概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末總結(jié)

1、第1章 概率論的基本概念1.1 隨機試驗稱滿足以下三個條件的試驗為隨機試驗：（1） 在相同條件下可以重復(fù)進行；（2） 每次試驗的結(jié)果不止一個，并且能事先明確所有的可能結(jié)果；（3） 進行試驗之前，不能確定哪個結(jié)果出現(xiàn)。1.2 樣本點 樣本空間 隨機事件隨機試驗的每一個可能結(jié)果稱為一個樣本點，也稱為基本事件。樣本點的全體所構(gòu)成的集合稱為樣本空間，也稱為必然事件。必然事件在每次試驗中必然發(fā)生。 隨機試驗的樣本空間不一定唯一。在同一試驗中，試驗的目的不同時，樣本空間往往是不同的。所以應(yīng)從試驗的目的出發(fā)確定樣本空間。樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件。在每次試驗中必不發(fā)生的事件為不可能事件。1.3 事

2、件的關(guān)系及運算（1） 包含關(guān)系 ，即事件A發(fā)生，導(dǎo)致事件B發(fā)生；（2） 相等關(guān)系 ，即且；（3） 和事件（也叫并事件） ，即事件A與事件B至少有一個發(fā)生；（4） 積事件（也叫交事件） ，即事件A與事件B同時發(fā)生；（5） 差事件 ，即事件A發(fā)生，同時，事件B不發(fā)生；（6） 互斥事件（也叫互不相容事件） A、B滿足，即事件A與事件B不同時發(fā)生；（7） 對立事件（也叫逆事件） ，即。1.4 事件的運算律（1） 交換律 ；（2） 結(jié)合律 ；（3） 分配律 ；（4） 冪等律 ；（5） 差化積 ；（6） 反演律（也叫德摩根律）。1.5 概率的公理化定義設(shè)E是隨機試驗，為樣本空間，對于中的每一個事件A，賦予

3、一個實數(shù)P（A），稱之為A的概率，P（A）滿足：（1） ；（2） ；（3） 若事件兩兩互不相容，則有。1.6 概率的性質(zhì)（1） ；（2） 若事件兩兩不互相容，則；（3） ；（4） 。 特別地，若，則；（5） 。1.7 古典概型 古典概率設(shè)隨機試驗E滿足：（1） E的樣本空間只有有限個樣本點；（2） 每個樣本點的發(fā)生是等可能的，則稱此試驗為古典概型或等可能概型。古典概率。1.8 事件的獨立性 伯努利概型若，則稱事件A與事件B相互獨立。若，則稱事件A、B、C相互獨立。若前三式成立，則稱事件A、B、C兩兩相互獨立。若事件A與事件B相互獨立，則也相互獨立。設(shè)隨機試驗E滿足：（1） 在相同條件下可重復(fù)進

4、行次；（2） 每次試驗只有兩個可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生，且每次A發(fā)生的概率相同；（3） 每次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。重伯努利試驗中A發(fā)生次的概率為，其中。1.9 條件概率 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式（1） 條件概率 ；（2） 乘法公式 ；（3） 全概率公式 ，其中，是的一個分割；（4） 貝葉斯公式 （）第2章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量 分布函數(shù)隨機變量是樣本點的實值函數(shù)，定義域為樣本空間，值域為實數(shù)。分布函數(shù)為，其中為任意實數(shù)。2.2 分布函數(shù)的性質(zhì)（1） ，且，；（2） 單調(diào)不減，即若，則；（3） 右連續(xù)，即。2.3 離散型隨機變量離散

5、型隨機變量的分布律為。也可以用表格表示 也可以用矩陣表示，即分布律的性質(zhì)（1） （）；（2） 。2.4 幾種常見的離散型隨機變量的分布（1） （0-1）分布（也叫兩點分布） 的分布律為，其中為參數(shù)。（2） 二項分布 的分布律為，其中為參數(shù)。（3） 泊松分布 或的分布律為，其中為參數(shù)。2.5 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為，其中且可積，稱為的概率密度。的性質(zhì)：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 當(dāng)在點處連續(xù)時，。2.6 幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布（1） 均勻分布 的概率密度 的分布函數(shù) （2） 指數(shù)分布 的概率密度 ，其中為常數(shù)。的分布函數(shù) （3） 正態(tài)分布 的概率密度

6、 （）其中，為常數(shù)。的分布函數(shù) （4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的概率密度 （）的分布函數(shù) 若，則，且有計算公式。2.7 隨機變量的函數(shù)的分布（1） 離散型隨機變量的函數(shù)的分布已知的分布律為，的分布律有以下兩種情形：當(dāng)?shù)闹祷ゲ幌嗟葧r，則當(dāng)?shù)闹涤邢嗟葧r，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時將它們所對應(yīng)的概率相加，即得出的分布律。（2） 連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布已知的概率密度為，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，求的概率密度，通常使用以下兩種方法：分布函數(shù)法：先求的分布函數(shù)，再對求導(dǎo)數(shù)，可得的概率密度。公式法：如果嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則也是連續(xù)型隨機變量，且其概率密度為其中，（此時在上不為0）；或，（此時在之外全為

7、0.）第3章 多維隨機變量及其分布3.1 二維隨機變量 聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)、是兩個隨機變量，稱有序數(shù)組為二維隨機變量。聯(lián)合分布函數(shù)為，其中，為任意實數(shù)。3.2 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)（1） ，且，。（2） 對每一個變量單調(diào)不減，即對任意固定的，當(dāng)時，；對任意固定的，當(dāng)時，。（3） 關(guān)于右連續(xù)，關(guān)于也右連續(xù)。（4） 對任意的，有。3.3 邊緣分布函數(shù)關(guān)于的邊緣分布函數(shù)；關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。3.4 二維離散型隨機變量（1） 二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律為（2） 關(guān)于的邊緣分布律為（） 關(guān)于的邊緣分布律為（）（3） 聯(lián)合分布律應(yīng)滿足：（）；。3.5 二維連續(xù)型隨機變量（1） 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函

8、數(shù)為，其中稱為的聯(lián)合概率密度函數(shù)。（2） 關(guān)于的邊緣概率密度為； 關(guān)于的邊緣概率密度為。（3） 聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：；，其中D為XOY平面上的區(qū)域；當(dāng)在點處連續(xù)時，。3.6 二維隨機變量的獨立性隨機變量與相互獨立。離散型隨機變量與相互獨立（）。連續(xù)型與相互獨立（在連續(xù)點處）。3.7 二維隨機變量的函數(shù)的分布二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)，是一維隨機變量，的分布函數(shù)為，的密度函數(shù)為。3.8 常用的二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布（1） 的分布或特別地，當(dāng)、相互獨立時，。（2） 及的分布第4章 隨機變量的數(shù)字特征4.1 隨機變量的數(shù)學(xué)期望離

9、散型 連續(xù)型 4.2 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1） 設(shè)是的函數(shù)，其中為連續(xù)函數(shù)。離散型 連續(xù)型 （2） 設(shè)是，的函數(shù)，其中為連續(xù)函數(shù)。離散型 連續(xù)型 4.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） ，（為常數(shù)）（2） ，（為常數(shù)）推廣： （、是常數(shù)）推廣：（3） 設(shè)與相互獨立，則推廣：若，相互獨立，則4.4 方差 方差的性質(zhì)方差 方差的性質(zhì) （1） ，（為常數(shù)）（2） ，（為常數(shù)）（3） 設(shè)與相互獨立，則推廣：若，相互獨立，則（4） ，（為常數(shù)）4.5 幾種常見的隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差（1） （0-1）分布 ，（2） 二項分布 ，（3） 泊松分布 或 ，（4） 均勻分布 ，（5） 指數(shù)分布 ，（6） 正態(tài)分布

10、 ，4.6 協(xié)方差 相關(guān)系數(shù)與的協(xié)方差與的相關(guān)系數(shù)4.7 協(xié)方差的性質(zhì)（1） ，（、為常數(shù)）（2） （，為常數(shù)）（3） ，特別地，（4） 設(shè)與相互獨立，則。4.8 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時，稱與不相關(guān)。（1） ，且4.9 與不相關(guān)的性質(zhì)（1） 若隨機變量和相互獨立，則和不相關(guān)；（2） 和不相關(guān)4.10 矩（1） 階原點矩（）（2） 階中心矩（）第6章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念6.1 總體 樣本 在數(shù)理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為總體，而把組成總體的各個元素稱為個體。通常為研究總體的某個數(shù)量指標(biāo)而進行隨機試驗或觀察，因此，代表總體的數(shù)量指標(biāo)是一個隨機變量，所以總體的分布是指隨機變量的分布。從總體中按一定規(guī)則

11、抽取個個體的過程稱為抽樣，抽樣的結(jié)果稱為樣本，樣本中所含個體的數(shù)量稱為樣本容量。若樣本中的個個體相互獨立且與總體同分布稱為簡單隨機樣本，簡稱樣本。樣本的試驗結(jié)果稱為樣本觀測值。設(shè)總體的分布函數(shù)為，則的聯(lián)合分布函數(shù)為若為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，則的聯(lián)合概率密度為若為離散型隨機變量，其分布律為，則的聯(lián)合分布律為6.2 統(tǒng)計量設(shè)是來自總體的一個樣本，是的函數(shù)，若中不含任何未知參數(shù)，則稱是一個統(tǒng)計量。統(tǒng)計量也是一個隨機變量。6.3 常用統(tǒng)計量（1） 樣本均值 （2） 樣本方差 （3） 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （4） 樣本階原點矩 （）（5） 樣本階中心矩 （）（6） 順序統(tǒng)計量 樣本中位數(shù) 極差第7章 參數(shù)

12、估計7.1 參數(shù)估計 點估計利用統(tǒng)計量去估計總體的未知參數(shù)稱為參數(shù)估計。設(shè)是來自總體的樣本，是樣本的一組觀察值。是總體的未知參數(shù)。若用一個統(tǒng)計量來估計，則稱是參數(shù)的估計量；而稱的觀察值為參數(shù)的估計值。用去估計，稱為對作點估計。7.2 矩估計法所謂矩估計法，是用樣本矩（原點矩）去估計相應(yīng)的總體矩，用樣本矩的函數(shù)去估計相應(yīng)總體矩的函數(shù)的一種方法。設(shè)總體的分布形式已知，是總體分布中的未知參數(shù)，是來自總體的樣本，求的矩估計的步驟如下：（1） 求總體的前階矩（2） 解（1）中的個方程得未知參數(shù)，即（3） 用樣本矩代替相應(yīng)總體階矩，得到的矩估計量，即7.3 最大似然估計設(shè)總體的概率密度為（當(dāng)為離散型隨機變

13、量時為分布律），為待估參數(shù)，時來自總體的樣本，為其一組觀測值，稱為似然函數(shù)。若當(dāng)時，似然函數(shù)達(dá)到最大值，則稱為的最大似然估計量。求最大似然估計量的步驟如下：（1） 正確寫出總體的概率密度（當(dāng)為離散型隨機變量時，為其分布律），為待估參數(shù)，構(gòu)造似然函數(shù)（2） 對似然函數(shù)取對數(shù)得對數(shù)似然函數(shù)；（3） 對對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)并令其為零，得似然方程；（4） 解似然方程，就可以得到的最大似然估計量。注：若隨機變量的分布函數(shù)中含有多個未知參數(shù)，這時只需令（）解該似然方程組，就可以得到各未知參數(shù)的最大似然估計量。7.4 點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)（1） 無偏性 設(shè)為參數(shù)的估計量，若有，則稱為的無偏估計量。（2） 有效性

14、 設(shè)都是的無偏估計量，若它們的方差滿足，則稱有效。第6、7章復(fù)習(xí)題1、設(shè)是來自總體的樣本，其中已知，未知，則下列樣本函數(shù)中不是統(tǒng)計量的是（ ）A. B. C. D.2、設(shè)是來自總體的樣本，是樣本均值，則對任意實數(shù)有（ ）A. B.C. D.3、設(shè)總體，和均未知，則是（ ）A. 的無偏估計 B.的矩估計 C.的無偏估計 D.的矩估計4、設(shè)（4,3,5,5,4,3,4,4）是來自總體的一個樣本的觀測值，則的最大似然估計值是（ ）A.4 B.3 C.4.5 D.55、矩估計必然是（ ）A. 無偏估計 B.總體矩的函數(shù) C.樣本矩的函數(shù) D.最大似然函數(shù)6、 設(shè)總體，是來自總體的樣本，則= ；= 。7

15、、 設(shè)是來自參數(shù)為的泊松分布的樣本，其樣本均值、樣本方差分別是，則= ；= ；= ；樣本的聯(lián)合分布律為 。8、 設(shè)總體服從（0-1）分布，即（），是來自總體的樣本，則= （）。9、 （沒有講）設(shè)是來自總體容量為16的樣本方差，則= 。10、 總體參數(shù)常用的點估計方法是 和 。11、 設(shè)一個樣本觀測值為（0,2,0，2,0,2），則總體均值的矩估計值是 ，總體方差的矩估計值是 。12、 設(shè)，其中（）為未知參數(shù)。從總體中隨機抽取樣本，樣本均值為，則未知參數(shù)的矩估計量= 。13、 設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，是來自總體的樣本，其樣本均值，樣本方差分別為，。如果為的無偏估計量，則= 。14、 設(shè)總體，

16、是來自總體的一個樣本，為樣本均值，試求樣本容量應(yīng)取多大，才能使下式成立。15、 設(shè)是來自總體服從（0-1）分布的一個樣本，分別為樣本均值和樣本二階中心矩，試求，。16、 設(shè)總體具有分布律如下表所示：123其中（）為未知參數(shù)。已知取得了樣本值，試求的矩估計值和最大似然估計值。17、 設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中未知參數(shù)，是來自總體的樣本。試求：（1） 的矩估計量；（2） 的最大似然估計量。第1、2、3、4章復(fù)習(xí)題1、對任意兩個事件和，=（ ）A. B.C. D.2、設(shè)事件與事件互不相容，則（ ）A. B. C. D.3、設(shè)、為兩事件，且，則必有（ ）A. B.C. D.4、設(shè)事件與相互獨立，且，不能

17、推出（ ）A. B.C. D.5、設(shè)事件與事件滿足，則下列說法正確的是（ ）A. 與互不相容 B.是不可能事件C. D.6、設(shè)事件與事件滿足條件，則（ ）A. B. C. D.7、設(shè)隨機變量與相互獨立，其分布律如下表所示：01 0.50.5010.50.5則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D.以上完全不正確8、設(shè)，則（ ）A. B. C. D.9、設(shè)隨機變量，且與相互獨立，則（ ）A. B. C. D.10、某射手向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為（），則該射手第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為（ ）A. B. C. D.11、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，下列結(jié)論中不一定成

18、立的是（ ）A. B. C. D.為連續(xù)函數(shù)12、設(shè)二維隨機變量滿足，則（ ）A. B.C.與相互獨立 D.與不相互獨立13、對任意兩個隨機變量和，以下選項正確的是（ ）A. B.C. D.14、已知隨機變量的概率密度為，令，則的概率密度為（ ）A. B. C. D.15、設(shè)二維隨機變量具有以下概率密度，與相互獨立 ，則=（ ）A.B.C.D.16、 設(shè)、是任意的三個隨機事件，根據(jù)概率的性質(zhì)，則：（1） = ；（2） = ；（3） = 。17、 設(shè)、為兩個隨機事件，且，。（1） 若與互不相容，則 ；（2） 若與相互獨立，則 。18、 設(shè)，則= 。19、 設(shè)，則 。20、 設(shè)隨機變量的分布律為，

19、則常數(shù)= 。21、 設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為，其密度函數(shù)為，則= 。22、 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，且，則= ，= 。23、 設(shè)隨機變量的概率密度為，又，則= ，= 。24、 設(shè)隨機變量，則= 。25、 設(shè)隨機變量，則= 。26、 設(shè)隨機變量的分布律如下表所示：0100.410.1已知事件與相互獨立，則= ，= 。27、 設(shè)隨機變量與相互獨立，方差分別為1，4，則= 。28、 已知，則= 。29、 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為2的泊松分布，令，則= ， 。30、 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且已知，則 。31、 設(shè)隨機變量，且，則二項分布中的參數(shù)= ，= 。32、 某門課程只有通過口試及筆試兩種考試方可結(jié)業(yè)，某學(xué)生通過口試的概率為80%，通過筆試的概率為65%，至少通過兩者之一的概率為75%，試問該學(xué)生這門課程結(jié)業(yè)的可能性有多大？33、 設(shè)一口袋中有100個球，其中有7個是紅球，25個是黃球，24個是黃藍(lán)兩色的球，1個是紅黃藍(lán)三色的球，其余43個是無色的球?，F(xiàn)從中任取一個球，以、分別表示取到的球有紅色、有黃色、有藍(lán)色的事件