雙曲線的簡單幾何性質(zhì)離心率在解題中的應(yīng)用

1、C的焦點F及準線I分別重合,離心率在解題中的應(yīng)用王學(xué)青(江蘇省吳江市平望中學(xué)2 1 5 2 2 1 )離心率是圓錐曲線中的一個基本量，它可以用來統(tǒng)一定義圓錐曲線，解析幾何中的許多習(xí)題都跟它有 直接聯(lián)系.對于某些習(xí)題，若能將題設(shè)中的有關(guān)條件跟離心率巧妙地聯(lián)系起來，常常會起到簡化解題過程、迅速求解的功效現(xiàn)舉例說明如下.一、軌跡方程或曲線類型問題例1 方程.(x -1)2 y2 =3x-4y_1對應(yīng)的點P (x,y)表示的軌跡為()A.拋物線E.雙曲線C.橢圓D.兩條直線分析：如果按一般方法：兩邊平方后再化簡方程進行判斷，不但計算較繁雜，右邊還會出現(xiàn)xy這樣的二次項.由于現(xiàn)行的教材中沒有坐標軸旋轉(zhuǎn)的

2、內(nèi)容，因而用這樣的方法學(xué)生很難得到正確的結(jié)論.但如果、:22 3x 4 y 1把萬程變形為 J(x-1)2 +y2 =5，左端就是P (x,y)到M(1,0)的距離，右端顯然是P (x,y)到直線l :3x-4y-1 =0的距離，上式即表示 P (x,y)到M點的距離是直線I的距離的5倍，因M不在直線I上，根據(jù)圓錐曲線的定義，它的離心率e=51,故選E.如用此法判別以下軌跡方程表示何種曲線就很容易了.(1) J(x_1)2+y2 =丄0x_4y_1 ；(拋物線)5 1(2) J(x _1)2 +y2_4y _1 .(橢圓)例2 以圓錐曲線焦點弦為直徑的圓若與相應(yīng)的準線的位置關(guān)系分別為相交，相切

3、，相離，那么此圓錐曲線一定分別是，分析：判定為何種圓錐曲線的關(guān)系是求得相應(yīng)條件下的離心率的范圍. 設(shè)圓錐曲線的焦點為 F ,焦點弦為MN,圓心為P , MMPP,NN分別與準線I垂直于M , P , N(圖1),則離心率mf| |nf|mf|+|nf|mn| |pme_|MM j_|NN j _|MM |+|NN _2|PP|PP相交時，PP ym，此時e1,曲線為雙曲線.同樣可得出拋物線，橢圓.2例3已知拋物線C ：y =4 x.若橢圓的左焦點及相應(yīng)的準線與拋物線 試求橢圓的短軸端點 E與焦點F連線的中點P的軌跡方程.(圖2)分析：由于可以求得焦點坐標和準線方程，因而假設(shè)P點為(x, y)后

4、即可根據(jù)圓錐曲線的兩個不同的定義，分別得出離心率的不同表達式， 從而得到軌跡方程.解 由y2 = 4 x得焦點F (1,0),準線I: x= 1 .設(shè)P點為(x, y),因P為BF的中點，得B點為(2 x1,2 y),設(shè)橢圓中心為O ,bf| fOBFFOlbb 丄I于b，則有 ! = e, _r = e,因此 =_，得 BB BFBB| BF2 2(2x2)(2y)2x 112x -11.，化簡得(2x-2)2(2y)22 2(2x_2) 4y2x(2x - 2),即 y 2=x -1 .又因O在F的右方=2x - 2 - 0= x 1.所以P點的軌跡方程為y=x -1(x -1).二、最值

5、問題例4 設(shè)P(5,1),F為橢圓2 2電迥 (2 2)1的左焦點，點 Q在橢圓上移動為了使1216QF +-|PQ有最小值，求Q點的坐標.2(圖3)分析：根據(jù)題意，按兩點間的距離公式列出QF1+ |PQ的表達式，然后再按求最小值的常規(guī)方法求解，以確定Q的坐標這樣解題過程相當繁雜，也難以求出結(jié)果從題設(shè)知QF即橢圓的焦半徑，橢圓中1 1a =4,b =2j3,c = 2,e=,而又正好為PQ前面的系數(shù)，由此聯(lián)想到用離心率、焦點、準線間的關(guān)2 2系求解.Q到準線的距離為QN ,QF +- PQ(QN2 2PN ,此時Q點和P點的縱坐標相同. 將y = 1代線，且Q在P , N之間時,1PQ) -2

6、1 1QF +I PQ的值最小為一2 2入橢圓方程得X=4或x=8，而x=8時Q點在P點的右側(cè)顯然不合題意，舍去，所以Q點的坐標為(4,1) 根據(jù)例4的解題思路，例5、例6的求解就很方便了.x25一=1的右焦點為F,點A(9, 2),試在雙曲線上求一點 M,使MF +|MA9 1633 J5有最小值.(M ( 4,2)2例6 已知點A(2, 1),在拋物線y2 =4x上求一點M,使MA + MF有最小值，并求出最小值.(M11)，最小值3)4解此類題只要觀察定點和曲線上的動點連結(jié)的線段前面的系數(shù)是否為該圓錐曲線的離心率，求動點坐 標時只要將過定點和準線垂直的直線方程對應(yīng)的坐標代入曲線方程即得另一坐標，最小值即該點到相應(yīng)準線的距離的e倍.例7 已知 a,b. R且b4a 試求 T = (a-2)2 (b-1)2 (a-1)2 b2 的最小值.分析：由b2 =4a聯(lián)想到y(tǒng)2 =4x,M(a,b)為拋物線上的點，.(a - 2)2 (b - 1)2和；(a-1)2 2分 別是M (a,b)到A(2,l )和F (1,0)的距離，F(xiàn)(l,0 )又恰為拋物線y2=4 x的焦點此題經(jīng)過這樣變換不就是例6中求MA +|MF