橢圓中?？嫉氖鶙l焦點性質(zhì)及其證明

1、橢圓中?？嫉氖鶙l焦點性質(zhì)及其證明（一）橢圓中，PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.證明：延長F2H至M，交PF1于MPT平分MPF2，又F2HPT，又，.H軌跡是以長軸為直徑的圓，除長軸端點.（二）橢圓中，橢圓焦點三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.證明：如圖，設(shè)以焦半徑MF2為直徑的圓的半徑為r1，圓心為O1，由橢圓定義知O、O1相內(nèi)切（三）設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.證明：設(shè)旁切圓切軸于，切于M，F(xiàn)1P

2、于N，則，與A2重合.（四）橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時，A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.證明：設(shè)交點，又 ，即軌跡方程為（五）若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.證明：對求導(dǎo)可得：，切線方程為即，即，（六）若在橢圓外 ，則過P0作橢圓的兩條切線，切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.證明：設(shè)，則過點切線分別為在上，過P1，P2方程（七）AB是橢圓的不平行于對稱軸且不過原點的弦，M為AB的中點，則.證明：設(shè)則又（八）若在橢圓內(nèi)，則被P0所平分的中點弦的方程是.證法1：由上題的結(jié)論得：，弦AB方程為若在橢圓內(nèi)，則過P0的弦中點的軌跡方程是.證法

3、2：設(shè)弦交橢圓于，中點.即.（九）過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.證明：設(shè)兩直線與橢圓交于點.由題意得，展開 得：（定值）（十）橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則橢圓的焦點三角形的面積為；。證明：設(shè)，則.由余弦定理，.（十一） 若P為橢圓上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.證明：設(shè) ，又 由、得：（十二）橢圓（ab0）上存在兩點關(guān)于直線：對稱的充要條件是.分析：該問題等價于在橢圓上找兩點，過這兩點直線，斜率為，其中垂線為則。證明：設(shè)方程為即，中點為得 代入，又0，注：還可以用點差法.（十三）已知橢圓（ a>b>0）和（ ），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則AB=|CD.證明：設(shè)直線方程為,視作的特殊情況.弦中點坐標(biāo)與無關(guān).而與無關(guān).線段中點重合.（十四）已知橢圓，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則.證明：設(shè)A為B為（十五）已知橢圓方程為兩焦點分別為設(shè)焦點，則橢圓的離心率。證明： 由正弦