定積分的例題分析及解法

1、定積分的例題分析及解法本章的基本內(nèi)容是定積分的概念、計(jì)算和應(yīng)用一、定積分的概念1定積分是下列和式的極限bnf (x)dx = lim ' f ( i) ：xia '其中 二max" ：xifi <<因此，定積分是一個數(shù)，它依賴于被積函數(shù)f (x)和積分區(qū)間a,b定積分與積分變量用什么字母無關(guān)：bbaf(x)dxaf (t)dt2. 定積分的性質(zhì)(1) 線性性質(zhì)(2)(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積(當(dāng)被積函數(shù)f(X)_ 0時)。bbbk1 f (x) k2g(x) d = k1 f(x)dx k2 g(x)dxa a abaaf (x)dx= - f

2、(x)dx, Jaf(x)dx = 0bcba f (x)dx= a f (x)dxcf(x)dxbb(4) 若 f (x) _g(x),則 f(X)dx g(x)dxaa，使下式成立(5) 積分中值定理：設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，則在a,b上至少存在一點(diǎn)J(x)dx= f()(ba),其中 久a.b。a(6) 估值定理：若 f (x)在a,b上可積，且 m乞f(x)空M，則有不等式bm(b-a)乞 f (x)dx 玄 M (b-a)ad x加")(7) 若函數(shù)f (x)在a,b上連續(xù)，則有3. 廣義積分。二、定積分的計(jì)算1. 牛頓一萊布尼茨公式:baf(x)dx =F(b)-F(

3、a)2 換元法：注意，在換元的同時不要忘記換積分限3 分部積分法：bb bu(x)du(x) =u(x)u(x) a Lu(x)du(x)4定積分的近似計(jì)算：梯形，拋物線法。三、定積分的應(yīng)用基本方法是：(1 )代公式；(2)微元法1. 平面圖形的面積(1) 直角坐標(biāo)系。注意選擇合適的積分變量x或y可使計(jì)算簡化(2) 參數(shù)方程(3) 極坐標(biāo)系2. 旋轉(zhuǎn)體體積3 平面曲線弧長4. 物量應(yīng)用：變速直線運(yùn)動的路程(已知速度函數(shù) ：(t)，變力作功，引力，液體側(cè)壓力。注：定積分的幾何應(yīng)用可直接代公式，要求記住面積、體積和弧長的公式，定積分的物理應(yīng)用強(qiáng)調(diào)用 微兀法，解題的一般步驟是：(1) 建立坐標(biāo)系；(

4、2) 取典型微段；(3) 寫出微元表示式；(4) 寫出所求量的定積分表達(dá)式，并進(jìn)行計(jì)算。一、疑難解析在這一章中，我們接觸到了微積分學(xué)中的又一個重要的基本概念：定積分，與前面所學(xué)過的函數(shù)在某 點(diǎn)連續(xù)或可導(dǎo)等概念相比，定積分的概念顯得要復(fù)雜些，定積分反映的是函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質(zhì)， 當(dāng)然定積分的概念也是利用極限的概念來建立的，這與連續(xù)、可導(dǎo)的概念相類似，但它是另一種形式的極 限，因此它的很多性質(zhì)可以由極限的性質(zhì)而得來，另一方面需要特別指出的是，與前一章不定積分的概念 相比，這兩者只一定之差，卻有著本質(zhì)的不同，前者討論的是函數(shù)的原函數(shù)，而后者是一個和式的極限。 這一點(diǎn)在學(xué)習(xí)過程不要使之相混淆。當(dāng)

5、然，微積分基本定理(即牛頓一萊布尼茨公式)反映了定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系，或者說微分學(xué)與積分學(xué)的內(nèi)容在聯(lián)系。(一) 關(guān)于定積分的定義在定積分的定義中，極限nlim ' f ( i) ：xi0i 弓在存在不依賴于對 a,b 1區(qū)間的分法，也不依賴于i在小區(qū)間X2,X上的取法(i =1,2,. ,n，這兩 點(diǎn)非常重要，不可缺少，換言之，若由于a,b的分割法不同而使極限nlim ' f ( i) xiJoy取不同，貝y f(x)在a,b 1上是不可積的：若上述極限由 i的取法不同而取不同的值時，f(x)在a,bl上同樣不可積。函數(shù)f(X)在a, b 1上可積的條件與f(X)在a,b

6、 上連續(xù)或可導(dǎo)的條件相比是最弱的條件，即f(X)在a,b 1上有以下關(guān)系。可導(dǎo)=連續(xù)=可積反之都不一定成立。定積分ff(x)dx是一個數(shù)，當(dāng)被積函數(shù)f (x)及積分區(qū)間a,b】給定后，這個數(shù)便是確定的了，它除ub了不依賴于定義中的區(qū)間分法和i的取法外，也不依賴于符號.f(x)dx中的積分變量x，即abbf (x)dx二.f (t)dt，因此，定積分記號中的積分變量可以用任何字母來表示，此外，對于定積分符號aabf (x)dx意味著積分變量 x的變化范圍是a蘭x乞b。(二) 有關(guān)定積分的性質(zhì)在定積分的性質(zhì)中，除了類似于不定積分的線性性質(zhì)以外，還要記住下列基本公式：ab* f(x)dx f(x)d

7、xaf(x)dx = 0b1dx = b -aa定積分關(guān)于積分區(qū)間的可加性是一個很重要并且在計(jì)算定積分時常用的性質(zhì)，即ebba f(x)dx f(x)dx = :a f(x)dx當(dāng)利用牛頓一萊布尼茨公式計(jì)算定積分時，若被積函數(shù)是分段函數(shù)，就需用到這條性質(zhì)，另外在解定積分的幾何應(yīng)用問題時，也要經(jīng)常用到這一性質(zhì)，要注意到在利用這個性質(zhì)時，C點(diǎn)并不一定在la,b 1內(nèi)部，可以有c：a，或者c b，前提是只要被積函數(shù)在每個相應(yīng)的區(qū)間上都是可積的。由于定積分反映的是函數(shù)在一個區(qū)間上的整體性質(zhì)，所以不能用它來研究函數(shù)的局部性質(zhì)，例如有兩個在a, b 1上可積的函數(shù)f (x)和g(x)，若f(x) g(x)

8、 (x a,b)則由定積分的性質(zhì)知道bba f(x)dx ag(x)dx反之，當(dāng)bba f(x)dx ag(x)dx成立時，卻不一定在a,b 1 上恒有 f(x) .g(x).例如，設(shè) f (x) = . 1 -x2,g(x) =2在1,1 上有411応J(x)dx =二、1 -x dx= 21 1 -J (x)dx1 一 x2 dx 二？顯然1 1f(x)dx g(x)dx但我們注意到一 3、,93,3、f ( )g ()44444奇函數(shù)或偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的結(jié)論也是很有用的，但要求被積函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，積 分區(qū)間的對稱區(qū)間l-a,a 1,不過在解題時可以活用，例如此函數(shù)既非奇函

9、數(shù)也非偶函數(shù)，然而若設(shè)fi(x)1 - x2f2（X）=則fi（x）是奇函數(shù)，f2（x）是偶函數(shù)，且f(X)二 fi(x) f2(x)利用定積分的線性性質(zhì)及奇偶數(shù)在對稱區(qū)間上的積分結(jié)果很容易計(jì)算出211x52dx2 2 1dx212 dx三1 - x=0+4廣 1 dx21=4a r c sxn =0（三）關(guān)于變上限的定積分若f （x）在a,b】上連續(xù)，則變上限積分xG(X) f (t)dta是a,b i上的一個可導(dǎo)函數(shù)，自變量是x，且A(x)二 f(x)同樣可以考慮變下限的定積分，即bG(x) f (t)dtLx顯然bxG(x)=(t)dt) =(- b f(t)dt)有時我們可能還會遇到形

10、式上更一般的變上限積分g(x)(x)、f(t)dt同樣可以求g(x)的導(dǎo)數(shù)(在(x)可導(dǎo)的條件下)，就是先將:(x)看做一個中間變量， 再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出g(x)的導(dǎo)數(shù):例如求極限x20 In(1 t)dt lim 0x_-x4利用洛必達(dá)法則有x24 In(1+t)dt)原式二lim -4T (X4)"4x3(四)關(guān)于牛頓一萊布尼茨公式Jim2 XQ12 2ln(1 x )x1.In e21 2x2牛頓一萊布尼茨公式不僅在定積分這部分內(nèi)容中， 要表面在以下方面：1.當(dāng)被積函數(shù)連續(xù)時定積分的計(jì)算可通過求原函數(shù)來進(jìn)行:而且在整個微積分學(xué)中都是一個很重要的結(jié)論,若F(x)是f(x

11、)的一個原函數(shù)，則baf(x) = F(b)-F(a)因此這個公式揭示了定積分與不定積分之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種本質(zhì)聯(lián)系還可由下列兩個公式來闡明f(x)dx=f(x)dxXf(x)dt = dx af(x)2 由bnnf (x)dx = lim ' F (xj . * = lim ' (dF)aWi可知定積分與微分之間的本質(zhì)聯(lián)系。還有一點(diǎn)要說明的是，雖然牛頓一萊布尼茨公式簡化了定積分的計(jì)算，但某些函數(shù)的定積分卻無法用這個公式來計(jì)算，例如下面的兩個函數(shù)x2si nxf (x)二 e 及 g(x)二x都是連續(xù)函數(shù)(對于 g(x)，只需令g(0) =1便成為連續(xù)函數(shù))，由于這兩個函數(shù)的原

12、函數(shù)都不是初等，因此無法用牛頓一萊布尼茨函數(shù)(后面的章節(jié)中可以看到這兩個函數(shù)的原函數(shù)可表示為幕級數(shù)的形式) 公式來計(jì)算這兩個函數(shù)在某個區(qū)間上的定積分。(五) 換元積分法的運(yùn)用定積分的換元法與不定積分換元法類似， 差別在于：在定積分的換元積分法中，每進(jìn)行一次變量替換, 同時要將定積分的上下限作相應(yīng)的改變， 而在關(guān)于新積分變量的原函數(shù)求出后， 不要將新變量解換成舊積 分變量。(六) 定積分的應(yīng)用1 定積分的幾何應(yīng)用，記住面積、弧長和旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算公式。對于面積問題，選擇合適的積分變量，有時可簡化計(jì)算；對于弧長問題，要先計(jì)算.1 (y)2 ;對于旋轉(zhuǎn)體體積問題，要分清是繞OX軸還是繞Oy的軸旋轉(zhuǎn)。

13、2 定積分的物理應(yīng)用，一般使用微元法。具體計(jì)算時按照下列四個步驟進(jìn)行:(1) 建立坐標(biāo)系：確定所求的總體量Q所在的區(qū)間 a,bl：(2) 取微段：將a,b】區(qū)間劃分為一些微段 (小區(qū)間)之和，在微段 x上總體量Q被劃分為微量 Q ；(3)表示微量：確定函數(shù)f (x)，使得 Q f(x) . ：x(4) 用定積分表示總體量并計(jì)算：' f(x) x就是總體量Q的近似值，取極限便可得到bQ = a f (x)dx ;這就是微元法的解題過程(七) 關(guān)于廣義積分廣義積分是定積分的推廣，以無窮積分為例，我們知道bf (x)dx = im & f (x)dx:dx要記住-p的收斂性。F(x)

14、是f (x)的一個原a x在計(jì)算收斂性的廣義積分時也要有類似于牛頓一萊布尼茨公式的計(jì)算式，即若函數(shù)，則J 產(chǎn) f(x)dx = F(x)j=F(如)-F(a)其中F( ：)表示極限lim F(b)，如果此極限存在，則廣義積分收斂，且即可由此求出其值，如果 此極限不存在，則廣義積分發(fā)散。在求廣義積分的值時，也有與定積分相類似的換元各分法和分部積分法。、例題分析例1 為下列各題選擇正確答案:1 1 2(1) Qexdx與ex dx相比，有關(guān)系式()1J0exdx <1 1oedx02ex dxA .1 20e' dxdxXe1 -dd2Xe1 o17si ntsi naA.B.-ta

15、(3) 下列等式中正確的是()d bA. f(x)dx = f(x) dx ad xC. af(x)df(x) dx ab(4) 屮3x)=()*asinxC. cosxD.x-IB. 一 f (x)dx = f (x) C dxD. f (x)dx = f (x)A. f(b)-f(a)C. 1f (3b) - f (3a) 1 3B. f(3b)-f(3a)D. 3f (3b) - f (3a)b 32(5)設(shè) | = J 2x f (x )dx(b AO)，則()1 b4b2A.1 =2 of (x)dxB. 1 二02xf (x)dx1 b2b2C.1 =2 of (x)dxD. 1

16、Jxf (x) dx解(i)當(dāng)0 ： x : 1 時，有 x2 : x。由于指數(shù)函數(shù)y =ex是單調(diào)增函數(shù)，因此當(dāng) 0 ： x ： 1時有x e2 X e由定積分的性質(zhì)可知1 2ex dx正確答案選擇B。(2 )由變上限定積分求導(dǎo)結(jié)果得到正確答案應(yīng)選擇D。(3)由不定積分的定義，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，變上限積分的求導(dǎo)結(jié)果得d bf (x)dx 二 0dx aplf(x)dx=f(x) dxd xa f (x)dx = f (x) dx af (x)dx 二 f (x) C正確答案應(yīng)選擇(4)由于C。11.(f (3x)" = f (3x)，即一 f (3x)是f (3x)的一個原函數(shù)，故由牛頓一

17、萊布尼茨公式得333 ' 'ba f (3x)dx1f (3b) - f (3a)正確答案應(yīng)選擇(5) 利用湊微分法b 32a2"f(x )dx 二b 2220x f(x )d(x )2b2x =u 0 uf (u)du定積分與表示積分變量的符號無關(guān)，即b2I = .0 xf (x) dx正確答案應(yīng)選擇D例2 給出下列各題的正確答案:x(1)£ sin tdt lim 2 x 0 x255設(shè) f (5) =2,5 f (x)dx =3,則 0 xf (x)dx 二(3)<4x2dx 二a/(xcosx -5sin x 2)dx =(5)如果b 0，且b

18、In xdx = 1,那么 b =(1)此極限是0型，利用洛必達(dá)法則得0xsintdt lim “x_0x(sintdt)二 lim 0_丁x e (x2)s i rx二 limx刃2x1 r s i rx1lim2 x 刃 2x 2由定積分的分部積分法，得50xf (x)dx = 0xd(f (x)=xf (x)550.0f(X)dx=10-3 = 7(3)被積函數(shù)的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的上半圓周，由定積分的幾何意義可知由此積分計(jì)算的是半圓的面積，故有2 4-x2dx 二-2(4) 利用定積分的線性性質(zhì)可得aaa-a0,再利用熟知的結(jié)論得原式 xcosxdx- 一 5sin xdx 亠

19、 i 2dx -a而前兩個積分的被積函數(shù)都是奇數(shù)，故這兩個定積分值均為a原式 2dx = 2 ldx 二 4a© a» a(5) 利用分部積分法得b1 In dx=x| nx円b 1x 一 dx二 bln b -(b T) = bln b -b 1由已知條件得bln b b 仁 1由此得bln b - b = 0 ,艮卩 bln b = bb = 0 , In b = 1，即得 b = e。例3利用定積義的性質(zhì)證明不等式=2心22e 4 乞 ° e dx 乞 2e分析本例要解決的是定積分的估值問題，由估值定理有：若可積函數(shù)f(x)的區(qū)間a,bl上滿足m _ f (

20、x) _M，則m(b - a) _ a f (x)dx _ M (b - a)故本例的關(guān)鍵是確定被積函數(shù)e"在0,2 1上的最大值及最小值。由e1可知ex是單調(diào)增加的函數(shù)，因而只要求出y=x2x在021上的最大值M1，及最小值mi，則M = eMl， m ue®就是ex »在0,2 1上的最大值及最小值。證明 y=x2-x，因 y'=2x-11令y、0得x二丄2由yQ) - -1 ，y(0) = 0, y(2) = 2,知y = x - x在0,2上的最大值和最小值分別為Mi =2, -，又因?yàn)閥=ex是單調(diào)增加函數(shù)，因而在 0,2】上有41 2e 4乞e

21、x乞e2再利用定積分的性質(zhì)便得出- 2 2 2(20)e 4 乞,oexdx m(2 0)e212即2e < (ex2»dx 蘭 2e2例4 設(shè)e2x 2y 二 g(x)0 (t2-2t 1)dt求 g (x)分析本例為變上限定積分求導(dǎo)，因變動的上限是自變量 x的函數(shù)，故要用到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。2 x解 設(shè)u =e ，則得到以U為自變量的函數(shù)。U 2y = .°(t -2t 1)dt根據(jù)變上限定積分的性質(zhì)可得于是從而得到虬 u22u 1dug(x) =G(u)g'(x)吒dU22x(u2u 1)2e dx2 x , 4x2xg (x) =2e (e -2e1)

22、小結(jié)從本例可以知道，對于變上限的定積分g(x)a(x)f (t)dt其中(x)是可微函數(shù)，f (t)可積，則g (x) = f ( ：(x) (x)。例5(1)用換兀積分法計(jì)算下列定積分0dxJ x2 2x 29 Vx(2) 4 x-1dx(3)e3dx12f(4) t pdx1 x1 x 11 1 n x分析有了牛頓一萊布尼茨公式，求定積分的問題實(shí)質(zhì)上就歸結(jié)為原函數(shù)的問題。但定積分的積分法也有自身的特點(diǎn)，以換兀積分法為例，“換兀變限”就是這它的特點(diǎn)，解題時一定要注意，且積分限的變換必須上下對應(yīng)。用第一換元法求定積分時，也可以只湊微分不換元，因此不變積分限，總的原是則：若換元，須變 限，只湊微

23、分不變限。解 (1將被積函數(shù)整理成1 1 12_ 2 _ 2x 2x 2 (x 2x 1) 1 (x 1)1令 x，1=t，則 dx=dt，當(dāng) x-2 時 t - -1，x=0 時 t=1，原定積分0 dx0 d(x 1)x2 2x 2，(x 1)211=a ret an =亠此題也可直接湊微分計(jì)算:0 d(x 1)7(x1)1=2d a r ct axn (1) .1 =a rct axn (1)JI 2dx = 2tdt ,x49所以3 2t2x -12t -1t-1dt(2)對原積分作變量替換，令 一 X =t，則有X=t,t -131= 22(t 1)dt331= 22(t 1)dt

24、22dt t 1=(t +1)2 2+21 nt 1= 16-9 2ln 2-21 n1 = 7 2ln2(3)對原積分作變量替換，令I(lǐng)n x =t,則x,dx 二 etdt ,x13 et03e3dx3 dt.1 t對此積分繼續(xù)作變量替換，令.1 t二u，則有t =u2 -1, dt =2udu ,t30u21由此又得dt12udu2= 2x2即此題也可以直接湊微分計(jì)算:e3dx1 x1 In x=2原積分=：3d(1 Tnx) 'V'V I n X(4)對原積分作變量替換，令得, e3= 2(+1 n x =4-2 =211t，則 dx 2 dt，xt212exV1=- 1

25、 e dt = et此題也可以直湊微分計(jì)算:1原積分exd ()1 x1= -,d(ex)=e-小結(jié) 1。積分限是積分變量的變化范圍，如果積分變量改變了，則積分限必須同時改變，如果積 分變量不變(例如用湊微分法時)則積分限不變。2新積分變量的上限對應(yīng)于舊積分變量的上限，新積分變量的下限時應(yīng)于舊積分變量的下限。例如1上例中不能因?yàn)?ex1 t2 dx = - 1 e dt。 x例6 用分部積分法求下列各定積分:n(1)2 e2x cosxdx0(2)eJ In xdxe分析定積分的分部積分公式bu(x)d (x)二 u(x) (x)ab-(x)du(x)a亠“b中的u(x)u(x)是一個常數(shù)，在

26、計(jì)算過程中要隨時確定下來，在計(jì)算第( a數(shù)的絕對值號，這就需要根據(jù)絕對值的性質(zhì)適當(dāng)利用定積分對區(qū)間的可加性質(zhì)。 解H31(1)02 e2x c o xd02 e2xd ( s i x)2)小題時應(yīng)先設(shè)法去掉被積函=e2xs i rxji222x2 s i rx d e_3T=e： 一 :2e2x s i rxd x=e- 022e2xd(cox)-2x=e 2e coxji2-o 4e2xc o sdx二 #2 - 4 02 e2xcoxdx從上述等式經(jīng)移項(xiàng)和整理后得出(fcosxdx-2利用(2 )首先去掉被積函數(shù)的絕對值號，因?yàn)槎ǚe分的性質(zhì)則得到1x : 1 時，In x 0 ；當(dāng) 1 ：

27、 x ： e 時，In x 0， ef1|ln xdx =伸n xdx +e(In xdx1e-1In xdx 亠 I In xdx1e1 x1 dx e x其中第二個積分為e1In xdx第一個積分為e=xI n x1 x1- dx；xe最后得出jjIn xdx = 2e例7 設(shè)f(x)是以T為周期的周期函數(shù)，且f(x)在任意有限區(qū)間上連續(xù)，試證：對任意的a，等Ta Tf (x)dxf (x)dx0a成立分析周期函數(shù)的特點(diǎn)，就是每隔一個周期而重復(fù)出現(xiàn)，如圖，是一個周期函數(shù)的圖形，從圖中的幾何意義可以直觀看出結(jié)論是成立的。那么如何從理論上給予證明呢？從圖上看現(xiàn)在要證明TTa設(shè) t =x T，則

28、 f(x)二f(t)，且 x=0 時，t =T，x=a時，t=a，T，于是上式可得證。證明由定積分的區(qū)間可加性質(zhì)可得TaTf (x)dx f(x)dx f (x) dx00aa TTa Taf (x)dxa f (x)dx Tf(x)dx即要證明對于定積分交量替換t = x T，則dx = dt，aa T0f(x)dxTf(x)dxa0 f (x)dxx0a因而tTa+Taa T0 f(x)dxTf(t T)dta Ta Tf(t)dtmTf (x)dx最后得到等式Ta Tf (x)dxf (x)dx0a這個等式說明周期函數(shù)在任意一個以周期T為長度的區(qū)間的定積分都是相等的，它形象地反映出了周期

29、函數(shù)的性質(zhì)，讀者可從圖形上理解此性質(zhì)的幾何意義。例8 設(shè)f (x)在0,1上連續(xù)，證試：:f (sin x)dx = °2 f (cosx)dx證作變量替換xt，則dx = -dt，2TF-20二2 f (sin x)dx = f (sin(t)( 1)dt0220-二 f (cost)dt2=o2 f (cost)dt=:f (cost)dx即:f (sin x)dx = ； f (cosx)dx本例中也可先對等式右端進(jìn)行相同的變量替換，同學(xué)們自己不妨一試。例9求下列各曲線圍成的平面區(qū)域的面積：(1) y=0, y = .、x,x=2( 2) y=x-2,x=y2分析 用定積分計(jì)算

30、平面區(qū)域的面積，首先要確定已知曲線圍成的區(qū)域；再由區(qū)域的形狀選擇積分 變量(x或y)，這主要是為了計(jì)算方便，最后確定積分限。當(dāng)計(jì)算公式。b2 方 f(x) -g(x)dx中的f (x)或g(x)為段函數(shù)時，面積需要分塊計(jì)算。解 (1)曲線所圍平面區(qū)域如圖所示，設(shè)此面積為A。則有2 A ( . x -0)dx32 2x23(2)曲線所圍平面區(qū)域如圖所示，設(shè)此面積為A，則有第口）題圖第題圖1 Lf4 廠A = AiA2 = 0( - x -( ；x)dx 亠 i ( x -(x-2)dx=q2< xdx 亠 I (. x -x 2)dxA33+ (2x2 _ + 2x)4 16 ,2 1 c

31、、 ， 1（2）二 4 亠一3 33 22還有一種簡便的方法，若以y做為積分變量，則有2 2A (y 2 - y )dy8 1 1 珂2 4八一2 3)例10求拋物線y =x介于（0，0）點(diǎn)及（2，4）點(diǎn)之間的一段弧分別繞 x軸與y軸旋而成的旋轉(zhuǎn)體積。分析 曲線y二f （x）繞x軸或y或旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積為4(y)2dy其中區(qū)間a, b 與 c,d分別是曲線在x軸與y軸上的投影。解設(shè)曲線繞x軸與y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積分別為VX和Vy，由旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算公式有322 2Vx(x )dx =o同樣可得Vy 之：( .x)2 d-y2由此可以看出同一條曲線段繞不同坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體積一般是不

32、相等的。例11一半圓形水溝的半徑為 r,流滿了水，求在這種水位下，液體對溝的一端上的閘門的側(cè)壓力分析本例是定積分的物理應(yīng)用，用微元法求解，解題步驟是：建坐標(biāo)系；取微段（分割）A的平板，水平放置在深為h的液體中，所受壓力為將總體量表示為定積分并計(jì)算。解根據(jù)物理知道，一面積為F = Ah ，其中為液體比重建立坐標(biāo)系的方法如圖，取微段x，它所對應(yīng)的微條面積為該微條在液體中所受壓力為lF 2 r2 -x2lx x 9.8=19.x、r2 -x2 ：x其中水的比重=1千克/米3= 9.8牛頓/米3，閘門受的壓力即為r 一=19.6xdr2 -x2dx = -19.6（r2-x2）- 19.6 3，住日、

33、r （焦耳）3例12判斷下列廣義積分的收斂性，對于收斂的無窮積分，求無窮積分的值。:dxxdx(2) xdx §（3）e xln x'e(1 + x)=e(1)分析無窮積分要先判斷收斂性，對收斂的無窮積分求值，與計(jì)算定積分類似，但要注意由無窮分 本身性質(zhì)而決定的一些特殊情況。解 （1）利用湊微分法便得be dx "he 1f d(lnx) = lnlnxe xlnx e Inx=+oC所以原無窮積分是發(fā)散的。（2）由于x1X1(1 x)3(1x)3123(1 X) (1 x):xdx1 (1 x)3dx2(1 x):=dx)(1 x)3注意：在利用公式址110 一L

34、 "(1+X)2)1 1=(0-(-1)-(0-(-2)專/(f(x) g(x)dx ='f (x)dx . ' g(x)dxaa時，前提是等式右端的兩個無窮積分都收斂，若(f (x)dx和g (x)dx都發(fā)散，則不能利用這aLaf (x) g(x)的原函數(shù)F(x0)-boa 。(3)利用分部積分公式。二 arcta nx1dxarcta nx()1x-larcta n xx說 dxx(1x2)31=+4說 dx2x(1 X )令 x2 =t,則 2xdx = dt ,x11得到誌 dx2x(1 X )1 )dt所以，原廣義積分注意：正如前面提到的,:dt= -2(1

35、 nt -1n|l+t|)=丄(0_1 n1)=丄1 n22 2 2兀 12 dxIn 2x24 2:1 1本例中在計(jì)算()dt時，若將廣義積分表示成1 't 1+t=11、: = dt 二 dt1 t 1 t 1 t 1 1 t二 arcta nx11t都是發(fā)散的，故無法計(jì)算出它的結(jié)杲。條利質(zhì)，因此時(f(x) g(x)dx也有可能是收斂的，這時就需要直接求出a二、自我檢測題(一)單項(xiàng)項(xiàng)選擇題i設(shè)f(x)a,b 1上連續(xù)，則f(X)在a,b 上的平均值是(f (b) f (a)2B.ab f(x)dx1 b2 af(X)dXx32.設(shè)函數(shù)(x) = a f(t)dt，則(x)=()A. f(x)B. f(x3)2C. 3x f(x)3D . 3x f (x )3設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且為偶函數(shù)，則在對稱區(qū)間1- a, a 1上的定積分f(x)dx二(.a0A. 0B. 2 f (x)dx.a0C. f (x)dx-aa0 f(x)dx