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1、習 題 三 1擲一枚非均質的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為,若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時為止所需投擲次數(shù),求的分布列。 解 表示事件:前次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面,或前次出現(xiàn)反面,第次出現(xiàn)正面,所以 2袋中有個黑球個白球,從袋中任意取出個球,求個球中黑球個數(shù)的分布列。 解 從個球中任取個球共有種取法,個球中有個黑球的取法有,所以的分布列為 , 此乃因為,如果,則個球中可以全是白球,沒有黑球,即;如果則個球中至少有個黑球,此時應從開始。 3一實習生用一臺機器接連生產(chǎn)了三個同種零件,第個零件是不合格品的概率,以表示三個零件中合格品的個數(shù),求的分布列。 解 設第個零件是合格品。則 , , , .即的分布列

2、為 . 4一汽車沿一街道行駛,需通過三個設有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立,且每一信號燈紅綠兩種信號顯示的概率均為,以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù),求的概率分布。 解 (第一個路口即為紅燈), (第一個路口為綠燈,第二個路口為紅燈),依此類推,得的分布列為 . 5將一枚硬幣連擲次,以表示這次中出現(xiàn)正面的次數(shù),求的分布列。 解 為重貝努里試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù),故,的分布列為 6一電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求(1)每分鐘恰有8次呼叫的概率;(2)每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。 解 設為每分鐘接到的呼叫次數(shù),則 (1) (

3、2) 7某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布,問在月初至少庫存多少此種商品,才能保證當月不脫銷的概率為0.99977以上。 解 設為該商品的銷售量,為庫存量,由題意即查泊松分布表知,故月初要庫存14件以上,才能保證當月不脫銷的概率在0.99977以上。 8已知離散型隨機變量的分布列為:,試寫出的分布函數(shù)。 解 的分布列為所以的分布函數(shù)為 9設隨機變量的概率密度為 求:(1)常數(shù);(2)使成立的. 解 (1),; (2),可見 , 。 10設隨機變量的分布函數(shù)為 ,求:(1)系數(shù)與;(2);(3)的概率密度。 解 (1)由分布函數(shù)的性質于是 ,所以的分布函數(shù)為 , (2); (3)

4、的概率密度為, . 11已知隨機變量的概率密度為,.求的分布函數(shù). 解 12設隨機變量的概率密度為求的分布函數(shù). 解 的圖形為 的分布函數(shù)為012x(1,1)f(x) 13 13設電子管壽命的概率密度為若一架收音機上裝有三個這種管子,求(1)使用的最初150小時內,至少有兩個電了管被燒壞的概率;(2)在使用的最初150小時內燒壞的電子管數(shù)的分布列;(3)的分布函數(shù)。 解 為在使用的最初150小時內燒壞的電子管數(shù),其中 , (1)所求概率為 ; (2)的分布列為,即 . (3)的分布函數(shù)為 14設隨機變量的概率密度為現(xiàn)對進行次獨立重復觀測,以表示觀測值不大于0.1的觀測次數(shù),試求隨機變量的概率分

5、布。 解 ,其中 ,所以的概率分布列為 . 15設隨機變量,求方程有實根的概率. 解 設方程有實根,則 發(fā)生 即 ,因,所以 發(fā)生所以 . 16設隨機變量,現(xiàn)對進行3次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大于3的概率. 解 設為三次觀測中,觀測值大于3的觀測次數(shù),則,其中 ,所求概率為. 17設顧客在某銀行窗口等待服務的時間(單位:分),服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘,則他就離開。設他一個月內要來銀行5次,以表示一個月內他沒有等到服務而離開窗口的次數(shù),求的分布列及。 解 由題意,其中 ,于是的分布為 . 18一大型設備在任何長為的時間內發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布。(1)求相繼兩

6、次故障之間時間間隔的概率分布;(2)求在設備已經(jīng)無故障工作了8小時的情況下,再無故障運行8小時的概率。 解 (1)設的分布函數(shù)為,則 事件表示兩次故障的間隔時間超過,也就是說在時間內沒有發(fā)生故障,故,于是,可見,的分布函數(shù)為即服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 (2)所求概率為. 19設隨機變量。求 (1);(2)常數(shù),使; (3)常數(shù),使。 解 (1) ; (2),查表知 ,所以; (3)所以 ,查正態(tài)分布表知 ,故 。 20設隨機變量,且,求。 解 ,所以 ,。 21某地抽樣結果表明,考生的外語成績(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績(即參數(shù)之值)為72分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生的

7、外語成績在60分至84分之間的概率。 解 所求概率為 22假設測量的隨機誤差,試求在100次重復測量中,至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值。 解 設為誤差的絕對值大于19.6的測量次數(shù),則,其中 ,所求概率為利用泊松定理. 23在電源電壓不超過,在和超過三種情況下,某種電子元件,損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,假設電源電壓服從正態(tài)分布,試求:(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200240的概率。 解 設電子元件損壞,電源電壓在第檔,則 (1) (2). 24假設隨機變量的絕對值不大于1;,在事件出現(xiàn)的條件下,在內任意

8、子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比。試求:(1)的分布函數(shù);(2)取負值的概率. 解1 設的分布函數(shù)為,則 當 時,且, 當 時, , 當 時,由題意 ,而 ,所以 。于是此時 ,故的分布函數(shù)為 (2). 解2 設的分布函數(shù)為,則 當 時, 且 當 時, 當時,設,且,由題意 ,即由此得 ,兩邊同除以得令取極限得兩邊積分得 ,由及得解之得 故 ,綜上所述,的分布函數(shù)為 (2) 25已知離散型隨機變量的分布列為求的分布列. 解 的分布列為 . 26設隨機變量的概率密度為求的概率密度 解1 當時函數(shù)單調增,反函數(shù)為,于是的概率密度為 解2 設的分布函數(shù)為,則 27設隨機變量的概率密度為求隨機變量的概率密度 解1 函數(shù)嚴格單調,反函數(shù)為,則 解2 設的分布函數(shù)為,則 ,所以。 28設,求(1)的概率密度;(2)的概率密度。 解 的密度為 (1)在上單調增,反函數(shù)為,所以的密度為 (2)在上單調減,反函數(shù)為,所以的密度為 29設,求的概率密度。 解1 函數(shù)在上單調減,反函數(shù)為, 在上單調增,反函數(shù)為,所以的密度為即 30設隨機變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,試證在區(qū)間上服從均勻分布。 證 只須證明

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