福建省2012屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 絕對(duì)值不等式 理

1、典型例題一例1 解不等式分析：解含有絕對(duì)值的不等式，通常是利用絕對(duì)值概念，將不等式中的絕對(duì)符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化成與之同解的不含絕對(duì)值的不等式（組），再去求解去絕對(duì)值符號(hào)的關(guān)鍵是找零點(diǎn)（使絕對(duì)值等于零的那個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)），將數(shù)軸分成若干段，然后從左向右逐段討論解：令， ，令，如圖所示（1）當(dāng)時(shí)原不等式化為與條件矛盾，無解（2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為 ，故（3）當(dāng)時(shí)，原不等式化為，故綜上，原不等式的解為說明：要注意找零點(diǎn)去絕對(duì)值符號(hào)最好畫數(shù)軸，零點(diǎn)分段，然后從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏典型例題二例2 求使不等式有解的的取值范圍分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁；用絕對(duì)值的幾何意義去求解

2、十分簡便解法一：將數(shù)軸分為三個(gè)區(qū)間當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)橛薪獾臈l件為，即；當(dāng)時(shí)，得，即；當(dāng)時(shí)，得，即，有解的條件為 以上三種情況中任一個(gè)均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為解法二：設(shè)數(shù)，3，4在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，如圖，由絕對(duì)值的幾何定義，原不等式的意義是P到A、B的距離之和小于因?yàn)?，故?shù)軸上任一點(diǎn)到A、B距離之和大于（等于1），即，故當(dāng)時(shí)，有解典型例題三例3 已知，求證分析：根據(jù)條件湊證明：說明：這是為學(xué)習(xí)極限證明作的準(zhǔn)備，要習(xí)慣用湊的方法典型例題四例4 求證 分析：使用分析法證明 ，只需證明，兩邊同除，即只需證明，即 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立原不等式成立說明：在絕對(duì)值不等

3、式的證明，常用分析法本例也可以一開始就用定理：（1）如果，則，原不等式顯然成立（2）如果，則，利用不等式的傳遞性知，原不等式也成立典型例題五例5 求證分析：本題的證法很多，下面給出一種證法：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同，使我們聯(lián)想利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明證明：設(shè)定義域?yàn)椋?，分別在區(qū)間，區(qū)間上是增函數(shù)又，即原不等式成立說明：在利用放縮法時(shí)常常會(huì)產(chǎn)生如下錯(cuò)誤：，錯(cuò)誤在不能保證，絕對(duì)值不等式在運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)有非常重要的作用，其形式轉(zhuǎn)化比較靈活放縮要適度，要根據(jù)題目的要求，及時(shí)調(diào)整放縮的形式結(jié)構(gòu)典型例題六例6 關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式與的解集依次為與，求使的的取值范圍分析：分

4、別求出集合、，然后再分類討論解：解不等式，解不等式，當(dāng)時(shí)（即時(shí)），得當(dāng)時(shí)（即時(shí)），得當(dāng)時(shí)，要滿足，必須故；當(dāng)時(shí)，要滿足，必須所以的取值范圍是說明：在求滿足條件的時(shí)，要注意關(guān)于的不等式組中有沒有等號(hào)，否則會(huì)導(dǎo)致誤解典型例題七例6 已知數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)于正整數(shù)、，當(dāng)時(shí)，求證：分析：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的前項(xiàng)和，它的任意兩項(xiàng)差還是某個(gè)數(shù)列的和，再利用不等式，問題便可解決證明：說明：是以為首項(xiàng)，以為公比，共有項(xiàng)的等比數(shù)列的和，誤認(rèn)為共有項(xiàng)是常見錯(cuò)誤正余弦函數(shù)的值域，即，是解本題的關(guān)鍵本題把不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、個(gè)變量的絕對(duì)值不等式問題連在一起，是一個(gè)較為典型的綜合題目如果將本題中的正弦改為余弦，不

5、等式同樣成立典型例題八例8 已知，求證：分析：本題中給定函數(shù)和條件，注意到要證的式子右邊不含，因此對(duì)條件的使用可有幾種選擇：(1)直接用；(2)打開絕對(duì)值用，替出；(3)用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行替換證明：，即說明：這是絕對(duì)值和函數(shù)的綜合題，這類題通常要涉及絕對(duì)值及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)等綜合知識(shí)的運(yùn)用分析中對(duì)條件使用時(shí)出現(xiàn)的三種可能是經(jīng)常碰到的，要結(jié)合求證，靈活選用典型例題九例9 不等式組的解集是（）A B C D分析：本題是考查含有絕對(duì)值不等式的解法，由，知，又，解原不等式組實(shí)為解不等式（）解法一：不等式兩邊平方得：，即，又選C解法二：，可分成兩種情況討論：(1)當(dāng)時(shí)，不等式組化為（）解得(2)當(dāng)時(shí)，

6、不等式組可化為（），解得綜合(1)、(2)得，原不等式組的解為，選C說明：本題是在的條件下，解一個(gè)含絕對(duì)值的分式不等式，如何去絕對(duì)值是本題的關(guān)鍵所在，必須注意，只有在保證兩邊均為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能將不等式兩邊同時(shí)平方另一種方法則是分區(qū)間討論，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)當(dāng)然本題還可用特殊值排除法求解典型例題十例10 設(shè)二次函數(shù)(，且)，已知，當(dāng)時(shí)，證明分析：從知，二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線；從且，知，要求證的是，所以拋物線的頂點(diǎn)一定在軸下方，取絕對(duì)值后，圖像翻到軸上方因此拋物線的頂點(diǎn)的取值非常重要，也是解這道題的關(guān)鍵所在證明： ，又，又，而的圖像為開口向上的拋物線，且，的最大值應(yīng)在，或處取得，說明：本題