概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件及其概率1.1 隨機(jī)事件一、給出事件描述，要求用運(yùn)算關(guān)系符表示事件：二、給出事件運(yùn)算關(guān)系符，要求判斷其正確性：1.2 概率古典概型公式：P（A）=實(shí)用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計(jì)算補(bǔ)例1：將n個(gè)球隨機(jī)地放到n個(gè)盒中去，問(wèn)每個(gè)盒子恰有1個(gè)球的概率是多少？解：設(shè)A：“每個(gè)盒子恰有1個(gè)球”。求：P(A)=？所含樣本點(diǎn)數(shù)：所含樣本點(diǎn)數(shù)：補(bǔ)例2：將3封信隨機(jī)地放入4個(gè)信箱中，問(wèn)信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？解：設(shè)Ai ：“信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？所含樣本點(diǎn)數(shù)：A1所含樣本點(diǎn)數(shù)：A2所含樣本點(diǎn)數(shù)： A3所含樣本

2、點(diǎn)數(shù)：注：由概率定義得出的幾個(gè)性質(zhì)：1、0P（A）12、P()=1，P() =01.3 概率的加法法則定理：設(shè)A、B是互不相容事件（AB=），則：P（AB）=P（A）+P（B）推論1：設(shè)A1、 A2、 An 互不相容，則P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An)推論2：設(shè)A1、 A2、 An 構(gòu)成完備事件組，則P(A1+A2+.+ An)=1推論3： P（A）=1P（）推論4：若BA，則P(BA)= P(B)P(A)推論5（廣義加法公式）：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)補(bǔ)充對(duì)偶律：1.4 條件概率與乘法法則條件概率公式：P(A

3、/B)=（P(B)0）P(B/A)= （P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有時(shí)須與P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的P（AB）聯(lián)系解題。全概率與逆概率公式：全概率公式：逆概率公式： （注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1.5 獨(dú)立試驗(yàn)概型事件的獨(dú)立性：貝努里公式（n重貝努里試驗(yàn)概率計(jì)算公式）：課本P24另兩個(gè)解題中常用的結(jié)論1、定理：有四對(duì)事件：A與B、A與、與B、與，如果其中有一對(duì)相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)

4、立。2、公式：第二章 隨機(jī)變量及其分布一、關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布問(wèn)題1、求分布列：確定各種事件，記為x寫(xiě)成一行； 計(jì)算各種事件概率，記為p k寫(xiě)成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意：應(yīng)符合性質(zhì)1、（非負(fù)性） 2、（可加性和規(guī)范性）補(bǔ)例1：將一顆骰子連擲2次，以x 表示兩次所得結(jié)果之和，試寫(xiě)出x的概率分布。解：所含樣本點(diǎn)數(shù)：66=36所求分布列為：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x補(bǔ)例2：一袋中有5只乒乓球，編號(hào)1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以x表示取出3只球中最大號(hào)碼，試寫(xiě)出x的概率分布。解：

5、所含樣本點(diǎn)數(shù)：=106/103/101/10p k543x所求分布列為：2、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)二、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問(wèn)題：xR，如果隨機(jī)變量x的分布函數(shù)F（x）可寫(xiě)成F（x）=，則x為連續(xù)型。稱概率密度函數(shù)。解題中應(yīng)該知道的幾個(gè)關(guān)系式： 第三章 隨機(jī)變量數(shù)字特征一、求離散型隨機(jī)變量x 的數(shù)學(xué)期望Ex =？數(shù)學(xué)期望（均值）二、設(shè)x 為隨機(jī)變量，f(x)是普通實(shí)函數(shù)，則=f(x)也是隨機(jī)變量，求E=?xx1x2xkpkp1p2pk= f(x)y1y2yk以上計(jì)算只要求這種離散型的。補(bǔ)例1：設(shè)x的概率分布為：x1012pk求：，的概率分布；。解：因?yàn)閤1012pk=x12101=x2

6、1014所以，所求分布列為：=x12101pk和：=x21014pk當(dāng)=x1時(shí)，E=E（x1）=2+(1)+0+1+=1/4當(dāng)=x2時(shí)，E=E x2=1+0+1+4+=27/8三、求x 或的方差Dx =？ D=？實(shí)用公式=其中，=補(bǔ)例2：x202pk0.40.30.3求：E x 和D x 解：=20.4+00.3+20.3=0.22=（2）20.4+020.3+220.3=2.8=2=2.8（0.2）2=2.76第四章 幾種重要的分布常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）名稱概率分布或密度期望方差參數(shù)范圍二項(xiàng)分布n pn p q0P0泊松分布不要求0指數(shù)分布不要求0解題中經(jīng)常需要運(yùn)用的E

7、 x 和D x 的性質(zhì)（同志們解題必備速查表）E x的性質(zhì)D x 的性質(zhì)第五章 參數(shù)估計(jì)8.1 估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇）若總體參數(shù)的估計(jì)量為，如果對(duì)任給的0，有，則稱是的一致估計(jì)；如果滿足，則稱是的無(wú)偏估計(jì)；如果和均是的無(wú)偏估計(jì)，若，則稱是比有效的估計(jì)量。8.3 區(qū)間估計(jì)：幾個(gè)術(shù)語(yǔ)1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量及，對(duì)于給定的（01）滿足：則稱隨機(jī)區(qū)間（，）是的100（1）的置信區(qū)間，和稱為的100（1）的置信下、上限，百分?jǐn)?shù)100（1）稱為置信度。一、求總體期望（均值）E x 的置信區(qū)間1、總體方差已知的類型據(jù)，得1，反查表（課本P260表）得臨界值；=

8、求d= 置信區(qū)間（-d，+d）補(bǔ)簡(jiǎn)例：設(shè)總體隨機(jī)取4個(gè)樣本其觀測(cè)值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值的95%的置信區(qū)間。解：1=0.95，=0.05（U）=1=0.975，反查表得：U=1.96=0.3，n=4 d=0.29所以，總體均值的=0.05的置信區(qū)間為：（d，d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、總體方差未知的類型（這種類型十分重要！務(wù)必掌握！）據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；確定=和求d= 置信區(qū)間（-d，+d）注：無(wú)特別聲明，一般可保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，下同。二、求總體方差的置信區(qū)間據(jù)和自由度n1（n為樣本數(shù)）

9、，查表得臨界值：和確定=和上限 下限置信區(qū)間（下限，上限）典型例題：補(bǔ)例1：課本P166之16 已知某種木材橫紋抗壓力的實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布，對(duì)10個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn)得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469試對(duì)該木材橫紋抗壓力的方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（0.04）。解：=0.04，又n=10，自由度n1=9查表得，=19.7=2.53=457.5=+=1240.28上限=4412.06下限=566.63所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566.63，4412.06）第六章 假設(shè)檢驗(yàn)必須熟練掌握一個(gè)正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)一般思路：

10、1、提出待檢假設(shè)H02、選擇統(tǒng)計(jì)量3、據(jù)檢驗(yàn)水平，確定臨界值4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值5、作出判斷檢驗(yàn)類型：未知方差，檢驗(yàn)總體期望(均值)根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計(jì)量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；由樣本值算出？和？從而得到；作出判斷典型例題：對(duì)一批新的某種液體的存貯罐進(jìn)行耐裂試驗(yàn)，抽查5個(gè)，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2 ）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，而過(guò)去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2 ，問(wèn)這種新罐的爆破壓與過(guò)去有無(wú)顯著差異？（=0.05）解：H0:= 549選擇統(tǒng)計(jì)量=0.05，n

11、1=4，查表得：=2.776又=543s2=57.=1.772.776接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過(guò)去的無(wú)顯著差異。檢驗(yàn)類型：未知期望(均值)，檢驗(yàn)總體方差根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:= (已知)；選擇統(tǒng)計(jì)量；據(jù)和自由度n1（n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：和；由樣本值算出？和？從而得到；若則接受假設(shè)，否則拒絕!補(bǔ)例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力方差=64，今從一批產(chǎn)品中抽10根作折斷力試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果（單位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是64？（=0.0

12、5）解： H0:=64選擇統(tǒng)計(jì)量=0.05，n1=9，查表得：=2.7=19又=575.2s2=75.73=2.70，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，則有。（14）獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨(dú)立。與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事

13、件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1兩兩互不相容，2，則有。全概率公式解決的是多個(gè)原因造成的結(jié)果問(wèn)題，全概率公式的題型：將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；（16）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，），通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“

14、由果朔因”的推斷。將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。第二章 隨機(jī)變量及其分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk

15、，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1、 。2、 。3、4、P(x=a)=0,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為0（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。

16、 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 ；2 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3 ， ；4 ，即是右連續(xù)的；5 。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np

17、=，n）。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即axb 其他，則稱隨機(jī)變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為 axb 0， xb。當(dāng)ax1x2b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1 的圖形是關(guān)于對(duì)稱的；2 當(dāng)時(shí)，為最大值；dtexFxt-=2

18、22)(21)(smps若，則的分布函數(shù)為參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。（6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)的分布函數(shù)離散型已知的分布列為，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。（2）定理法：當(dāng)Y=g(X)嚴(yán)格單調(diào)并且可導(dǎo)時(shí):其中h(y)是g(x)的反函數(shù)（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的