定積分的幾何應(yīng)用舉例ppt課件

1、第八節(jié)第八節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例定積分的幾何應(yīng)用舉例一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積二、體積二、體積三、平面曲線的弧長三、平面曲線的弧長一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1、 直角坐標系情形直角坐標系情形設(shè)曲線設(shè)曲線 y=f (x)(x y=f (x)(x 0) 0) 與與直線直線 x = a , x = b (a b) x = a , x = b (a b) 及及 x x 軸所軸所 圍曲邊梯形的面圍曲邊梯形的面積為積為 A , A , 那么那么xyo)(xfy abxxxd ,d)(dxxfA .d)( baxxfA如右下圖所示圖形的面積：如右下圖所示圖形的面積：xyo)(1xfy

2、)(2xfy abxxxd ,d)()(d12xxfxfA .d)()(12 baxxfxfA如圖所示圖形面積為如圖所示圖形面積為 xxfxfAbad| )()(|21 yob xa)(2xfy )(1xfy xxxd解解xxy 2oy2xy 例例1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線 y2 = x 和和 y =x2 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 22xyxy由由得兩曲線交點得兩曲線交點, )1 , 1( , )0 , 0(xxxd) 1 , 1 (1面積元素面積元素,d)(d2xxxA xxxAd)(210 10333223 xx.31 問題：問題：積分變量只能選積分變量只能選 x

3、嗎嗎 ？xyo)(yx cd曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積yyyd dcyyAd)( yyAd)(d )(1yx )(2yx xyocdyyyd 圖形的面積圖形的面積yyyAd)()(d12 dcyyyAd)()(12 解解例例1 計算由兩條拋物線計算由兩條拋物線 y2 = x 和和 y =x2 所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. 22xyxy由由得兩曲線交點得兩曲線交點, )1 , 1( , )0 , 0(x2yx oyyx )1,1(面積元素面積元素,d)(d2yyyA xyyAd)(210 10333223 yy.31 解題步驟：解題步驟：1. 根據(jù)題意畫出平面圖形根據(jù)題意畫出平面圖形

4、 .4. 寫出微元寫出微元(面積元素面積元素) dA .2. 求出邊界曲線的交點求出邊界曲線的交點.5. 求出求出.d baAA3. 確定一個積分變量及其變化區(qū)間確定一個積分變量及其變化區(qū)間 a , b .例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解得兩曲線的交點得兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy由由xy22 4 xy例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 解解得兩曲線的交點得兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy由由xy

5、22 4 xyyyyd ,d)24(d2yyyA 422d)24(yyyA423261421 yyy.18 例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積. 2xy xxy63 21AAA 1A2A解解得交點為得交點為. )9 , 3( , )4 , 2( , )0 , 0( 236xyxxy由由,0, 2,d)6(d231 xxxxxA,3 , 0,d)6(d322 xxxxxAxxxxd)6(3230 .12253 闡明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式闡明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式xxxxAd)6(2023 例例 4 4 求橢圓求橢圓1

6、2222 byax的面積的面積.abxoyxxxd解解,ddxyA 由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于 4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積.d40 axyA利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程, )20(sincos ttbytax應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法得 024 Atbsinttad)sin( 202dsin4 ttbaba4 21 2 ba 當當 a = b 時得圓面積公式時得圓面積公式用參數(shù)方程表示的曲邊梯形的面積用參數(shù)方程表示的曲邊梯形的面積若曲邊梯形的曲邊若曲邊梯形的曲邊 y=f (x) (a x b ) 可化為參數(shù)方程可化為參數(shù)方程 )()(tytx 則曲邊梯

7、形的面積則曲邊梯形的面積 baxyAd在在1t,2t (或或2t,1t)上上)(tx 有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù). .,;,21ttbxttax .d)()(21 ttttt 解解由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面倍第一象限部分面積積 axyA0d4 0332)cos(dsin4 tatatttatad)sin(cos3sin42023 例例5 求星形線求星形線 圍成圖形的面積圍成圖形的面積. taytax33sincostttadcossin1220242 tttad)sin(sin1220642 221436522143122 a832a a aoyx

8、練習：練習：)cos1(, )sin(tayttax )0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .解解:ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 2tu 令令uuadsin8042 uuadsin162042 216a 43 212 23 a axyA 20dxyoa2求由擺線求由擺線 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( 及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 d)(21d2 A曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.d)(212 A2、極坐標系情形、極坐標系

9、情形)( 在在, 上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d, 例例 6 6 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積. 解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA d2cos214402 aA.2a xy 2cos22a 1A例例 7 7 求求心心形形線線)cos1( a所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a. 解解 d)cos1(21d22 aA利用對稱性知利用對稱性知.232a d d)cos1(2 02212aA 022d)coscos21(a 022sin41sin223 a求在直角坐標系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標系下

10、、參數(shù)方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化（注意恰當?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）積分運算）3、小結(jié)、小結(jié) 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺三、旋轉(zhuǎn)體的體積三、旋轉(zhuǎn)體的體積1、繞、繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周

11、周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間d,xxx ， 取以取以xd為底的窄邊梯形繞為底的窄邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素，薄片的體積為體積元素， xxfVd)(d2 xxxd xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為)(xfy xxfVbad)(2 yr解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間d,xxx ， xo直線直線 OP 方程為方程為例例1 如圖的直角三角形繞如圖的直角三角形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積以以xd為為底底

12、的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為 xxhrVdd2 圓錐體的體積圓錐體的體積xxhrVhd20 hxhr03223 .32hr a aoyx例例 2 2 求求星星形形線線323232ayx )0( a繞繞 x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積. 解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積xxaVaad33232 .105323a ayxb例例 計算由橢圓計算由橢圓12222 byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積而成的橢球體的體積. . 解解)()(22222axaxaaby

13、那那么么xxaabad)(220222 (利用對稱性利用對稱性) 3222312xxaab 0a234ab o aV02xy d2 x當當b = a 時時, 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343aV 方法方法2 2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程 tbytaxsincos那那么么xyVad202 ttabdsin232 22 ab 32 234ab 022、繞、繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、 直線、 直線cy 、dy 及及y軸所圍成軸所圍成的曲邊梯形繞的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的

14、立體，體軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為積為 xyo)(yx cd dcyyVd)(2 解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積xxyVxd)(220 202dsin xx繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 yyxyyxVyd)(d)(22102110 102210d)(arcsind)2(yyy 3、補充、補充(1) 如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為 dxxfxVbay| )(|2 例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所

15、圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為yQMPMVdd22 yyyd)43()43(22 ,d412yy yyVd41240 .64 3dyPQM(2) 曲邊梯形繞直線曲邊梯形繞直線 x=a 旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周4、小結(jié)、小結(jié)四、平行截面面積為已知的四、平行截面面積為已知的 立體的體積立體的體積xoabxxxd 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一

16、個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),d)(dxxAV .d)( baxxAV立體體積立體體積例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計計算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx

17、 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求以半徑為求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓的圓為底、平行且等于底圓半徑的線段為頂、高為半徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積.解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積xxRhVRRd22 .212hR xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)

18、設(shè)A、B是曲線弧上的兩是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點個端點，在弧上插入分點BMMMMMAnni ,110并并依依次次連連接接相相鄰鄰分分點點得得一一內(nèi)內(nèi)接接折折線線，當當分分點點的的數(shù)數(shù)目目無無限限增增加加且且每每個個小小弧弧段段都都縮縮向向一一點點時時，此此折折線線的的長長|11 niiiMM的的極極限限存存在在，則則稱稱此此極極限限為為曲曲線線弧弧AB的的弧弧長長.五、平面曲線的弧長五、平面曲線的弧長1 1、平面曲線弧長的概念、平面曲線弧長的概念 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導數(shù)上有一階連續(xù)導數(shù)xoyabxxxd 取取積積分分

19、變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間d,xxx ， yd弧長元素弧長元素22)(d)(ddyxs 弧長弧長.d)(12xysba 2 2、直角坐標情形、直角坐標情形xyd)(12 例例 1 1 計計算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于 x 從從 a 到到 b的的一一段段弧弧的的長長度度. 解解,21xy xxsd)(1d221 ,d1xx 所求弧長為所求弧長為xxsbad1 bax )1(3223 ab.)1()1(322323ab 例例 2 2 計計算算曲曲線線 dsin0 nxny的的弧弧長長)0( nx. 解解nnxny1sin ,sinnx xysbad)(12 x

20、nxndsin10 ntx tntdsin10 tttttnd2cos2sin22cos2sin022 tttnd2cos2sin0 .4n 例例 計算曲線計算曲線ttyxdcos2 的弧長的弧長. . 解解dxys 2221 xxdcos122 xxdcos1220 xxd2cos2220 202sin24 x. 4 ,0cos x.22 x曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù).22)d()d(dyxs 222)d)()(ttt tttd)()(22 弧長弧長.d)()(22ttts 3、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形例例 3

21、 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長長.解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對稱性根據(jù)對稱性14ss tyxd42022 tttadcossin3420 .6a 第一象限部分的弧長第一象限部分的弧長例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長長等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長長.證證設(shè)正弦線的弧長等于設(shè)正弦線的弧長等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)設(shè)橢橢圓圓的的周周長長為為2s2 dxxa 022cos1 ,20222dtyxs 根據(jù)

22、橢圓的對稱性知根據(jù)橢圓的對稱性知 dttats 02222cos1sin22 ,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022cos12dxxa 022cos1曲線弧為曲線弧為)( )( 其其中中)( 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù). sin)(cos)(yx)( 22)d()d(dyxs ,d)()(22 弧長弧長.d)()(22 s4 4、極坐標情形、極坐標情形例例 5 5 求求極極坐坐標標系系下下曲曲線線33sin a的的長長. . )0( a解解 d)()(22s313cos3sin32 a,3cos3sin2 a.23a d3cos3sin3sin3024262 aa 302

23、d3sina)30( 例例 6 6 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 a )0( a上相應(yīng)上相應(yīng)于于 從從0到到 2的弧長的弧長. 解解,a d)()(22s .)412ln(412222 a 20222daa 202d1a 2022202d11a平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念直角坐標系下直角坐標系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標系下極坐標系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長的公式求弧長的公式 5 5、小結(jié)、小結(jié)思考題思考題 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上的的連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 是是否否一一定定可可求求長長？思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠

24、，必須保證曲線光滑才可求長曲線光滑才可求長2coscos21)2cos1 (21aa2oxy d)cos1(2122 a例例 計算心形線計算心形線與圓與圓所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . . 解解 利用對稱性利用對稱性 ,)0()cos1( aa 2 221aA 2 2221aa d)2cos21cos223( 所求面積所求面積)243(2122 aa.24522aa a 2 練習：練習： 計算心形線計算心形線)0()cos1( aa 的內(nèi)部的內(nèi)部與圓與圓a 外部所圍圖形的面積外部所圍圖形的面積 . . 練習練習1、求心形線、求心形線 =a(1+cos ) 的內(nèi)部與圓的內(nèi)部與圓 = a的外部所

25、圍圖形的面積的外部所圍圖形的面積 . 2、設(shè)拋物線的軸平行于、設(shè)拋物線的軸平行于 x 軸，開口向左，且通軸，開口向左，且通過原點與點過原點與點(2,1)，求它與，求它與 y 軸之間面積為最小軸之間面積為最小的拋物線方程的拋物線方程 . 思考題思考題 設(shè)設(shè)曲曲線線)(xfy 過過原原點點及及點點)3 , 2(，且且)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點點作作兩兩坐坐標標軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程. 思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yxM