軸長）；雙曲線上兩點間最小距離為2a （實軸長）：橢圓上的焦半徑的取 值范圍為a c,a c，a c與a c分別表示橢圓焦點到橢圓上的最短與最 長距離；拋物線上頂點與拋物線的準線距離

15、最近。（2）圓錐曲線上的點到定點的距離最值， 常與兩點間的距離公式轉化為 區(qū)間上的二次函數(shù)最值解決，有時也用圓錐曲線中的參數(shù)方程，化為三角函數(shù)的最值問題。（3）圓錐曲線上的點到定直線的距離最值，常轉化為平行切線法。（4）點在圓錐曲線上，求相關式子的取值范圍，常用參數(shù)方程代入轉化 為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平面幾何知識或引入一個參數(shù)化為函數(shù)進行 處理。（5）由直線和圓錐曲線的位置關系，求直線中或圓錐曲線中某一個參數(shù) 滿足的范圍，解決方法長把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一個變元作為自變量求解。【直擊高考】2 2 2 21.已知雙曲線 工1的準線經(jīng)過橢圓 告i（b>0）的焦點，則b=（）224 b2

16、A.3B. 5C.、3D.2. 拋物線y=ax2與直線y=kx+b(kM0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分 別為Xi, X2,直線與x軸交點的橫坐標是X3,則恒有()A.X3=X1+X2B.X1X2=X1X3+X2X3C.Xl+X2+X3=0D. X1X2+X2X3+X3X1 =03. 中心在原點，焦點在坐標為(0，±5 2)的橢圓被直線3X y 2=0截得的弦的中點的橫坐標為1，則橢圓方程為。24. 直線I的方程為y=X+3,在I上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2 4y2=3的焦點作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為 .2 25. 已知F1、F2是橢圓C:篤 與 1

17、 ( a > b >0)的兩個焦點，P為橢圓Ca b上一點，且PF1 PF2 .若 PF1F2的面積為9,則b=6. 已知拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線I與該拋物線交于不同的兩點A、B,且| AE| < 2p.(1)求a的取值范圍.若線段AB的垂直平分線交X軸于點叫求厶NAB面積的最大值.7.已知雙曲線2XC 二ab21(a0,b 0)的離心率為XD/、3，右準線方程為(I)求雙曲線C的方程;(n)設直線I是圓o：x22y 2 上動點 P(x°, yo)(x°yo0)處的切線，I與雙曲線C交于不同的兩點A,B，證明

18、AOB的大小為定值.高三數(shù)學三輪復習(理科)參考答案數(shù)學專題十圓錐曲線及其應用【直擊高考】(4 b2,0)所以有4b21 .即 b2=3 故 b= 3 .故 C.2解析：解方程組2y ax,得 ax2 kx b=0,可知kbX1+x2= ,X1x2= ,x3=y kxbaab,代入驗證即可。答案：B1.解析：可得雙曲線的準線為x2 ac1 ,又因為橢圓焦點為k3. 解析：設所求圓的圓心為P(a, b),半徑為r,則點P到x軸、y軸的距離分別為I b|、| a|圓P截y軸所得弦長為2,二r2=a2+1又由題設知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為 90°,故弦長|AB|=V2r,故r2=2b

19、2,從而有 2b2 a2=1又點P(a, b)到直線x 2y=0的距離d=|a 2b|,(5因此，5d2=| a 2b| 2=a2+4b24ab> a2+4b2 2(a2+b2)=2 b2 a2=1,當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d2=1,從而d取最小值，為此有a b2b2 a22 d 22 小/ r =2b , r =2于是所求圓的方程為：(x 1) 2+(y 1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=24. 解析：所求橢圓的焦點為 % 1,0), F2(1,0),2 a=|PF|+|PF。欲使2a最 小，只需在直線I上找一點P.使|PF|+| PF2|最小，利用對稱性可解.2 2答案：=154| PF1 | PF2 | 2a22225. 解析：依題意，有 |PF1|?|PF2| 18 ，可得 4c + 36= 4a，即卩 a c2 2 2| PF1 | PF2 | 4c=9,故有 b= 3。6. 解析：(1)設直線I的方程為：y=x a,代入拋物線方程得(x a) 2=2px,即2 2x 2( a+p) x+a =0|AB|=、2 . 4(a p)2 4a2 < 2p. 4ap+2p2< p2,即 4apW p2又 p> 0, a a